Graderet manifold

Graderede manifolder er en udvidelse af begrebet manifold baseret på forestillingerne om supersymmetri og kommutativ graderet algebra . Graderede manifolds er ikke supermanifolds , selvom der er en vis overensstemmelse mellem graderede manifolds og DeWitt supermanifolds . Både sorterede sorter og supervarieteter er defineret i form af skiver — graderede algebraer . Graderede manifolds er dog kendetegnet ved skiver på glatte manifolds , mens supermanifolds defineres ved at lime skiver af supervektorrum sammen. $\mathbb Z_2$

Graderede manifolder

En gradueret manifold af dimension er defineret som et lokalt ringmærket rum , hvor er en -dimensionel glat manifold og er en -shed af Grassmann-algebraer af rang , hvor er en bunke af glatte reelle funktioner på . Hylden kaldes den strukturelle gren af den graderede manifold , og den glatte manifold kaldes kroppen . Sektioner af skæret kaldes graderede funktioner på en graderet manifold . De danner en kommutativ graderet ring , kaldet strukturringen . Den velkendte Batchelor- sætning og Serre-Swan-sætningen karakteriserer graderede manifolder på følgende måde. $(n,m)$ $(Z,A)$ $Z$ $n$ $EN$ ${\displaystyle C_{Z}^{\infty ))$ $m$ ${\displaystyle C_{Z}^{\infty ))$ $Z$ $EN$ $(Z,A)$ $Z$ $(Z,A)$ $EN$ $(Z,A)$ $C^{\infty }(Z)$ $A(Z)$ $(Z,A)$

Sætning

Lad være en graderet manifold. Der er et vektorbundt med dimensionelle generiske fibre , således at strukturskivet af den graderede manifold er isomorf i forhold til strukturskivet af sektioner af bundtets ydre produkt , hvis typiske fiber er Grassmann-algebraen . $(Z,A)$ $E\to Z$ $m$ $V$ $EN$ $(Z,A)$ $\Lambda(E)$ $E$ $\Lambda (V)$

Lad være en glat manifold. En graderet kommutativ -algebra er isomorf med strukturringen af en graderet manifold med divisionsring, hvis og kun hvis det er den ydre algebra af et projektivt -modul af endelig rang. $Z$ $C^{\infty }(Z)$ $Z$ $C^{\infty }(Z)$

Graderede funktioner

Selvom Batchelor-isomorfien nævnt ovenfor ikke er kanonisk, er den i mange applikationer oprindeligt rettet. I dette tilfælde genererer ethvert lokalt trivialiseringsdiagram af et vektorbundt en lokal opsplitning af den graderede manifold , hvor er en fiberbasis for bundtet . Graderede funktioner på et sådant kort er repræsenteret ved værdisatte funktioner $(U;z^{A},y^{a})$ $E\to Z$ $(U;z^{A},c^{a})$ $(Z,A)$ $\{c^{a}\}$ $E$ $\Lambda (V)$

$f=\sum _{k=0}^{m}{\frac {1}{k!}}f_{a_{1}\ldots a_{k}}(z)c^{a_{1 }}\cdots c^{a_{k}}$ ,

hvor er glatte reelle funktioner på og er ulige genererende elementer i Grassmann-algebraen . $f_{a_{1}\cdots a_{k}}(z)$ $U$ $c^{a}$ $\Lambda (V)$

Graderede vektorfelter

Lad en graderet manifold gives . Graderede afledninger af strukturringen af graderede funktioner kaldes graderede vektorfelter på . De danner en rigtig Lie superalgebra med hensyn til superparenteser $(Z,A)$ $A(Z)$ $(Z,A)$ $\partial A(Z)$

$[u,u']=u\cdot u'-(-1)^{[u][u']}u'\cdot u$ ,

hvor betegner Grassmann-pariteten . Graderede vektorfelter lokalt har formen $[u]$ $u\in \partial A(Z)$

${\displaystyle u=u^{A}\partial _{A}+u^{a}{\frac {\partial }{\partial c^{a))))$ .

De handler på graderede funktioner i henhold til loven $f$

$u(f_{a_{1}\ldots a_{k}}c^{a_{1}}\cdots c^{a_{k}})=u^{A}\partial _{A}( f_{a_{1}\ldots a_{k}})c^{a_{1}}\cdots c^{a_{k}}+\sum _{i}u^{a_{i}}(-1 )^{i-1}f_{a_{1}\ldots a_{k}}c^{a_{1}}\cdots c^{a_{i-1}}c^{a_{i+1}} \cdots c^{a_{k}}$ .

Graduerede eksterne formularer

Modulet dual til modulet af graderede vektorfelter kaldes modulet med graderede ydre en-former . De graderede ydre en-former er lokalt af formen , så det indre produkt mellem og er givet ved $A(Z)$ $\partial A(Z)$ $O^{1}(Z)$ ${\displaystyle \phi =\phi _{A}dz^{A}+\phi _{a}dc^{a))$ $\partial A(Z)$ $O^{1}(Z)$

{\displaystyle u\rfloor \phi =u^{A}\phi _{A}+(-1)^{[\phi _{a}]}u^{a}\phi _{a))

Udstyret med en graderet ydre produktdrift

$dz^{A}\wedge dc^{i}=-dc^{i}\wedge dz^{A},\qquad dc^{i}\wedge dc^{j}=dc^{j} \wedge dc^{i}$ ,

graderede en-former genererer en graderet ydre algebra af graderede ydre former på en graderet manifold. De tilfredsstiller relationerne $O^{*}(Z)$

$\phi \wedge \phi '=(-1)^{|\phi ||\phi '|+[\phi ][\phi ']}\phi '\wedge \phi$ ,

hvor er graden af formen . En graderet ydre algebra er en differentialgraderet algebra med hensyn til en graderet ydre differential $|\phi |$ $\phi$ $O^{*}(Z)$

$d\phi =dz^{A}\wedge \partial _{A}\phi +dc^{a}\wedge {\frac {\partial }{\partial c^{a))}\phi$ ,

hvor graderede afledninger , graderede kommutative med graderede former og . Fair forhold $\partial _{A}$ $\partial /\partial c^{a}$ $dz^{A}$ $dc^{a}$

$d(\phi \wedge \phi ')=d(\phi )\wedge \phi '+(-1)^{|\phi |}\phi \wedge d\phi '$ .

Graderet differentialgeometri

I kategorien af graderede manifolds betragter vi graderede Lie-grupper, graderede bundter og graderede hovedbundter. Begrebet jets af sorterede manifolder introduceres også, som dog adskiller sig fra jets af sektioner af graderede bundter.

Graderet differentialregning

Differentialregningen på graderede manifolder er formuleret som differentialregningen over kommutative graderede algebraer, analogt med differentialregningen over kommutative algebraer .

Fysiske applikationer

På grund af den førnævnte Serre-Swan-sætning beskrives ulige klassiske felter på en glat manifold i form af graderede manifolds snarere end supermanifolds. Ved at være generaliseret til graderede manifolds giver variationsbikomplekset en stringent matematisk formulering af den lagrangske teori om lige og ulige klassiske felter og lagrangiansk BRST-teori .

Se også

Litteratur

C. Bartocci, U. Bruzzo, D. Hernandez Ruiperez , The Geometry of Supermanifolds (Kluwer, 1991) ISBN 0-7923-1440-9
T. Stavracou , Teori om forbindelser på graderede hovedbundter, Rev. Matematik. Phys. 10 (1998) 47
B. Kostant , Graderede manifolds, graderet Løgnteori og prækvantisering, i Differential Geometric Methods in Mathematical Physics , Lecture Notes in Mathematics 570 (Springer, 1977) s. 177
A. Almorox , Supergauge-teorier i graderede manifolds, i Differential Geometric Methods in Mathematical Physics , Lecture Notes in Mathematics 1251 (Springer, 1987) s. 114
D. Hernandez Ruiperez, J. Munoz Masque , Global variationsregning på graderede manifolds, J. Math. Pures Appl. 63 (1984) 283
G. Giachetta, L. Mangiarotti, G. Sardanashvily , Advanced Classical Field Theory (World Scientific, 2009) ISBN 978-981-283-895-7
G. A. Sardanashvili , moderne metoder til feltteori. 4. Geometri og kvantefelter (URSS, 2000) ISBN 5-88417-221-4 .