Forbindelse (ikke-kommutativ geometri)

Geometrien af kvantesystemer (såsom ikke-kommutativ geometri og supergeometri ) kan formuleres i algebraiske termer af moduler og algebraer . Forbindelsen på moduler generaliserer den lineære forbindelse på vektorbundter , skrevet som forbindelsen på -modulet af sektioner . [en] $E\to X$ $C^{\infty }(X)$ $E\to X$

Kommutativ geometri

Lad være en kommutativ ring og være et -modul. Der er flere tilsvarende definitioner af forbundethed på . [2] Lad være modulet af afledninger af ringen . En forbindelse på et -modul er defineret som en morfisme af -moduler $EN$ $P$ $EN$ $P$ $D(A)$ $EN$ $EN$ $P$ $EN$

\nabla :D(A)\ni u\to \nabla _{u}\in \mathrm {Diff} _{1}(P,P),

sådan, at førsteordens differentialoperatorer ikke opfylder Leibniz-reglen $\nabla _{u}$ $P$

\nabla _{u}(ap)=u(a)p+a\nabla _{u}(p),\quad a\in A,\quad p\in P.

En forbindelse på et modul over en kommutativ ring eksisterer altid. Forbindelsens krumning er defineret som en nul-ordens differentialoperator $\nabla$

R(u,u')=[\nabla _{u},\nabla _{u'}]-\nabla _{[u,u']}.

På modulet for alle . $P$ $u,u'\in D(A)$

Hvis er et vektorbundt, er der en en-til-en overensstemmelse mellem lineære forbindelser på og forbindelser på -modulet af sektioner af . I dette tilfælde svarer til den kovariante differential af forbindelsen på $E\to X$ $\Gamma$ $E\to X$ $\nabla$ $C^{\infty }(X)$ $E\to X$ $\nabla$ $E\to X.$

Supergeometri

Forestillingen om forbindelse på en kommutativ ring overføres direkte til moduler ved hjælp af overgraderede algebraer . [3] Dette er tilfældet med superforbindelser i supergeometri på graderede manifolds og supervektorbundter . Superforbindelser eksisterer altid. $\mathbb Z_2$

Ikke-kommutativ geometri

Hvis er en ikke-kommutativ ring, er forbindelser på venstre og højre -moduler defineret på samme måde som på moduler over en kommutativ ring. [4] Sådanne forbindelser eksisterer dog ikke nødvendigvis. $EN$ $EN$

I modsætning til forbindelser på venstre og højre moduler, opstår der et problem med definitionen af forbindelser på bimoduler over ikke- kommutative ringe og . Der er forskellige definitioner af sådanne forbindelser. [5] Her er en af dem. En forbindelse på et -bimodul er defineret som en morfisme af bimoduler $RS$ $R$ $S$ $RS$ $P$

\nabla :D(A)\ni u\to \nabla _{u}\in \mathrm {Diff} _{1}(P,P),

som opfylder Leibniz-reglen

\nabla _{u}(apb)=u(a)pb+a\nabla _{u}(p)b+apu(b),\quad a\in R,\quad b\in S, \quad p\in P.

Se også

Noter

↑ Koszul (1950)
↑ Koszul (1950), Mangiarotti (2000)
↑ Bartocci (1991), Mangiarotti (2000)
↑ Landi (1997)
↑ Dubois-Violette (1996), Landi (1997)

Litteratur

Koszul, J. , Homologie et cohomologie des algebres de Lie, Bulletin de la Societe Mathematique 78 (1950) 65
Koszul, J. , Forelæsninger om fiberbundter og differentiel geometri (Tata University, Bombay, 1960)
Bartocci, C., Bruzzo, U., Hernandez Ruiperez, D. , The Geometry of Supermanifolds (Kluwer Academic Publ., 1991) ISBN 0-7923-1440-9
Dubois-Violette, M., Michor, P. , Forbindelser på centrale bimoduler i ikke-kommutativ differentialgeometri, J. Geom. Phys. 20 (1996) 218. arXiv: q-alg/9503020v2
Landi, G. , An Introduction to Noncommutative Spaces and their Geometries, Lect. Noter Fysik, Ny serie m: Monografier, 51 (Springer, 1997) ArXiv eprint , iv+181 sider.
Mangiarotti, L., Sardanashvily, G. , Connections in Classical and Quantum Field Theory ( World Scientific , 2000) ISBN 981-02-2013-8
G. A. Sardanashvili , moderne metoder til feltteori. 4. Geometri og kvantefelter (URSS, 2000) ISBN 5-88417-221-4 .