Kvasicyklisk gruppe

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 19. februar 2019; checks kræver 3 redigeringer .

En kvasicyklisk p - gruppe , for et fast primtal p  , er den eneste p - gruppe , hvor nøjagtigt p rødder af p - th grad kan udvindes fra et hvilket som helst element. Normalt betegnet som Z ( p ∞ )

Den kvasicykliske p - gruppe kaldes også Prufer p -gruppen efter den tyske matematiker Heinz Prüfer .

Egenskaber

En kvasicyklisk p - gruppe kan repræsenteres som en undergruppe U(1) bestående af komplekse rødder af enhed af graden p n , hvor n løber gennem alle naturlige tal:

Tilsvarende kan en kvasicyklisk p - gruppe ses som en undergruppe af Q/Z bestående af elementer, hvis rækkefølge er en potens af p :

Prufer p - gruppen kan også gives af generatorer og relationer:

En kvasicyklisk p -gruppe er den eneste uendelige p -gruppe, der er lokalt cyklisk (det vil sige sådan, at enhver endelig delmængde af dens elementer genererer en cyklisk gruppe ). Det er let at se, at alle egentlige undergrupper af en kvasicyklisk gruppe er cykliske.

En kvasicyklisk gruppe er delelig .

I teorien om lokalt kompakte topologiske grupper er en kvasicyklisk p - gruppe udstyret med den diskrete topologi Pontryagins dual til den kompakte gruppe af p -adiske heltal .

Kvasicykliske p - grupper, for alle mulige primtal p  , er de eneste uendelige grupper, således at mængden af ​​deres undergrupper er lineært ordnet ved indlejring:

På denne kæde af inklusioner er Prufer p -gruppen repræsenteret som den direkte grænse for dens endelige undergrupper.

Som et -modul er Prufer p -gruppen artinsk , men ikke noethersk (tilsvarende er den artinsk , men ikke noethersk ). Som sådan er det et modeksempel på den mulige påstand om, at enhver artinianer er et noethersk modul.

Links