I lineær algebra er en positiv bestemt matrix en hermitisk matrix , som på mange måder er analog med et positivt reelt tal . Dette koncept er tæt forbundet med den positive-definite symmetriske bilineære form (eller sesquilineær form i tilfælde af komplekse tal ).
Lad være en hermitisk matrix af dimension . Betegn den transponerede vektor med , og den konjugerede transponerede vektor med .
En matrix er positiv bestemt , hvis den opfylder et af følgende ækvivalente kriterier:
en. | For alle ikke-nul komplekse vektorer ,
Bemærk, at mængden altid er reel, da den er en hermitisk matrix . |
2. | Alle egenværdier , , er positive. Enhver hermitisk matrix , ifølge spektralnedbrydningssætningen, kan repræsenteres som en reel diagonal matrix , oversat til et andet koordinatsystem (det vil sige , hvor er en enhedsmatrix , hvis rækker er ortonormale egenvektorer , der danner grundlaget ). Ved denne definition er en matrix positiv-definitiv, hvis alle elementer i hoveddiagonalen (eller med andre ord egenværdier ) er positive. Det vil sige, at i en basis bestående af egenvektorer er virkningen på vektoren ækvivalent med komponentvis multiplikation med en positiv vektor. |
3. | En og en halv streg form
definerer prikproduktet i . Ved at generalisere ovenstående dannes ethvert skalært produkt ud fra en hermitisk positiv bestemt matrix. |
fire. | er Gram-matrixen dannet af sættet af lineært uafhængige vektorer
for nogle . Med andre ord er elementerne defineret som følger Således, , hvor er et injektiv , men ikke nødvendigvis en kvadratisk matrix . |
5. | Determinanterne for alle angulære mindreårige af matricer er positive ( Sylvesters kriterium ).
I overensstemmelse med dette kriterium, for positive semidefinite matricer , er alle angulære minorer ikke -negative, hvilket dog ikke er en tilstrækkelig betingelse for, at en matrix er positiv semidefinite, som det kan ses af følgende eksempel |
For reelle symmetriske matricer i ovenstående egenskaber kan rummet erstattes af , og konjugere transponerede vektorer med transponerede.
Det er også muligt at formulere positiv bestemthed i termer af kvadratiske former . Lad være et felt af reelle ( ) eller komplekse ( ) tal, og være et vektorrum over . Hermitisk form
er en bilineær kortlægning , desuden er konjugatet af er . En sådan funktion kaldes positiv bestemt når for enhver ikke-nul .
En hermitisk matrix af dimension vil blive kaldt negativ bestemt if
for alle ikke-nul (eller tilsvarende for alle ikke-nul ).
vil blive kaldt positiv semidefinit (eller ikke-negativ definit ) if
for alle (eller tilsvarende for alle ).
vil blive kaldt negativ semidefinit (eller nonpositive definite ) if
for alle (eller tilsvarende for alle ) [1] .
En matrix vil således være negativ bestemt, hvis alle dens egenværdier er negative, positiv semidefinit, hvis alle dens egenværdier er ikke- negative, og negativ semidefinit, hvis alle dens egenværdier er ikke -positive [2] .
En matrix er positiv semibestemt, hvis og kun hvis den er Gram-matrixen af et sæt vektorer. I modsætning til en positiv bestemt matrix er disse vektorer ikke nødvendigvis lineært uafhængige .
For enhver matrix gælder følgende: er positiv semibestemt, og . Det omvendte er også sandt: enhver positiv semi-bestemt matrix kan udtrykkes som ( Cholesky dekomponering ).
En hermitisk matrix , der hverken er positivt eller negativt semi-bestemt, kaldes ubestemt .
Lad os introducere notationen for positive semibestemte matricer og for positive bestemte matricer.
For vilkårlige kvadratiske matricer vil vi skrive hvis , det vil sige en positiv semidefinit matrix. Relationen definerer således en partiel orden på et sæt kvadratmatricer . På lignende måde kan den samlede ordrerelation defineres .
en. |
Enhver positiv-definit matrix er inverterbar , og dens inverse matrix er også positiv-definitiv. Hvis , så . |
2. | Hvis er en positiv-definitiv matrix og , så er en positiv-definitiv matrix.
Hvis og er positive bestemte matricer, så er produkterne og også positive bestemte. Hvis , så er det også positivt bestemt. |
3. | Hvis er en positiv bestemt matrix, så er elementerne i hoveddiagonalen positive. Derfor ,. Desuden, . |
fire. | er en positiv-definitiv matrix, hvis og kun hvis der eksisterer en positiv-definit sådan, at . Lad os betegne . En sådan matrix er unik, forudsat at . Hvis , så . |
5. | Hvis og er positive bestemte matricer, så (hvor angiver Kronecker-produktet ). |
6. | Hvis og er positive bestemte matricer, så (hvor angiver Hadamard-produktet ). Når matricerne er reelle, gælder følgende ulighed også ( Oppenheims ulighed ):
. |
7. | Hvis er en positiv bestemt matrix, a er en hermitisk matrix og , så . |
otte. | Hvis og er positive semibestemte reelle matricer, så . |
9. | Hvis er en positiv bestemt reel matrix, så eksisterer der et tal , sådan at , hvor er identitetsmatrixen . |
Reelle ikke-symmetriske matricer kan også tilfredsstille uligheden for alle ikke-nul reelle vektorer . Sådan er for eksempel matrixen
siden for alle reelle vektorer, der ikke er nul
Mere generelt, for alle ikke-nul reelle vektorer , hvis og kun hvis den symmetriske del er positiv bestemt.
For komplekse matricer er der flere generaliseringer af uligheden . Hvis for alle ikke-nul komplekse vektorer , så er matrixen Hermitian . Det vil sige, hvis , så er Hermitian . På den anden side, for alle ikke-nul komplekse vektorer , hvis og kun hvis den hermitiske del er positiv bestemt.