Bimodul

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 30. september 2021; checks kræver 2 redigeringer .

Et bimodul er en abelsk gruppe , der både er et højre modul og et venstre modul (eventuelt over en anden ring), og disse to strukturer er kompatible. Begrebet et bimodul spiller en afklarende rolle: forholdet mellem venstre og højre modul bliver enklere, når det udtrykkes i form af bimoduler.

Definition

Lad R og S være to ringe , så er et ( R , S )-bimodul en Abelsk gruppe M , således at

M er et venstre R -modul og et højre S -modul.
For evt $r\in R,s\in S,m\in M:$

(rm)s=r(ms).

( R , R )-bimodul kaldes også R -bimodul.

Eksempler

For alle naturlige tal m og n er mængden af alle n × m matricer med reelle indtastninger et ( R , S )-bimodul, hvor R er ringen af n × n matricer , og S er ringen af m × m matricer . Addition og multiplikation er defineret som matrixaddition og multiplikation , dimensionerne af matricerne er valgt således, at disse operationer er defineret.
Hvis R er en ring, ikke nødvendigvis kommutativ, så er R et R -bimodul. Også R n er det direkte produkt af n kopier af R .
Ethvert tosidet ideal i ringen R er et R -bimodul.
Ethvert modul over en kommutativ ring R kan udstyres med en naturlig bimodulstruktur ved at definere højre multiplikation på samme måde som venstre multiplikation. (Ikke alle bimoduler over en kommutativ ring har denne form).
Hvis M er et venstre R -modul, så er M et ( R , Z )-bimodul, hvor Z er ringen af heltal. På samme måde kan højre R -moduler ses som ( Z , R )-bimoduler og Abelske grupper som ( Z , Z )-bimoduler.
Hvis R er en underring af ringen S , så er S et R -bimodul.

Yderligere definitioner og egenskaber

Hvis M og N er ( R , S )-bimoduler, så er et kort f : M → N en bimodul homomorfi , hvis og kun hvis det er en venstre og højre modul struktur homomorfi.

( , )-bimodulet er i virkeligheden det samme som det venstre modul over ringen , hvor S op er den modsatte ring til S (rækkefølgen af multiplikation i den er omvendt). Bimodul homomorfismer er det samme som venstre -modul homomorfismer. Ved at bruge disse fakta kan mange påstande om moduler oversættes til bimodulernes sprog. Især kategorien af ( R , S )-bimoduler er Abelsk, og de sædvanlige isomorfismesætninger gælder for det . $R$ $S$ ${\displaystyle R\otimes _{\mathbb {Z} }S^{op))$ ${\displaystyle R\otimes _{\mathbb {Z} }S^{op))$

Bimoduler har dog også særlige egenskaber, især med hensyn til tensorproduktet . Hvis M er ( R , S )-bimodul og N er ( S , T )-bimodul, så er deres tensorprodukt (som moduler over S ) ( R , T )-bimodul. Tensorproduktet af bimoduler er associativt (op til kanonisk isomorfisme), så man kan konstruere en kategori, hvis objekter er ringe, og hvis morfismer er bimoduler. Desuden, hvis M er et ( R , S )-bimodul, og L er et ( T , S )-bimodul, så har mængden Hom S ( M , L ) af homomorfismer fra M til L strukturen af en ( T , R ) )-bimodul. Disse udsagn kan udvides til afledte funktorer af Ext og Tor .

Bemærk også, at bimoduler ikke er relateret til bialgebras , ligheden i navnet er tilfældig.

Litteratur

Jacobson, N. (1989). Grundlæggende algebra II. W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-1933-9 . s. 133-136.
P. Aluffi. Algebra: Kapitel 0 (Graduate Studies in Mathematics) - American Mathematical Society, 2009 - ISBN 0-82184-781-3 . s. 517-518.