Stræk (geometri)
Udstrækning er en operation på et polyeder (i enhver dimension, ikke kun i tredimensionelt rum), hvor facetter adskilles og flyttes radialt i retning fra midten, nye facetter dannes på de adskilte elementer (hjørner, kanter osv. .). Disse samme operationer kan forstås som operationer, der holder facetterne på plads, men reducerer dem i størrelse.
En polytop forstås som et flerdimensionelt polyeder, og videre i artiklen bruges disse begreber som synonymer (ordet "flerdimensional" kan udelades, hvis det antages ved betydning) [1] .
At strække en almindelig flerdimensionel polytop frembringer en ensartet polytop , men operationen kan anvendes på enhver konveks polytop , som demonstreret for polytoper i artiklen " Conway's Notation for Polytopes ". I tilfælde af 3D-polytoper har den strakte polytop alle flader af den originale polytop, alle flader af den dobbelte polytop og yderligere firkantede flader i stedet for de originale kanter.
Udstrækning af almindelige polytoper
Ifølge Coxeter blev dette udtryk for højdimensionelle faste stoffer defineret af Alicia Buhl Stott [2] for at skabe nye højdimensionelle polyedre. Mere præcist, at skabe ensartede flerdimensionelle polyedre fra almindelige flerdimensionelle polyedre .
Strækoperationen er symmetrisk for almindelige polytoper og deres dobbelte polyedre . Den resulterende krop indeholder facetter af både et regulært polyeder og dets dobbelte polyeder, såvel som yderligere prismatiske facetter, der udfylder rummet mellem elementer med lavere dimension.
Stræk har til en vis grad en anden betydning for forskellige dimensioner . I Wythoffs konstruktion er strækningen genereret af refleksion fra det første og sidste spejl. I højere dimensioner kan stretch skrives med et (under)skrift, så e 2 er det samme som t 0,2 i enhver dimension.
Bemærk : Navnene på operationer på polyedre i den russisksprogede litteratur er ikke faldet til ro, så de engelske navne med oversættelse er angivet nedenfor .
Efter dimensioner:
- En regulær {p} polygon udvides til en regulær 2p-gon.
- For polygoner er operationen identisk med trunkeringsoperationen , e{p} = e 1 {p} = t 0,1 {p} = t{p} og har et Coxeter-Dynkin-diagram
.
- For polygoner er operationen identisk med trunkeringsoperationen , e{p} = e 1 {p} = t 0,1 {p} = t{p} og har et Coxeter-Dynkin-diagram
- En regulær {p,q} polytop (3-dimensionel polytop) udvider sig til en polytop med toppunkt figur p.4.q.4 .
- For polyedre kaldes denne operation "cantellation" , e{p,q} = e 2 {p,q} = t 0.2 {p,q} = rr{p,q}, og operationen har et Coxeter-diagram
.
For eksempel kan et rhombicuboctahedron kaldes en dilateret terning , et dilateret oktaeder , samt en skæv terning eller skæv oktaeder .
- For polyedre kaldes denne operation "cantellation" , e{p,q} = e 2 {p,q} = t 0.2 {p,q} = rr{p,q}, og operationen har et Coxeter-diagram
- En regulær {p,q,r} 4D polytop (4-polytop) strækkes til en ny 4D polytop med de samme {p,q} celler, nye celler {r,q} dannes i stedet for de gamle hjørner, p -gonale prismer er dannet i stedet for gamle (2-dimensionelle) flader og r-gonale prismer i stedet for gamle kanter.
- For 4-dimensionelle polyedre kaldes denne operation "runcination" (planing), e{p,q,r} = e 3 {p,q,r} = t 0,3 {p,q,r}, og operationen har et Coxeter-diagram
.
- For 4-dimensionelle polyedre kaldes denne operation "runcination" (planing), e{p,q,r} = e 3 {p,q,r} = t 0,3 {p,q,r}, og operationen har et Coxeter-diagram
- På samme måde udvides en regulær {p,q,r,s} 5D polytop til en ny 5D polytop med facetter {p,q,r}, {s,r,q}, prismer {p,q}× { }, prismer {s,r}×{ } og duoprismer {p} × {s}.
- Operationen kaldes "sterication" (hakning), e{p,q,r,s} = e 4 {p,q,r,s} = t 0,4 {p,q,r,s} = 2r2r {p,q,r,s} og operationen har et Coxeter-diagram
.
- Operationen kaldes "sterication" (hakning), e{p,q,r,s} = e 4 {p,q,r,s} = t 0,4 {p,q,r,s} = 2r2r {p,q,r,s} og operationen har et Coxeter-diagram
Den generelle operation for at strække et regulært n-dimensionelt polyeder er t 0,n-1 {p,q,r,...}. Nye regulære facetter tilføjes i stedet for hvert toppunkt, og nye prismatiske polytoper tilføjes for hver splitkant, (2D) flade osv.
Se også
Noter
- ↑ I russisksproget litteratur forstås regulære polytoper (polytoper med dimension > 3) og polyedre normalt som konvekse kroppe, i engelsksproget litteratur betragtes stjerneformede regulære polyedre også som regulære polytoper (polytoper)
- ↑ Coxeter, 1973 , s. 123,210.
Litteratur
- HSM Coxeter . Almindelige polytoper. — tredje udgave. - New York: Dover Publications Inc., 1973. - ISBN 0-486-61480-8 ..Første udgave: Methuen & Co. Ltd., London, 1948
- Weisstein, Eric W. Expansion (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
- Norman Johnson. Uniforme polytoper. - 1991. - (manuskript).
- NW Johnson. Teorien om ensartede polytoper og honningkager. - Ph.D. University of Toronto, 1966. - (Ph.D.-afhandling).
| Fonden | trunkering | fuld afkortning | Dyb trunkering | Dualitet _ |
udstrækning | Trunkering | Alternation | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
    
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| t 0 {p, q} {p, q} |
t 01 {p,q} t{p, q} |
t 1 {p, q} r{p, q} |
t 12 {p,q} 2t{p, q} |
t 2 {p, q} 2r{p, q} |
t 02 {p,q} rr{p, q} |
t 012 {p,q} tr{p, q} |
ht 0 {p,q} h{q, p} |
ht 12 {p,q} s{q, p} |
ht 012 {p,q} sr{p, q} |