Model FitzHugh - Nagumo

FitzHugh-Nagumo-modellen er en matematisk model opkaldt efter Richard FitzHugh (1922-2007), som i 1961 udgav [A: 1] [B: 1] det tilsvarende system af differentialligninger kaldet Bonhoeffer-van der Pol-modellen , og D Nagumo (1926-1999) [1] , som foreslog et lignende ligningssystem året efter.

Formel definition

[A: 1] blev oprindeligt afledt som en generalisering af van der Pol -ligningen og en model foreslået af den tyske kemiker Karl-Friedrich Bonhoeffer .

Ved at bruge den konventionelle Liénard-transformation [A: 2] :

FitzHugh omskrev van der Pol-modellen i Cauchy normal form:

Yderligere, ved at tilføje nye medlemmer, opnår R. FitzHugh et system af almindelige differentialligninger, som han betegnede som "Bonhoeffer-van der Pol-modellen" (i originalen: Bonhoeffer-van der Pol-modellen (forkortet BVP)) :

hvor . For et bestemt tilfælde degenererer denne model til Van der Pol-oscillatoren .

I 1991 Arthur Winfrey[A: 3] gennemførte en undersøgelse af denne model i tilfælde af et todimensionelt miljø, og foreslog også en klassificering af varianter af at skrive denne model af forskellige forfattere af videnskabelige artikler. Den version af modelindlægget foreslået af R. FitzHugh, [A: 1] svarer til formatet 1 , ifølge A. Winfrey. I formatet 4 [A:4] kan det omskrives som

I sin kanoniske form skrives det [A: 4] som

.

Med Bohoeffer-van der Pol-modellen, som R. FitzHugh selv præsenterede i 1961, falder FitzHugh-Nagumo-modellen, som er almindeligt anvendt i de biologiske videnskaber, sammen med inden for tegn. I traditionen med at modellere fysiologiske processer er dette dynamiske system skrevet som:

hvor er en dimensionsløs funktion svarende til transmembranpotentialet i et biologisk exciterbart væv og er en dimensionsløs funktion svarende til en langsom genopretningsstrøm. Med en bestemt kombination af parametre i ligningssystemet observeres en alt-eller-intet- respons : hvis en ekstern stimulus overskrider en bestemt tærskelværdi, vil systemet demonstrere en karakteristisk frem- og tilbagegående bevægelse (ekskursion) i faserummet, indtil variablerne og ikke "slappe af" til de tidligere tilstande. Denne adfærd er typisk for pigge , der exciteres i en neuron ved stimulering af et eksternt inputsignal.

Dynamikken i dette system kan beskrives som at skifte mellem venstre og højre gren af ​​den kubiske nul-isokline .

Betydning i videnskaben

Denne model er et eksempel på enkeltstående forstyrrede systemer [B: 2] , og der forekommer afslapningsoscillationer i den .

Mens van der Pol -ligningen (og det tilsvarende system) er en konceptuel grænsecyklusmodel , er Bonhoeffer-van der Pol-ligningen (og det tilsvarende system) klassificeret som en konceptuel model af autobølgeprocesser . På grundlag heraf er der skabt et stort antal emnemæssige, formelt kinetiske, modeller af kemiske og biologiske svingningssystemer. Udbredt som en " grundmodel for en lang række biofysiske problemer ". [2]

Rolle i fysiologi

I fysiologi bruges adfærden af ​​et exciterbart væv (for eksempel en neuron) som en begrebsmæssig matematisk model. FitzHugh-Nagumo-modellen kan ses som en forenklet version af Hodgkin-Huxley-modellen , som i nogen detaljer forklarer dynamikken i aktivering og deaktivering af en pulserende neuron.

Bifurkationsfænomener af forsinkelse og hukommelse

Det er blevet foreslået [A: 4] at de tidligste observationer af " bifurkationshukommelse " skal betragtes som fænomenerne beskrevet i 1961 af FitzHugh [A: 1] : en del af fasebanerne bevæger sig langs separatrix. FitzHugh betegner dem med ordene "kvasi-tærskel fænomener", og understreger derved det faktum, at resultaterne opnået i hans eksperimenter adskilte sig væsentligt fra dem, der normalt blev observeret i eksperimentelt arbejde med fysiologi af excitable væv, og som blev udpeget af fysiologer som en " tærskeleffekt" eller svar efter princippet " alt eller intet ".

Yderligere resultater om bifurkationsfænomenerne forsinkelse og hukommelse i FitzHugh-Nagumo-systemet blev offentliggjort i 1989. [A:5]

Se også

Noter

  1. ↑ En lignende løsning blev foreslået af Jin'ichi Nagumo, Suguru Arimoto og Shuji Yoshizawa. [en]
  2. ↑ Mishchenko, 1995 , kapitel 2, s. 114-132.

Litteratur

Bøger

  1. ↑ FitzHugh R. Matematiske modeller af excitation og udbredelse i nerve. Kapitel 1 // Biologisk teknik  (engelsk) / HP Schwan. - N. Y .: McGraw-Hill Book Co., 1969. - S. 1-85.
  2. ↑ Mishchenko E. F. , Kolesov Yu. S. , Kolesov A. Yu. , Rozov N. Kh . Periodiske bevægelser og bifurkationsprocesser i enkeltstående forstyrrede systemer . - M . : Fizmatlit, 1995. - 336 s. — ISBN 5-02-015129-7 .

Artikler

  1. ↑ 1 2 3 4 FitzHugh R. Impulser og fysiologiske tilstande i teoretiske modeller af nervemembraner   // Biophys . J. : blad. - 1961. - Bd. 1 . — S. 445–466 .
  2. ↑ Liénard A. Étude des oscillations entretenues  (fransk)  // Revue Générale de l'Électricité : magasin. - 1928. - Bd. 23 . — S. 901–912, 946–954 .
  3. ↑ Winfree AT Varieties af spiralbølgeadfærd: En eksperimenterende tilgang til teorien om excitable medier  //  Chaos : journal. - 1991. - Bd. 1 , nr. 3 . — S. 303–334 .
  4. ↑ 1 2 3 Moskalenko A. V. , Tetuev R. K. , Makhortykh S. A. På spørgsmålet om den aktuelle tilstand af oscillationsteorien  // Preprints of the IAM im. M. V. Keldysh  : journal. - 2019. - Nr. 44 . — S. 1–32 . — ISSN 2071-2901 . - doi : 10.20948/prepr-2019-44 .
  5. ↑ Baer SM , Erneux T. , Rinzel J. [ http://www.jstor.org/stable/2102057 Den langsomme passage gennem en Hopf-bifurkation: forsinkelse, hukommelseseffekter og resonans]  //  SIAM J. Appl. Matematik. : magasin. - 1989. - Bd. 49 , nr. 1 . — S. 55–71 .

Yderligere læsning

Links