Udstillingsmarkise

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 23. november 2020; checks kræver 2 redigeringer .

Markisekortlægningen i teorien om dynamiske systemer er givet som følger: $f_{\mu}=\mu \min\{x,1-x\}$

For værdier transformerer teltkortet segmentet til sig selv, idet det er et dynamisk system med diskret tid. Især kredsløbet af et punkt fra et interval er sekvensen : $\mu\in[0;2]$ $[0;1]$ $x_0$ $[0;1]$ $x_{n}$

x_{n+1}=f_{\mu }(x_{n})={\begin{cases}\mu x_{n},&x_{n}<{\frac {1}{2)) ,\\\\\mu (1-x_{n}),&{\frac {1}{2}}\leq x_{n}.\end{cases}}

På trods af at teltkortlægningen er et ret simpelt ikke-lineært dynamisk system, udviser det en række egenskaber, som også er karakteristiske for mere komplekse systemer: tætheden af periodiske baner , blanding , følsomhed over for begyndelsesbetingelser , dvs. tilfældighed [1] .

Egenskaber

Hvis , er et attraktivt fikspunkt : systemet vil have en tendens til at nulstilles med tiden skridende frem til uendelig for enhver startværdi fra intervallet . $\mu\in[0;1)$ $x=0$ $x$ $[0;1]$
Hvis , er alle fikspunkter og er præperiodiske punkter i enhedsperioden (efter én iteration bliver de til fikspunkter). $\mu=1$ $x\in[0;0,5]$ $x\in(0,5;1]$
Hvis , så har kortlægningen to fikspunkter: og . Desuden vil de begge være ustabile, det vil sige, at værdierne, der ligger i nærheden af faste punkter, vil bevæge sig væk fra dem med efterfølgende iterationer. Desuden, for sådanne værdier på , indeholder intervallet både periodiske og ikke-periodiske punkter. $\mu\in(1;2]$ $x=0$ $x={\frac {\mu }{1+\mu }}$ $x$ $\mu$ $x\in [\mu-{\mu^2}/2;{\mu}/2 ]$
Hvis , så kortlægger systemet sættet af intervaller fra segmentet til sig selv, og deres forening er Julia-sættet af teltkortlægningen, dvs. sæt punkter, hvis kredsløb er ustabile. $\mu\in(1;\sqrt2]$ $[\mu-{\mu^2}/2;{\mu}/2 ]$
- forstørrelse viser, at for μ ≈ 1 består Julia-sættet af flere intervaller. Diagrammerne viser 4 og 8 intervaller med tilstrækkelig forstørrelse.

Bifurkationsdiagram , der viser forteltet. En højere tæthed svarer til en større sandsynlighed for, at variablen x får en given værdi for parameteren $\mu$
Når forstørret nær spidsen, er 4 intervaller synlige
Yderligere forstørrelse viser 8 intervaller

Hvis , så konvergerer intervallerne fra segmentet , og Julia-sættet er hele intervallet (se bifurkationsdiagrammet). $\mu\in(\sqrt2;2]$ $[\mu-{\mu^2}/2;{\mu}/2 ]$ $[\mu-{\mu^2}/2;{\mu}/2 ]$

Hvis , så transformerer systemet segmentet [0;1] til sig selv. I dette tilfælde er de periodiske punkter tætte på segmentet, så kortlægningen udviser tilfældighed [2] . Den ikke-periodiske adfærd er unik for irrationelle tal, hvilket kan vises ved den mekanisme, hvorved kortlægningen virker på tallet repræsenteret i binær notation: det flytter det binære komma til højre med én decimal, og derefter, hvis det skete at være til venstre for kommaet er en enhed, kasserer den og gør alle ener til nuller og omvendt (undtagen den sidste for tal med endelig binær notation). For et irrationelt tal, hvis binære notation er ikke-periodisk, er dette en uendelig proces. Derudover er det værd at bemærke, at for teltkortlægningen er topologisk konjugeret til den logistiske kortlægning for og semi -konjugeret til fordoblingsmappingen , hvilket indikerer ligheden mellem de dynamiske egenskaber af disse kortlægninger [3] . Faktisk, lad være kredsløbet for kortlægningsteltet for , og være kredsløbet for den logistiske kortlægning for , så er de relateret af relationen: . $\mu=2$ $\mu=2$ $r=4$ $\mu=2$ $x_{n}$ $\mu=2$ $y_{n}$ $r=4$ $x_n = \tfrac{2}{\pi}\sin^{-1}(y_{n}^{1/2}).$
Hvis , Julia-sættet af kortlægningen indeholder stadig et uendeligt antal af både periodiske og ikke-periodiske punkter, men næsten overalt har segmentets punkter en tendens til uendelig. Selve sættet bliver kantorisk . Især Julia-sættet af markisekortet til er standard Cantor-sættet. $\mu\in(2;+\infty)$ $[0;1]$ $\mu=3$

Asymmetrisk markisedisplay

Genstanden for undersøgelsen af teorien om dynamiske systemer er også den asymmetriske visning af forteltet . Det kan opfattes som en udvidelse af standardteltmontren: $f_\alpha: [0;1] \højrepil [0;1], \alpha \in (1; +\infty)$ $\mu=2$

x_{n+1}=f_\alpha(x_n)=\begin{cases} \alpha x_n & \mathrm{for}~~ 0 \le x_n < \frac{1}{\alpha} \\ \\ \frac {\alpha}{\alpha-1} (1-x_n) & \mathrm{for}~~ \frac{1}{\alpha} \le x_n \le 1 \end{cases}

Den asymmetriske visning af markisen bevarer formen af en stykkevis lineær funktion og kan bruges til at repræsentere reelle tal fra analogt med decimalnotation [4] . $[0;1]$

Se også

Litteratur

↑ Lynch, Stephen. "Ikke-lineære diskrete dynamiske systemer." Dynamiske systemer med applikationer, der bruger Maple. Birkhauser Boston, 2010. 263-295.
↑ Li, Tien-Yien og James A. Yorke. "Periode tre indebærer kaos." Amerikansk matematisk månedsskrift (1975): 985-992.
↑ Smale, Stephen, Morris W. Hirsch og Robert L. Devaney. "Diskrete dynamiske systemer." Differentialligninger, dynamiske systemer og en introduktion til kaos. Vol. 60. Academic Press, 2003. 327-357.
↑ Lagarias, JC, HA Porta og KB Stolarsky. "Asymmetriske teltkortudvidelser. I. Til sidst periodiske punkter." Journal of the London Mathematical Society 2.3 (1993): 542-556.