En basisfunktion er en funktion , der er et element af basis i funktionsrummet .
Anvendes i beregningen af variationer [B: 1] , i signalanalyse [B: 2] og andre anvendelser af funktionel analyse.
Tidligt arbejde brugte udtrykket koordinatfunktion som et foretrukket synonym . [1] En basisfunktion kan også kaldes en basisvektor, hvis basis er defineret i et lineært rum . [B:3]
Sæt af basisfunktioner har den egenskab, at alle funktioner fra et givet funktionsrum (med visse begrænsninger) kan repræsenteres som deres lineære kombination . [B:2] [a 1]
I ortogonale funktionsrum kan den oprindelige funktion repræsenteres af et sæt (vektor) af dens ekspansionskoefficienter. Denne egenskab giver dig mulighed for at erstatte tidskrævende beregninger med enklere algebraiske operationer direkte i funktionsrummet. [B:2] [a 1]
Enhver analytisk funktion af et argument kan udvides til en sum af potensfunktioner med forskellige koefficienter, det vil sige udvidet til en Taylor-serie .
Hvis harmoniske funktioner er valgt som basisfunktioner , så er udvidelsen i form af dem Fourier-transformationen .
Som et ortogonalt grundlag viser det sig ofte praktisk at vælge funktioner, der er meget udbredt i matematisk fysik, såsom klassiske ortogonale polynomier ( Jacobi , Laguerre og Hermite polynomier ), hypergeometriske og degenererede hypergeometriske funktioner . [2]