Poisson proces

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 21. november 2021; checks kræver 3 redigeringer .

Poisson-proces , Poisson- flow , Poisson-proces [1] er en almindelig strøm af homogene hændelser , hvor antallet af hændelser i intervallet A ikke afhænger af antallet af hændelser i nogen intervaller, der ikke skærer A , og adlyder Poisonfordeling . I teorien om tilfældige processer beskriver den antallet af tilfældige hændelser, der har fundet sted, der forekommer med en konstant intensitet.

De sandsynlige egenskaber for Poisson-strømmen er fuldstændig karakteriseret ved funktionen Λ(A) lig med stigningen i intervallet A af en aftagende funktion. Oftest har Poisson-flowet en øjeblikkelig værdi af parameteren λ(t) , som er en funktion på kontinuitetspunkterne, hvor sandsynligheden for en flowhændelse i intervallet [t,t+dt] er lig med λ( t)dt . Hvis A er et segment [a,b] , så

\Lambda (A)=\int \limits _{a}^{b}\lambda (t)\,dt

Poisson-flowet, for hvilket λ(t) er lig med konstanten λ , kaldes det enkleste flow med parameteren λ . [2]

Poisson-strømme er defineret for multidimensionelle og generelt ethvert abstrakt rum, hvori målet Λ(A) kan indføres . En stationær Poisson-strøm i et multidimensionelt rum er karakteriseret ved en rumlig tæthed λ . I dette tilfælde er Λ(A) lig med volumenet af området A , ganget med λ .

Klassifikation

Der er to typer Poisson-processer: simple (eller blot: Poisson-processer) og komplekse (generaliserede).

En simpel Poisson-proces

Lad . En tilfældig proces kaldes en homogen Poisson-proces med intensitet if $\lambda>0$ $\{X_{t}\}_{t\geq 0}$ $\lambda$

$X_{0}=0$ næsten sikker .
$\{X_{t}\}$ er en proces med uafhængige trin .
$X_{t}-X_{s}\sim \ \mathrm {P} (\lambda (ts))$ for enhver , hvor angiver Poisson-fordelingen med parameter . $0\leq s<t<\infty$ $\mathrm {P} (\lambda(ts))$ $\lambda (ts)$

Kompleks (generaliseret) Poisson-proces

Lade være en sekvens af gensidigt uafhængige identisk fordelte stokastiske variabler . $\xi _{1},...,\xi _{n}$
Lad være en simpel Poisson-proces med intensitet , uafhængig af sekvensen . $N(t)$ $\lambda$ $\xi _{1},...,\xi _{n}$

Betegn ved summen af de første k elementer i den indførte sekvens. $S_{k}$

Derefter definerer vi den komplekse Poisson-proces som . $\{Y_{t}\}$ $S_{N(t)}$

Egenskaber

Tiderne mellem springtider er uafhængige og har en eksponentiel fordeling ${\text{Exp}}(\lambda )$ .
Poisson-processen accepterer kun ikke-negative heltalsværdier og desuden

\mathbb {P} (X_{t}=k)={\frac {\lambda ^{k}t^{k}}{k!}}e^{-\lambda t},\quad k=0, 1,2,\ldots

det vil sige, at tidspunktet for det th spring har en gammafordeling . $k$ ${\text{Γ}}(\lambda ,k)$

Banerne for Poisson-processen er stykkevis konstante, højrekontinuerlige, ikke-aftagende funktioner med spring lig med et næsten sikkert. Mere præcist

\mathbb {P} (X_{t+h}-X_{t}=0)=1-\lambda h+o(h)

\mathbb {P} (X_{t+h}-X_{t}=1)=\lambda h+o(h)

\mathbb {P} (X_{t+h}-X_{t}>1)=o(h)

kl ,

h\ til 0

hvor betyder " om små ". $o(h)$

Kriterier

For at en tilfældig proces med kontinuerlig tid kan være Poisson (simpel, homogen) eller identisk nul, er det tilstrækkeligt, at følgende betingelser er opfyldt: $\{X_{t}\}$

$X_{0}=0$ .
Processen har uafhængige trin.
Processen er ensartet.
Processen accepterer ikke-negative heltalsværdier.
$P\{X_{h}\geq 2\}=o(h)$ kl . $h\searrow 0$

Informationsegenskaber [3]

Lad være springtiderne for Poisson-processen. . $\tau _{1},\dots ,\tau _{n}$ $T=\tau _{j}-\tau _{j-1}$

Afhænger det af den forrige del af banen? - ? $T$
$\mathbb {P} (\{T>t+s\midt T>s\})$

Lad . $u(t)=\mathbb {P} (T>t)$

$u(t\mid s)={\frac {\mathbb {P} (T>t+s\cap T>s)}{\mathbb {P} (T>s)))={\frac {\mathbb {P} (T>t+s)}{\mathbb {P} (T>s)))$
$u(t\midt s)u(s)=u(t+s)$
$u(t\midt s)=s(t)\venstrehøjrepil u(t)=e^{-\alpha t}$ .
Fordelingen af længder af tidsintervaller mellem hop har egenskaben manglende hukommelse ⇔ den er eksponentiel .

Overvej et segment på tidsaksen. $[a,b]$

$X(b)-X(a)=n$ er antallet af hop på segmentet . Den betingede fordeling af springmomenterne falder sammen med fordelingen af variationsrækken konstrueret ud fra en prøve af længde fra . $[a,b]$
$\tau _{1},\dots ,\tau _{n}\midt X(b)-X(a)=n$ $n$ $R[a,b]$

Tætheden af denne fordeling $f_{\tau _{1},\dots ,\tau _{n}}(t)={\frac {n!}{(ba)^{n}}}\mathbb {I} (a \leqslant t_{1}\leqslant \cdots \leqslant t_{n}\leqslant b)$

Central grænsesætning

Sætning.

$\mathbb {P} {\biggl (}{\frac {X(t)-\lambda t}{\sqrt {\lambda t))}<x{\biggr )}{\underset {\lambda t\to \ infty }{\overset {x}{\rightarrows }}}\Phi (x)\sim N(0,1)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\ infty }^{x}e^{-{\frac {u^{2}}{2}}}du$

Konvergenshastighed : , hvor er Berry-Esseen-konstanten .
$\sup \limits _{x}{\biggl |}\mathbb {P} {\biggl (}{\frac {X(t)-\lambda t}{\sqrt {\lambda t))}<x{\ biggr )}-\Phi (x){\biggr |}\leqslant {\frac {C_{0)){\sqrt {\lambda t))}$
$C_{0}$

Ansøgning

Poisson-strømmen bruges til at simulere forskellige virkelige strømme: ulykker, strømmen af ladede partikler fra rummet, udstyrsfejl og andre. Det kan også bruges til at analysere finansielle mekanismer, såsom betalingsstrømmene og andre reelle strømme. At bygge modeller af forskellige servicesystemer og analysere deres egnethed.

Brugen af Poisson-strømme forenkler i høj grad løsningen af problemer med køsystemer relateret til beregningen af deres effektivitet. Men den urimelige udskiftning af det reelle flow med Poisson-flowet, hvor dette er uacceptabelt, fører til grove fejlberegninger.

Litteratur

Gardiner KV Stokastiske metoder i naturvidenskab. — M .: Mir, 1986. — 528 s.
van Kampen NG Stokastiske processer i fysik og kemi. - M . : Højere skole, 1990. - 376 s.
Kingman J. Poisson behandler. - M. : MTSNMO, 2007. - 136 s.

Noter

↑ " Matematisk encyklopædi " / Chefredaktør I. M. Vinogradov. - M . : "Sovjetisk Encyklopædi", 1979. - T. 4. - 1104 s. - 148.800 eksemplarer.
↑ Dictionary of Cybernetics / Redigeret af akademiker V. S. Mikhalevich . - 2. - Kiev: Hovedudgave af den ukrainske sovjetiske encyklopædi opkaldt efter M.P. Bazhan, 1989. - S. 534. - 751 s. - (C48). — 50.000 eksemplarer. - ISBN 5-88500-008-5 .
↑ Shestakov Oleg Vladimirovich. Forelæsningsnotater om emnet "Probabilistiske modeller", Foredrag 7 . (Russisk)