Sochocki-Weierstrass sætning

Sochocki-Weierstrass- sætningen er en kompleks analysesætning , der beskriver adfærden af en holomorf funktion i et kvarter med et væsentligt entalspunkt.

Den siger, at enhver analytisk funktion med en enkelt værdi i hvert kvarter af et i det væsentlige singulære punkt tager værdier vilkårligt tæt på et vilkårligt forudtildelt komplekst tal [1] .

Historie

Den blev udgivet af Yu. V. Sokhotsky i 1868 i hans kandidatafhandling [K 1] ; det beviste, at "i en pol af uendelig orden" (sådan blev det i det væsentlige ental punkt kaldt) funktionen "bør tage alle mulige værdier" (i dette arbejde blev værdien af funktionen på dette tidspunkt forstået som grænseværdien langs rækkefølgen af punkter, der konvergerer til den) [2] .

Samtidig med Sokhotsky offentliggjorde den italienske matematiker F. Casorati en sætning om tætheden af billedet af et punkteret kvarter af et væsentligt enkeltpunkt i sit arbejde "Theory of functions of complex variables" [K 2] . Weierstrass offentliggjorde denne sætning først i 1876 i sit arbejde "On the theory of single-valued analytic functions" [K 3] [3] . For første gang støder de franske matematikere Ch. Briot og J.C. Bouquet på den i deres arbejde med teorien om elliptiske funktioner [K 4] [1] .

Ingen steder forsvarede Sokhotsky sin prioritet over dette og sine andre resultater, der blev tilskrevet andre [2] ; i litteratur på europæiske sprog er sætningen kendt som Casorati-Weierstrass-sætningen .

Ordlyd

Uanset hvad , i ethvert område af et væsentligt entalspunkt i funktionen er der mindst et punkt , hvor værdien af funktionen afviger fra et vilkårligt givet komplekst tal B med mindre end . $\varepsilon >0$ $z_{0}$ $f(z)$ $z_{1}$ $f(z)$ $\varepsilon$

Bevis

Antag, at sætningen er falsk, dvs.

\exists B\in \mathbb {C} \qquad \exists \varepsilon >0\qquad \exists \eta _{0}>0:\qquad \forall z:|z-z_{0}|<\ eta_{0}

|f(z)-B|>\varepsilon

Lad os overveje en hjælpefunktion . I kraft af vores antagelse er funktionen defineret og afgrænset i et område af punktet . Derfor er et aftageligt ental punkt [4] . Det betyder, at udvidelsen af funktionen i nærheden af punktet har formen: $\psi (z)={\frac {1}{f(z)-B))$ $\psi (z)$ $\eta _{0}$ $z_{0}$ $z_{0}$ $\psi (z)$ $\psi (z)$ $z_{0}$

\psi (z)=(z-z_{0})^{m}{\stackrel {\sim }{\varphi }}(z)\qquad {\stackrel {\sim }{\varphi }} (z)\neq 0

Derefter, i kraft af definitionen af funktionen , finder følgende udvidelse af funktionen sted i det givne naboskab af punktet : $\psi (z)$ $z_{0}$ $f(z)$

f(z)=(z-z_{0})^{-m}\varphi (z)+B

hvor den analytiske funktion er afgrænset i punktets -naboskab . Men en sådan udvidelse betyder, at punktet er en pol eller et regulært punkt i funktionen , og udvidelsen af sidstnævnte i en Laurent-række skal indeholde et endeligt antal led, hvilket er i modstrid med sætningens betingelse. $\varphi (z)={\frac {1}{{\stackrel {\sim }{\varphi }}(z)))$ $\eta _{0}$ $z_{0}$ $z_{0}$ $f(z)$

■

Tilsvarende kan denne sætning omformuleres som følger:

Hvis et punkt i det væsentlige er ental for en funktion , der er analytisk i et eller andet punkteret kvarter , så kan man for et vilkårligt komplekst tal finde en sekvens, der konvergerer til for hvilket . $z_{0}$ $f(z)$ ${\displaystyle U=\{z:\,0<|z-z_{0}|<\varepsilon \))$ $w$ $\{z_{n}\}\subset U$ $z_{0}$ $\{f(z_{n})\}\to w$
sættet af værdier for en holomorf funktion i et vilkårligt lille punkteret kvarter af dets væsentlige entalspunkt er overalt tæt i . $\mathbb {C}$

Generaliseringer

Sochockis sætning er generaliseret af Picards store sætning , som siger, at en analytisk funktion i et kvarter med et i det væsentlige enkeltstående punkt antager alle værdier undtagen måske én værdi.

Kommentarer

↑ Teori om integrale rester med nogle anvendelser. - Sankt Petersborg. , 1868.
↑ Casorati F. Teorica delle funzioni di variabili complesse. — Pavia, 1868.
↑ Weierstrass K. Zur Theorie der eindeutigen analytischen Funktionen // Math. Werkc, Bd 2, B. - P. 77-124.
↑ C. Briot, I. Bouquet. Théorie des fonctions doublement périodiques et en particulier des fonctions elliptiske. — 1859.

Litteratur

Evgrafov M. A. Analytiske funktioner. — M .: Nauka . — 1968, 448 sider.
Shabat BV Introduktion til kompleks analyse. — M .: Nauka . - 1969, 577 sider.