Termodynamik uden ligevægt

Ikke -ligevægtsterodynamik er en del af termodynamikken , der studerer systemer ud af termodynamisk ligevægt og irreversible processer . Fremkomsten af dette vidensfelt skyldes hovedsageligt, at langt de fleste systemer, der findes i naturen, er langt fra termodynamisk ligevægt.

Historie

Behovet for at skabe en ny teori opstod i første halvdel af det tyvende århundrede. Pioneren i denne retning var Lars Onsager , som i 1931 udgav to artikler om termodynamik uden ligevægt. [1] [2] Efterfølgende blev et væsentligt bidrag til udviklingen af ikke-ligevægtsterodynamik ydet af Eckart [3] , Meixner og Reik [4] , D. N. Zubarev [5] , Prigogine [6] , De Groot og Mazur [7] , Gurov K. P. og andre. Det skal bemærkes, at teorien om ikke-ligevægtssystemer udvikles aktivt på nuværende tidspunkt.

Den klassiske formulering af termodynamik uden ligevægt

Grundlæggende

Klassisk ikke-ligevægtsterodynamik er baseret på den grundlæggende antagelse om lokal ligevægt ( I. R. Prigogine , 1945 [8] ). Begrebet lokal ligevægt ligger i det faktum, at termodynamiske ligevægtsrelationer er gyldige for termodynamiske variable defineret i et elementært volumen , det vil sige, det pågældende system kan mentalt opdeles i rummet i mange elementære celler, der er store nok til at betragte dem som makroskopiske systemer. men samtidig er tiden lille nok til, at tilstanden for hver af dem er tæt på ligevægtstilstanden . Denne antagelse er gyldig for en meget bred klasse af fysiske systemer, som bestemmer succesen for den klassiske formulering af termodynamik uden ligevægt.

Begrebet lokal ligevægt indebærer, at alle omfattende variable ( entropi , indre energi , komponentmassefraktion ) erstattes af deres tætheder: $k$

s=s({\mathbf {x}},t),\;\;\;\;u=u({\mathbf {x}},t),\;\;\;\;c_{k} =c_{k}({\mathbf {x}},t).

Samtidig skal alle intensive variable såsom temperatur , tryk og kemisk potentiale erstattes af de tilsvarende funktioner af koordinater og tid:

T=T({\mathbf {x}},t),\;\;\;\;p=p({\mathbf {x}}),t),\;\;\;\;\mu _ { k}=\mu _{k}({\mathbf {x}},t),

samtidig bestemmes de på samme måde som i ligevægtstilfældet, dvs. $T^{{-1))={\frac {\partial s}{\partial u)),\;T^{{-1}}p={\frac {\partial s}{\partial v)) ,\;T^{{-1}}\mu _{k}={\frac {\partial s}{\partial c_{k}}}$

Ydermere, ved hjælp af funktionerne introduceret ovenfor, omskrives lovene og relationerne fra ligevægtstermodynamikken i lokal form. Første lov (loven om energibevarelse):

{\frac {\partial e}{\partial t))+\nabla \cdot {\boldsymbol {J))^{e}=0

, er summen af de kinetiske og indre energitætheder, er energifluxen.

e

{\boldsymbol {J}}^{e}

Anden start :

produktionen af entropi i hver del af systemet, forårsaget af irreversible processer, er ikke-negativ, dvs.

{\frac {\partial s}{\partial t}}+\nabla \cdot {\boldsymbol {J}}^{s}=\sigma ,\;\sigma \geqslant 0

En vigtig rolle i klassisk ikke-ligevægtsterodynamik spilles af den lokale form af Gibbs-Duhem-ligningen :

Tds=du+pdv-\sum _{k}\mu _{k}dc_{k}

Ved at omskrive på det sidste forhold, under hensyntagen til den lokale form for loven om bevarelse af energi, masse, og sammenligne med den lokale form for den anden lov, er det let at opnå følgende form til produktion af entropi:

\sigma ={\boldsymbol {q}}\cdot \nabla \left({\frac {1}{T}}\right)-\sum _{k}{\boldsymbol {J}}_{k}\cdot \nabla \left({\frac {\mu _{k}}{T}}\right)-{\frac {1}{T}}p^{\nu}\nabla \cdot {\boldsymbol {\nu }}-{\frac {1}{T}}{\overset {0}{{\mathbf {P}}^{\nu }}}:{\overset {0}{\mathbf {V}}}+ {\frac {\rho }{T}}\sum _{l}A_{l}{\dot {\xi }}_{l}+{\frac {1}{T}}{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\boldsymbol {i}}.

Her:

${\boldsymbol {q}}$ er varmestrømmen ,
${\boldsymbol {\nu }}={\frac {1}{\rho }}\sum _{k}\rho _{k}{\boldsymbol {\nu}}_{k}$ er massecentrets hastighed ,
${\boldsymbol {J}}_{k}=\rho _{k}({\boldsymbol {\nu}}_{k}-{\boldsymbol {\nu }})$ er diffusionsfluxen ,
den viskøse spændingstensor nedbrydes som følger: , hvor den viskøse tryktensor dekomponeres til det volumetriske viskøse tryk og afvigeren med nul spor ${\mathbf {P}}=p{\mathbf {U}}+p^{\nu }{\mathbf {U}}+{\overset {0}({\mathbf {P}}^{\nu } }}$ ${\mathbf {P}}^{\nu }$ $p^{\nu}$ ${\overset {0}{{\mathbf {P}}^{\nu }}}$
på samme måde kan strain rate tensor udvides som følger: , ${\mathbf {V}}={\frac {1}{3}}(\nabla \cdot {\boldsymbol {\nu }}){\mathbf {U}}+{\overset {0}{{\mathbf {V}}^{\nu }}}$
kolon - dobbelt skalarprodukt af tensorer , $:$
$A_{l}$ er reaktionens kemiske affinitet , er den tilsvarende fuldstændighedsgrad af reaktionen , $l$ $\xi _{l}$
${\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {\nu }}\gange {\boldsymbol {B}}$ er det elektriske felt i et koordinatsystem, der bevæger sig med en hastighed , er ledningsstrømmen . ${\boldsymbol {\nu ))$ ${\boldsymbol {i}}=\sum _{k}z_{k}{\boldsymbol {J}}_{k}$

Strømme og kræfter

Inden for rammerne af klassisk ikke-ligevægtsterodynamik sker beskrivelsen af irreversible processer ved hjælp af termodynamiske kræfter og termodynamiske strømninger . Grunden til at indføre disse mængder er, at gennem dem udtrykkes produktionen af entropi i en simpel form. Lad os give eksplicitte udtryk for forskellige kræfter og strømninger. Fra ovenstående udtryk for produktion af entropi kan det ses, at den bilineære form er: $\sigma$

\sigma =\sum _{\alpha }J_{\alpha }X_{\alpha }

hvor er den termodynamiske strømning, er den termodynamiske kraft. Vilkårligheden af opdelingen i termodynamiske strømninger og kræfter bør især understreges. For eksempel kan multiplikatoren ikke tilskrives kraft, men til flow. Kræfter og strømninger kan endda udveksles, men det er stadig naturligt at overveje, at termodynamiske kræfter genererer termodynamiske strømninger, ligesom en temperaturgradient genererer en varmeflux. Et eksempel på adskillelse af kræfter og strømme er vist i tabellen: $J_{\alpha }$ $X_{\alpha }$ ${\frac {1}{T}}$

Styrke $X_{\alpha }$	$\nabla {\frac {1}{T}}$	$-\nabla {\frac {\mu _{k}}{T}}$	$-{\frac {1}{T}}\nabla \cdot {\boldsymbol {\nu }}$	$-{\frac {1}{T}}{\overset {0}{\mathbf {V}}}$	$-{\frac {1}{T}}A_{l}$	$-{\frac {1}{T}}{\boldsymbol {\varepsilon }}$
Flyde $J_{\alpha }$	${\boldsymbol {q}}$	${\boldsymbol {J}}_{k}$	$p^{\nu}$	${\overset {0}{{\mathbf {P}}^{\nu }}}$	$\rho {\dot {\xi ))$	${\fed symbol {i}}$

Som du kan se, kan strømme og kræfter ikke kun være skalarer , men også vektorer og tensorer .

Lineære konstitutive ligninger

Fluxer er ukendte størrelser, i modsætning til kræfter, som er funktioner af tilstandsvariable og/eller deres gradienter. Det er eksperimentelt blevet fastslået, at strømninger og kræfter er relateret til hinanden, og en given strømning afhænger ikke kun af dens styrke, men kan også afhænge af andre termodynamiske kræfter og tilstandsvariable:

J_{\alpha }=J_{\alpha }(X_{1},\dots X_{\alpha};\,T,p,c_{k}).

Relationer af denne art mellem strømninger og kræfter kaldes fænomenologiske relationer eller materielle ligninger. Sammen med masse-, momentum- og energibalanceligningerne repræsenterer de et lukket system af ligninger, der kan løses under givne begyndelses- og randbetingelser. Da kræfter og strømninger i positionen af termodynamisk ligevægt forsvinder, antager udvidelsen af materialeligningen nær ligevægtspositionen følgende form:

J_{\alpha }=\sum _{\beta }L_({\alpha \beta }}X_{\beta},\;\;\;\;L_{{\alpha \beta }}={\frac { \partial J_{\alpha }}{\partial X_{\beta }}}.

Størrelserne kaldes fænomenologiske koefficienter og afhænger generelt af tilstandsvariablerne og . Det er vigtigt at være opmærksom på, at for eksempel en sådan kraft, der er i stand til at forårsage ikke kun en strøm af varme , men elektrisk strøm . En række restriktioner er pålagt de fænomenologiske koefficienter, mere om dem er beskrevet i den tilsvarende artikel . $L_{{\alpha \beta }}$ $T$ $s$ $c_{k}$ $\nabla {\frac {1}{T}}$ ${\boldsymbol {q}}$ ${\fed symbol {i}}$

Et andet vigtigt resultat opnået inden for lineær ikke-ligevægt termodynamik er minimum entropiproduktionssætningen :

I den lineære tilstand når den totale entropiproduktion i et system, der er underlagt strømmen af energi og stof i en stationær tilstand, der ikke er ligevægt , en minimumsværdi.

Også i dette tilfælde (lineær tilstand, stationær tilstand) er det vist, at strømmene med deres egne nulkræfter er lig med nul. Således kommer systemet for eksempel i tilstedeværelse af en konstant temperaturgradient, men i fravær af en opretholdt koncentrationsgradient, til en tilstand med konstant varmeflux, men uden stofstrøm.

Systemer ude af lokal ligevægt

På trods af succesen med den klassiske tilgang har den en betydelig ulempe - den er baseret på antagelsen om lokal ligevægt, hvilket kan være en for grov antagelse for en ret stor klasse af systemer og processer, såsom hukommelsessystemer , polymerløsninger , superfluids , suspensioner , nanomaterialer , udbredelse af ultralyd i gasser , fonon hydrodynamik , chokbølger , fordærvede gasser osv. De vigtigste kriterier, der forudbestemmer hvilke af de termodynamiske tilgange en forsker skal anvende, når den matematisk modellerer et bestemt system, er processens hastighed under undersøgelse og den ønskede grad af overensstemmelse mellem teoretiske resultater og eksperiment. Klassisk ligevægtstermodynamik betragter kvasistatiske processer , klassisk ikke- ligevægtstermodynamik betragter relativt langsomme ikke-ligevægtsprocesser ( varmeledning .).osvdiffusion, .

Rationel termodynamik

Historisk baggrund

Rationel termodynamik betragter termiske fænomener i kontinuum baseret på den ikke-traditionelle tilgang af K. Truesdell , P. A. Zhilin og deres tilhængere [9] [10] [11] [12] : "den traditionelle tilgang ... er på ingen måde forkert, men det opfylder ikke moderne krav om stringens og klarhed” [13] . K. Truesdell sporer historien om rationel termodynamik tilbage til værkerne af B. Coleman og W. Noll i 1950'erne [14] (se Noll, 1975 ).

Målet med rationel termodynamik, der fortsætter med at udvikle sig, er at skabe en stringent matematisk aksiomatik af kontinuum termomekanikkens indledende bestemmelser, så den dækker den bredest mulige klasse af modeller , og intuitive ideer om fysiske fænomener kommer til udtryk i den matematiske form af konstitutive relationer . Grundlaget for teorien er bygget på basis af sådanne matematiske strukturer og begreber som vektor , metriske og topologiske rum , kontinuerte og differentierbare afbildninger , manifolds , tensorer , grupper og deres repræsentationer osv. For simple objekter er en så kompliceret tilgang ikke påkrævet, men for mere komplekse fænomener i kontinuerlige medier, såsom viskoelasticitet , krybning , hukommelseseffekter ( hysterese ), afslapning osv., støder konstruktionen af fænomenologiske modeller ofte på vanskeligheder, hvoraf en væsentlig del relaterer sig til dannelsen af en tilstrækkelig matematisk apparat. Derfor er en nøjagtig beskrivelse af den matematiske struktur af et objekt baseret på aksiomatik og dets logiske konsekvenser ikke kun af metodisk interesse, men også af praktisk betydning.

Funktioner ved rationel termodynamik

Rationel termodynamik opdeler ikke termodynamik i ligevægt og ikke-ligevægt; begge disse discipliner behandles som en enkelt del af kontinuumfysikken . Tid er oprindeligt eksplicit inkluderet i ligningerne for rationel termodynamik.
I stedet for princippet om lokal ligevægt anvendes hypotesen om tilstedeværelsen af hukommelse i materialer, ifølge hvilken systemets opførsel på et givet tidspunkt bestemmes ikke kun af de aktuelle værdier af variablerne, men også af deres historie.
Det er tilladt at bruge disse og kun de begreber, der tillader formalisering .
Vi betragter ikke naturlige objekter, men kroppe - matematiske begreber opnået ved at abstrahere nogle af de fælles træk ved mange naturlige objekter. Teorien etablerer generelle love, som alle kroppe adlyder.
Specifikke legemer (materialer) beskrives ved hjælp af matematiske modeller , som er sæt af definerende ligninger; i en tilstand af termodynamisk ligevægt fungerer tilstandsligningerne som de styrende ligninger .
De første ubestemte variabler i teorien er rumlige koordinater, tid, masse, temperatur, energi og hastigheden for varmeforsyning/fjernelse. De introduceres a priori og har ikke en eksakt fysisk fortolkning inden for rammerne af rationel termodynamik.
I rationel termodynamik er eksistensen af temperatur ikke underbygget på grundlag af ideer om termisk ligevægt ; desuden betragtes sådanne beviser som "metafysikkens onde cirkler" [15] . I modsætning til de termodynamiske konstruktionssystemer, hvor temperaturen udtrykkes i form af intern energi og entropi [16] [17] , i rationel termodynamik tværtimod, udtrykkes entropi i form af intern energi og temperatur.
Termodynamikkens anden lov betragtes ikke som en begrænsning af mulige processer, men som en begrænsning af den tilladte form for ligninger, der beskriver virkelige systemer og processer [18] .
Den terminologi, der bruges i værker om rationel termodynamik, adskiller sig ofte fra den almindeligt accepterede (for eksempel kan entropi kaldes "kalorie"), hvilket gør det svært at forstå.

K. Truesdell om den traditionelle tilgang til konstruktionen af termodynamik

Udvidet termodynamik uden ligevægt

Udvidet nonequilibrium termodynamik [19] [20] [21] [22] er fokuseret på overvejelser om processer i situationer, hvor den karakteristiske tid for processen er sammenlignelig med afslapningstiden. Den er baseret på afvisningen af princippet om lokal ligevægt og, på grund af denne omstændighed, brugen af yderligere variabler til at indstille den lokalt ikke-ligevægtstilstand for et elementært volumen af mediet. I dette tilfælde inkluderer udtrykkene for entropi, entropiflow og entropiforekomsthastighed yderligere uafhængige variabler, som er dissipative flows, dvs. energiflow , masseflow og stresstensor , såvel som flows af anden og højere orden (energiflow og etc. .) [23] [24] . Denne tilgang har vist sig godt til at beskrive hurtige processer og til små lineære skalaer.

Afvisningen af formalismen i klassisk ikke-ligevægtstermodynamik fra et matematisk synspunkt betyder udskiftning af differentialligninger af parabolsk type med hyperbolske differentialligninger for dissipative strømme af evolutionær (afslapnings) type. Dette betyder igen, at man erstatter modeller, der modsiger både eksperimentelle data og kausalitetsprincippet med en uendelig hastighed for udbredelse af forstyrrelser i et kontinuerligt medium (såsom Fourier-modellen , ifølge hvilken en ændring i temperatur på et tidspunkt spredes øjeblikkeligt til hele kroppen) med modeller med en begrænset perturbationsudbredelseshastighed.

Varmeligningen af den hyperbolske type kombinerer egenskaberne af både den klassiske Fourier-lov, som beskriver en rent dissipativ metode til energioverførsel, og bølgeligningen, som beskriver udbredelsen af udæmpede bølger. Dette forklarer de eksperimentelt observerede bølgeegenskaber af varmeoverførselsprocessen ved lave temperaturer - udbredelsen af en termisk bølge med en endelig hastighed, refleksionen af en termisk bølge fra en termisk isoleret grænse, og når den falder på grænsefladen mellem to medier, delvis refleksion og delvis passage ind i et andet medium, interferens af termiske bølger [24] .

Den successive introduktion af strømme af anden og højere orden fører til det faktum, at matematiske modeller, der beskriver lokalt ikke-ligevægtstransportprocesser, er en hierarkisk sekvens af partielle differentialligninger, hvis rækkefølge stiger med graden af afvigelse af systemet fra lokal ligevægt.

Hamiltonske formuleringer af termodynamik uden ligevægt

Den Hamiltonske formulering af termodynamik uden ligevægt [25] tiltrækker med sin elegance, kortfattethed og kraftfulde numeriske metoder udviklet til Hamiltonske systemer. Betragtning af sammenhængen mellem Hamilton-princippet og det integrale variationsprincip i Gyarmati er viet et afsnit i monografien [26] .

Noter

↑ L. Onsager, Phys. Rev. 37 (1931) 405
↑ L. Onsager, Phys. Rev. 38 (1931) 2265
↑ C. Eckart, Phys. Rev. 58 (1940) 267, 269, 919
↑ J. Meixner og H. Reik, Thermodynamik der Irreversiblen Prozesse (Handbuch der Physik III/2), (S. Flugge, red.), Springer, Berlin, 1959.
↑ DN Zubarev, Dobbelt-tids grønne funktioner i statistisk fysik , Sov. Phys. Uspekhi, 1960, 3 (3), 320-345.
↑ I. Prigogine, Introduction to Thermodynamics of Irreversible Processes, Interscience, New York, 1961.
↑ S.R. de Groot og P. Mazur, Non-equlibrium Thermodynamics, Nordholland, Amsterdam, 1962.
↑ I. Prigogine, Introduktion til irreversible processers termodynamik, 2001 , s. 127.
↑ Truesdell, K., Thermodynamics for Beginners, 1970 .
↑ Truesdell, K., Primary Course in Rational Continuum Mechanics, 1975 .
↑ Truesdell C., Rational Thermodynamics, 1984 .
↑ Zhilin P. A., Rational continuum mechanics, 2012 .
↑ K. Truesdell, Primary Course in Rational Continuum Mechanics, 1975 , s. femten.
↑ K. Truesdell, Thermodynamics for Beginners, 1970 , s. 16.
↑ Truesdell, Bharatha, 1977 , s. 5.
↑ Guggenheim, 1986 , s. femten.
↑ Landau L. D., Lifshits E. M., Statistisk fysik. Del 1, 2002 , s. 54.
↑ Petrov N., Brankov J., Modern problems of thermodynamics, 1986 , s. 10-11.
↑ Müller I., Ruggeri T., Rational Extended Thermodynamics, 1998 .
↑ Eu BC, Generalized Thermodynamics, 2004 .
↑ Zhou D. et al., Extended Irreversible Thermodynamics, 2006 .
↑ Jou, 2010 .
↑ Ageev E.P. , Non-equilibrium thermodynamics in question and answers, 2005 , s. 49.
↑ 1 2 Sobolev S. L., Local non-equilibrium models of transport processes, 1997 .
↑ Jou, 2010 , s. 32-35.
↑ Gyarmati, 1974 , s. 243-249.

Litteratur

Eu BC Generaliseret termodynamik: Thermodynamik af irreversible processer og generaliseret hydrodynamik. — N. Y. e. a.: Kluwer Academic Publishers, 2004. - (Fundamental Theories of Physics. Vol. 124). — ISBN 1-4020-0788-4 .
Guggenheim E. A. Termodynamik: En avanceret behandling for kemikere og fysikere. — 8. udg. - Amsterdam: Nord-Holland, 1986. - T. XXIV. - 390 s.
Jou D., Casas-Vázquez J., Lebon G. Udvidet irreversibel termodynamik. — 4. udg. - NY-Dordrecht-Heidelberg-London: Springer, 2010. - V. XVIII. — 483 s. — ISBN 978-90-481-3073-3 . - doi : 10.1007/978-90-481-3074-0 .
Müller I., Ruggeri T. Rational Extended Termodynamik. — 2. udg. - NY-Berlin-Heidelberg: Springer, 1998. - T. XV. — 396 s. - (Springer Tracts in Natural Philosophy. Vol. 37). - ISBN 978-1-4612-7460-5 . - doi : 10.1007/978-1-4612-2210-1 .
Noll W. Grundlaget for mekanik og termodynamik: udvalgte papirer. - Berlin - Heidelberg - New York: Springer-Verlag, 1974. - T. X. - 324 s. — ISBN 978-3-642-65819-8 .
Truesdell C. The Tragicomical History of Thermodynamics, 1822-1854. - New York - Heidelberg - Berlin: Springer-Verlag, 1980. - T. XII. — 372 s. - (Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Vol. 4). - ISBN 978-1-4613-9446-4 .
Truesdell C., Bharatha S. Den klassiske termodynamiks koncepter og logik som en teori om varmemotorer. - New York - Heidelberg - Berlin: Springer-Verlag, 1977. - T. XVII. — 154 s. — ISBN 3-540-07971-8 .
Truesdell C. Rationel termodynamik. - New York - Berlin - Heidelberg - Tokyo: Springer-Verlag, 1984. - T. XVIII. — 578 s. — ISBN 0-387-90874-9 .
Ageev EP Nonequilibrium termodynamik i spørgsmål og svar. — 2. udg., rettet. og yderligere — M .: MTsNMO , 2005. — 160 s. — ISBN 5-94057-191-3 .
Bogolyubov N. N. Samling af videnskabelige artikler i 12 bind. - M.: Nauka, 2006. - V. 5: Ikke-ligevægt statistisk mekanik, 1939-1980. — ISBN 5-02-034142-8 .
Bonch-Bruevich VL, Tyablikov SV “ Greens funktionsmetode i statistisk mekanik. Arkivkopi dateret 8. juni 2008 på Wayback Machine "- M., 1961.
Glensdorf P., Prigozhin IR Termodynamisk teori om struktur, stabilitet og fluktuationer. — M.: Mir, 1973.
De Groot SR Termodynamik af irreversible processer Arkiveret 12. november 2007 på Wayback Machine . - M .: Stat. Forlag for tech.-theor. lit., 1956. 280 s.
De Groot S., Mazur P. Nonequilibrium termodynamik. M.: Mir, 1964. 456 s.
Gurov KP Fænomenologisk termodynamik af irreversible processer . — M.: Nauka, 1978. 128 s.
Gyarmati I. Termodynamik uden ligevægt. Felteori og variationsprincipper. — M.: Mir, 1974. 404 s.
Zhilin P. A. Rationel kontinuummekanik. - 2. udg. - Sankt Petersborg. : Polyteknisk Forlag. un-ta, 2012. - 584 s. - ISBN 978-5-7422-3248-3 .
Zhou D., Casas-Basquez H., Lebon J. Udvidet irreversibel termodynamik. - M.-Izhevsk: Forskningscenter "Regulær og kaotisk dynamik"; Institut for Computerforskning, 2006. - 528 s. — ISBN 5-93972-569-4 .
Zubarev D. N. "Nonequilibrium Statistical Termodynamik". — M.: Nauka, 1971.
Zubarev D. N., Morozov V. G., Röpke G. " Statistisk mekanik af ikke-ligevægtsprocesser ". Bind 1. - M .: Fizmatlit, 2002. ISBN 5-9221-0211-7 .
Zubarev D. N., Morozov V. G., Röpke G. " Statistisk mekanik af ikke-ligevægtsprocesser ". Bind 2. - M .: Fizmatlit, 2002. ISBN 5-9221-0212-5 .
Landau L. D. , Lifshitz E. M. Statistisk fysik. Del 1. - 5. udg. — M. : Fizmatlit, 2002. — 616 s. - (Teoretisk fysik i 10 bind. Bind 5). — ISBN 5-9221-0054-8 .
Petrov N., Brankov J. Moderne termodynamiske problemer. — Trans. fra bulgarsk — M .: Mir, 1986. — 287 s.
Prigozhin I. Introduktion til irreversible processers termodynamik litteratur, 1960. - 160 s.
Prigogine I. Introduktion til irreversible processers termodynamik / Pr. fra engelsk. udg. N.S. Akulova . - 2. udg. - M. - Izhevsk : Regular and Chaotic Dynamics, 2001. - 160 s. — ISBN 5-93972-036-6 .
Prigogine I., Kondepudi D. Moderne termodynamik. Fra varmemotorer til dissipative strukturer. Om. fra engelsk. — M.: Mir, 2002. — 461 s.
Sobolev S. L. Lokale ikke-ligevægtsmodeller af transportprocesser // Uspekhi fizicheskikh nauk . - Det Russiske Videnskabsakademi , 1997. - Nr. 10 . - S. 1095-1106 . - doi : 10.3367/UFNr.0167.199710f.1095 . (Russisk)
Stratonovich RL Ikke- lineær termodynamik uden ligevægt. Arkivkopi dateret 2. oktober 2019 på Wayback Machine - M .: Nauka, 1985. - 480 s.
Truesdell K. Termodynamik for begyndere // Mekanik. Periodisk samling af oversættelser af udenlandske artikler. - M .: Mir, 1970. - Nr. 3 (121), s. 116-128 . (Russisk)
Truesdell K. Indledende kursus i rationel kontinuumsmekanik / Pr. fra engelsk. under. udg. P. A. Zhilina og A. I. Lurie. - M . : Mir, 1975. - 592 s.

Ordbøger og encyklopædier	Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	GND : 4171730-2 J9U : 987007533846805171 LCCN : sh85092245 NKC : ph201869