Differentialregning over kommutative algebraer

Differentialregning over kommutative algebraer er en gren af kommutativ algebra , der opstod i halvfjerdserne af forrige århundrede.

Skalære operatorer

Lad være et felt, være en algebra over et felt , kommutativ og med enhed, og være en -lineær afbildning, . Ethvert element i algebraen kan forstås som en multiplikationsoperator: . Operatørerne og , generelt set, pendler ikke, og ligestillingen gælder hvis og kun hvis er en -homomorfi. $\Bbbk$ $EN$ $\Bbbk$ $\Delta \colon A\to A$ $\Bbbk$ $\Delta \in \mathrm {Hom} _{\Bbbk }(A,A)$ $a\i A$ $a(b)=ab,\ b\in A$ $-en$ $\Delta$ $a\circ \Delta -\Delta \circ a=[a,\Delta ]=0$ $\Delta$ $EN$

Definition 1 . kaldes en differentialoperator (DO) af orden fra til hvis for nogen $\Delta \in \mathrm {Hom} _{\Bbbk }(A,A)$ $\leq n$ $EN$ $EN$ $a_{0},\dots ,a_{n}\in A$

[a_{n},[a_{n-1},[\ldots [a_{0},\Delta ]\ldots ]]]=0.

Sættet af alle TO'er af ordre fra til er angivet med . Summen af to DO'er af orden vil igen være DO'er af orden , og mængden er stabil med hensyn til både venstre og højre multiplikation med elementer i algebraen , så den er udstyret med den naturlige bimodulstruktur over . $\leq n$ $EN$ $EN$ $\mathrm {Forskel} _{n}A$ $\leq n$ $\leq n$ $\mathrm {Forskel} _{n}A$ $EN$ $EN$

Afledninger

Algebrapunkter kaldes -homomorfismer fra til . Betegn sættet af alle punkter i algebraen , udstyret med Zariski-topologien, ved . Algebraelementer kan forstås som funktioner på rummet ved indstilling . $EN$ $\Bbbk$ $EN$ $\Bbbk$ $EN$ $\vert A\vert$ $EN$ $\vert A\vert$ $a(z)=z(a),\ z\in \vert A\vert$

Definition 2 . En kortlægning kaldes en tangentvektor til rummet i et punkt, hvis den opfylder Leibniz-reglen på det punkt: $\Delta _{z}\colon A\to \Bbbk$ $\vert A\vert$ $z\in \vert A\vert$

\Delta _{z}(fg)=f(z)\Delta _{z}(g)+g(z)\Delta _{z}(f),\quad f,g\in A.

Mængden af alle tangentvektorer i et punkt har den naturlige struktur af et vektorrum over . Det kaldes tangentrummet i rummet ved punktet . $T_{z}\vert A\vert$ $z\in \vert A\vert$ $\Bbbk$ $\vert A\vert$ $z$

Definition 3 . En mapping kaldes en afledning af en algebra med værdier i, hvis den opfylder Leibniz-reglen: $\Delta \colon A\to A$ $EN$ $EN$

\Delta (fg)=f\Delta (g)+g\Delta (f),\quad f,g\in A.

Sættet af alle afledninger af en algebra med værdier i har den naturlige struktur som et venstre -modul. (Højre multiplikation bevarer ikke denne mængde.) Enhver differentiering definerer en familie af tangentvektorer for alle punkter : . $D(A)$ $EN$ $EN$ $EN$ $\Delta$ ${\displaystyle \Delta _{z))$ $z\in \vert A\vert$ $\Delta _{z}(f)=(\Delta (f))(z)$

Afledninger er selvfølgelig FØR ordren : $\leq 1$

{\displaystyle D(A)=\{\Delta \in \mathrm {Diff} _{1}A\ \vert \ \Delta (k)=0\ \forall k\in \Bbbk \))

En naturlig isomorfi af venstre -moduler er defineret $EN$

\mathrm {Forskel} _{1}A=D(A)+A.

Glatte funktioner

Hvis er algebraen af glatte funktioner på manifolden , så er den naturligvis udstyret med strukturen af en glat manifold, og det viser sig, at . $A=C^{\infty }(M)$ $M$ $\vert C^{\infty }(M)\vert$ $\vert C^{\infty }(M)\vert =M$

Sætning . Lad og vær et system af lokale koordinater i et eller andet kvarter i . Så kan begrænsningerne på og på skrives i følgende form $\Delta \in \mathrm {Diff} _{l}A,\ \nabla \in \mathrm {D} (A)$ $x_1,\prikker,x_n$ $U\undersæt M$ $\Delta$ $\nabla$ $U$

\nabla {\big |}_{U}=\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}{\dfrac {\partial }{\partial x_{i))}, \quad \alpha _{i}\in C^{\infty }(U)

\Delta {\big |}_{U}=\sum _{|\sigma |=0}^{l}\alpha _{\sigma }{\dfrac {\partial ^{|\sigma |} }{\partial x^{\sigma }}},\quad \alpha _{\sigma }\in C^{\infty }(U)

Med andre ord, for algebraen af glatte funktioner på M falder den "algebraiske" definition af DO sammen med den klassiske, og afledninger af algebraen er vektorfelter på . $C^{\infty }(M)$ $M$

Generel sag

Lad være moduler forbi . Definition 1 og 3 overføres uændret til dette tilfælde: $P,\Q$ $EN$

Definition 4 . -homomorfi kaldes en lineær differentialoperator af orden fra til ~, hvis for nogen $\Bbbk$ $\Delta \colon Q\to P$ $\leq n$ $Q$ $P$ $a_{0},\dots ,a_{n}\in A$

[a_{n},[a_{n-1},[\ldots [a_{0},\Delta ]\ldots ]]]=0

Definition 5 . En mapping kaldes en afledning af en algebra med værdier i, hvis den opfylder Leibniz-reglen: $\Delta \colon A\to A$ $EN$ $P$

\Delta (fg)=f\Delta (g)+g\Delta (f),\quad f,g\in A.

Mættet af alle DO'er af orden fra til er et bimodul over , og sættet af alle afledninger af til er et venstre -modul. $\mathrm {Diff} _{n}(P,Q)$ $\leq n$ $Q$ $P$ $EN$ $\mathrm {D} (P)$ $EN$ $P$ $EN$

Hvis er algebraen af glatte funktioner på manifolden , så er de projektive endeligt genererede -moduler ingen ringere end modulerne af sektioner af finit-dimensionelle vektorbundter over . I dette tilfælde beskriver Definition 4 DO'er på vektorværdierede funktioner, der transformerer dem til vektorværdierede funktioner, mens Definition 5 beskriver vektorværdierede vektorfelter. $A=C^{\infty }(M)$ $M$ $EN$ $M$

Repræsentation af objekter og geometrisering

Fungerer og er repræsentative: $\mathrm {Forskel} _{n}(P,\quad )$ $\mathrm {D} =\mathrm {D} (\quad )$

Sætning . 1. Der er unikke -moduler og afledninger, således at der for ethvert -modul er en naturlig isomorfi $EN$ $\lambda$ $d\colon A\to \Lambda$ $EN$ $Q$

\mathrm {D} (Q)=\mathrm {Hom} _{A}(\Lambda ,Q),\quad \mathrm {Hom} _{A}(\Lambda ,Q)\ni h\leftrightarrow h\circ d\in \mathrm {D} (Q).

2. Der er unikke -moduler og DO i orden , således at der for ethvert -modul er en naturlig isomorfi $EN$ ${\mathcal {J}}^{n}(P)$ $j_{n}\colon P\to {\mathcal {J}}^{n}(P)$ $\leq n$ $EN$ $Q$

\mathrm {Diff} _{n}(P,Q)=\mathrm {Hom} _{A}({\mathcal {J}}^{n}(P),Q),\quad \mathrm {Hom} _{A}({\mathcal {J}}^{n}(P),Q)\ni h\leftrightarrow h\circ j_{n}\in \mathrm {Diff} _{n}(P ,Q).

Afledning og DO kaldes henholdsvis universal differentiering og universal DO of order , og modulerne og kaldes modulet af differentialformer af den første orden og modulet af ordens jetfly . (Nogle gange bruges udtrykket "jet" i stedet for udtrykket "jet".) $d$ $j_n$ $\leq n$ $\lambda$ ${\mathcal {J}}^{n}(P)$ $n$

Moduler og er ganske enkelt beskrevet "på fingrene". Nemlig, -modulet er genereret af alle mulige elementer i formen, for hvilke følgende relationer gælder: ${\mathcal {J}}^{n}(P)$ $\lambda$ $EN$ ${\mathcal {J}}^{n}(P)$ $j_{n}(p),\ p\in P$

j_{n}(kp)=kj_{n}(p)\ \forall k\in \Bbbk ,\ p\in P

{\big (}[a_{n},[a_{n-1},[\ldots [a_{0},j_{n}]\ldots ]]]{\big )}(p)= 0\ \forall p\in P,\ a_{0},\dots ,a_{n}\in A

, hvor og så videre.

{\big (}[a_{0},j_{n}]{\big )}(p)=a_{0}j_{n}(p)-j_{n}(a_{0}p ),\quad {\big (}[a_{1}[a_{0},j_{n}]]{\big )}(p)=a_{1}a_{0}j_{n}(p) -a_{1}j_{n}(a_{0}p)-a_{0}j_{n}(a_{1}p)+j_{n}(a_{1}a_{0}p)

På samme måde genereres -modulet af alle mulige elementer i formen, for hvilke følgende relationer gælder: $EN$ $\lambda$ $da,\ a\in A$

d(ka)=kda\ \forall k\in \Bbbk ,\ a\in A

d(ab)=adb+bda\ \foralt a,b\in A

Det ville også her være naturligt at forvente, at for algebraen vil differentialformerne vise sig at være "almindelige" differentialformer på manifolden , og jets - "almindelige" jetfly , men dette er ikke tilfældet. Årsagen til dette er eksistensen af usynlige elementer i algebraiske konstruktioner , det vil sige ikke-nul elementer, som ikke desto mindre er lig med nul på hvert punkt i manifolden . For eksempel, lad , differentialformen er ikke-nul, men . Moduler over , der ikke indeholder usynlige elementer, kaldes geometriske. For ethvert -modul danner sættet af alle usynlige elementer et undermodul, hvis faktor er et geometrisk modul og er betegnet med . Modulerne og , hvor er et geometrisk modul, vil være de repræsenterende objekter for funktorer og i kategorien geometriske moduler over . De viser sig at være isomorfe for henholdsvis modulet af "almindelige" differentialformer og modulet af "almindelige" jetfly. $A=C^{\infty }(M)$ $M$ $M$ ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{1))$ $e^{x}dx-de^{x}\in \Lambda$ $(e^{x}dx-de^{x}){\big |}_{z}=0\ \forall z\in \mathbb {R} ^{1}$ $C^{\infty }(M)$ $C^{\infty }(M)$ $S$ $G(S)$ $G(\Lambda )$ $G({\mathcal {J}}^{n}(P))$ $P$ $\mathrm{D}$ $\mathrm {Forskel} _{n}(P,\quad )$ $A=C^{\infty }(M)$

Graderede algebraer

Denne teori kan let overføres til tilfældet med graderede algebraer (superalgebraer i den gamle terminologi), hvor den især giver et nyt blik på sådanne konstruktioner som integralformer og Berezin-integralet.

Ansøgninger

Det faktum, at differentialregning er en gren af kommutativ algebra, er interessant i sig selv og er tæt forbundet med et af de vigtigste fysiske begreber --- begrebet det observerbare . Invariante algebraiske konstruktioner gør det muligt at arbejde, hvor den klassiske koordinattilgang er for besværlig eller endda umulig, for eksempel i tilfælde af manifolder med singulariteter eller uendelig-dimensionelle. De bruges i Hamiltonsk og Lagrangiansk mekanik , teorien om bevarelseslove, sekundærregning , for ikke at nævne algebraisk og differentialgeometri .

Historisk baggrund

Definitionen af DO i kategorien af moduler over kommutative algebraer dukkede op, uafhængigt af hinanden, i værker af P. Gabriel [1] , S. Suzuki [2] og A. M. Vinogradov [3] . Imidlertid indså kun A. M. Vinogradov den fulde betydning af den algebraiske tilgang til DO, og det vigtigste bidrag til udviklingen af denne teori blev givet af ham og hans elever.

Se også

Noter

↑ P. Gabriel , Construction de préschémas-quotients (d'après Grothendieck A.), Généralités sur les groupes algébriques, Étude infinitésimale des schémas en groupes, SGA3 Schémas en groupes, Séminaire de Géométrie algébrique du Bois (96462), Lect. Noter i matematik. 151, Springer (1970), 251-286, 287-317, 411-562.
↑ Satoshi Suzuki , Differentials of commutative rings, Queen's University-artikler i ren og anvendt matematik, 29, Queen's University, Kingston, 1971.
↑ A. M. Vinogradov , Algebra for logik i teorien om lineære differentialoperatorer Arkiveret 12. december 2021 på Wayback Machine , DAN 205:5 (1972), 1025-1028.

Litteratur

Jet Nestruev , Smooth Manifolds and Observables, MCNMO, Moskva, 2000.
A. M. Vinogradov, I. S. Dyer , Hvad er Hamiltonsk formalisme? // Fremskridt i matematiske videnskaber. - 1975. - V. 30, hæfte 1 (181), - s. 173-198.
A. M. Vinogradov, I. S. Krasilshchik, V. V. Lychagin , Introduktion til geometrien af ikke-lineære differentialligninger, kapitel 1. Lineære differentialoperatorer i kommutative algebraer M., Nauka, 1986.
A. M. Vinogradov , Nogle homologiske systemer forbundet med differentialregning i kommutative algebraer // Uspekhi matematicheskikh nauk. - 1979. - V. 34, hæfte 6 (210), - s. 145–150.
IS Krasil'shchik , forelæsninger om lineære differentialoperatorer over kommutative algebraer. Eprint DIPS-01/98
Algebraiske aspekter af differentialregning, redigeret af Joseph Krasil'shchik og Alexandre Vinogradov , - Special Issue of Acta Applicandae Mathematicae, bind 49, udgave 3, december 1997, 321 sider, ISSN: 0167-8019. (Artikler i dette nummer er individuelt tilgængelige elektronisk: DIPS-01/96 , DIPS-02/96 , DIPS-03/96 , DIPS-04/96 , DIPS-05/96 , DIPS-06/96 , DIPS-07 / 96 , DIPS-08/96 ).
IS Krasil'shchik, AM Verbovetsky , Homological Methods in Equations of Mathematical Physics, Open Ed. og Sciences, Opava (Tjekkiet), 1998; Eprint arXiv:math/9808130v2 .
Alexandre M. Vinogradov , Logik af differentialregning og zoologisk have af geometriske strukturer, arXiv:1511.06861 .
AM Vinogradov , Kohomologisk analyse af partielle differentialligninger og sekundærregning, — AMS "Oversættelse af matematiske monografier"-serien, vol. 204, 247 sider, 2001.