Hamiltons ligninger

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 4. september 2020; checks kræver 5 redigeringer .

Hamiltons ligninger (også kaldet kanoniske ligninger ) i fysik og matematik - et system af differentialligninger :

{\dot {p}}_{j}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{j}}},

{\dot {q}}_{j}=~~{\frac {\partial H}{\partial p_{j}}},

hvor punktet ovenfor og betegner den tidsafledede . Systemet består af 2 N førsteordens differentialligninger ( j = 1, 2, …, N) for et dynamisk system beskrevet af N (generaliserede) koordinater, som er bevægelsesligninger (en af formerne for sådanne ligninger, sammen med Lagrange-ligningerne , som er en generalisering af Newtonske ligningers bevægelse) af systemet, hvor er den såkaldte Hamilton-funktion , også nogle gange omtalt som Hamiltonian , er tid [1] , er (generaliserede) koordinater og er generaliserede momenta $s$ $q$ $H=H(q,p,t)\ækvivalent H(q_{1},q_{2},...,q_{N},p_{1},p_{2},...,p_{N },t)$ $t$ $q_{i}$ $(q_{1},q_{2},\dots,q_{N})$ $p_{i}$ $(p_{1},p_{2},\dots,p_{N})$ , som bestemmer systemets tilstand (et punkt i faserummet ).

Hamiltons ligninger er meget brugt i Hamiltons mekanik og andre områder inden for teoretisk fysik og matematik.

Newtonsk fysisk betydning

Den enkleste fortolkning af disse ligninger er som følger. I de enkleste tilfælde repræsenterer Hamiltonian energien af et fysisk system, som er summen af de kinetiske og potentielle energier , traditionelt betegnet og hhv. $H$ $T$ $V$

H=T+V,~T={\frac {p^{2}}{2m)),~V=V(q)=V(x).

I et særligt tilfælde, hvis de kartesiske koordinater for hvert materialepunkt i systemet er skrevet i en række med tre (vi vil her mene det fysiske rum som et almindeligt tredimensionelt), dvs. $q=X$

X_{1}=x_{1},\;X_{2}=y_{1},\;X_{3}=z_{1},\ \ X_{4}=x_{2},\ ;X_{5}=y_{2},\;X_{6}=z_{2},\;\dots ,

så falder Hamiltons kanoniske ligninger, givet det foregående afsnit, sammen med Newtons bevægelsesligninger i formen:

{\dot {\vec {P}}}=-\nabla V,

{\dot {\vec {X}}}={\vec {p}}/m,

hvor , og hvert underrum giver radiusvektoren for det tilsvarende materialepunkt: ${\vec X}=(X_{1},X_{2},\dots,X_{N})$

{\vec {r}}_{1}=(X_{1},X_{2},X_{3}),\ {\vec {r}}_{2}=(X_{4} ,X_{5},X_{6}),\;\dots ,

og det generaliserede momenta er de tilsvarende komponenter i det tredimensionelle momenta for dette punkt:

{\vec p}_{1}=(P_{1},P_{2},P_{3}),\ {\vec p}_{2}=(P_{4},P_{5},P_ {6}),\;\prikker

Grundlæggende fortolkning

Hamilton-funktionen er i det væsentlige en lokal spredningslov, der udtrykker kvantefrekvensen (frekvensen af oscillationer af bølgefunktionen) i form af bølgevektoren for hvert punkt i rummet [2] : $\omega$ ${\mathbf k}$

\omega =H({\mathbf k},{\mathbf x}).

I den klassiske tilnærmelse (ved høje [3] frekvenser og bølgevektormodul og en relativt langsom afhængighed af ), beskriver denne lov ganske klart bevægelsen af en bølgepakke gennem kanoniske Hamilton-ligninger, hvoraf nogle ( ) fortolkes som en gruppehastighed formel opnået fra spredningsloven, og andre ( ) er ret naturlige - som en ændring (især rotation) af bølgevektoren under bølgeudbredelse i et inhomogent medium af en bestemt type. ${\mathbf x}$ ${\dot q}_{i}=\partial H/\partial p_{i}$ ${\dot p}_{i}=-\partial H/\partial q_{i}$

Afledning af Hamiltons ligninger

Afledning fra princippet om stationær handling

Ud fra princippet om mindst (stationær) handling opnås Hamilton-ligningerne direkte ved at variere handlingen

S=\int \limits _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}{\bigg (}\sum _{i}p_{i}{\dot q}_{i}-H (q,p,t){\bigg )}dt

uanset og på . $q$ $s$

Afledning fra Lagrangiansk mekanik

Vi kan udlede Hamiltons ligninger ved hjælp af information om, hvordan Lagrangian ændrer sig med tid, koordinater og partikelmomentum.

{\mathrm {d}}L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}{\mathrm {d}}q_{i}+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot q}_{i)))){\mathrm {d}}({\dot q}_{i}}\right)+{\frac {\partial L }{\partial t}}{\mathrm {d}}t

de generaliserede momenta er defineret som , og Lagrange-ligningerne lyder: $p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot q}_{i))))$

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}}-{ \frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=F_{i},

hvor er en ikke-potentiel generaliseret kraft. Det sidste udtryk konverteres til formen $F_{i}$

{\frac {\partial L}{\partial q_{i))}={\dot {p))_{i}-F_{i},

og resultatet erstattes med variationen af Lagrangian

\mathrm {d} L=\sum _{i}\left[\left({\dot {p}}_{i}-F_{i}\right)\mathrm {d} q_{i} +p_{i}\mathrm {d} {{\dot {q}}_{i}}\right]+{\frac {\partial L}{\partial t}}\mathrm {d} t.

Du kan skrive:

{\mathrm {d}}L=\sum _{i}\left[\left({{\dot p}}_{i}-F_{i}\right){\mathrm {d}}q_{i }+{\mathrm {d}}\left(p_{i}{{\dot q}_{i}}\right)-{{\dot q}_{i}}{\mathrm {d}}p_ {i}\right]+{\frac {\partial L}{\partial t}}{\mathrm {d}}t

og konverteret til formen:

\mathrm {d} \left(\sum _{i}p_{i}({\dot {q))_{i}}-L\right)=\sum _{i}\left[\ venstre(F_{i}-{\dot {p}}_{i}\right)\mathrm {d} q_{i}+({\dot {q}}_{i}}\mathrm {d} p_ {i}\right]-{\frac {\partial L}{\partial t))\mathrm {d} t.

Faktoren på venstre side er kun Hamiltonian, som blev defineret tidligere. På denne måde:

\mathrm {d} H=\sum _{i}\left[\left(F_{i}-{\dot {p}}_{i}\right)\mathrm {d} q_{i} +{{\dot {q}}_{i}}\mathrm {d} p_{i}\right]-{\frac {\partial L}{\partial t}}\mathrm {d} t=\sum _{i}\venstre[{\frac {\partial H}{\partial q_{i))}\mathrm {d} q_{i}+{\frac {\partial H}{\partial p_{i)) }\mathrm {d} p_{i}\right]+{\frac {\partial H}{\partial t))\mathrm {d} t,

hvor den anden lighed gælder på grund af definitionen af den partielle afledte.

Generalisering via Poisson-parenteser

Ligningerne kan skrives i en mere generel form ved at bruge Poisson-algebraen over generatorerne og . I dette tilfælde lyder den mere generelle form for Hamiltons ligninger: $s$ $q$

{\frac {dA}{dt}}=\{A,H\}+{\frac {\partial A}{\partial t)),

hvor , kaldet den klassiske observerbare, er en eller anden funktion af variablerne , og , og er Hamiltonian af systemet. Du kan arbejde med Poisson-parenteser uden at ty til differentialligninger, da Poisson-parenteser er fuldstændig analoge med Lie-parenteser i Poisson-algebraen. $EN$ $s$ $q$ $t$ $H$

Denne algebraiske tilgang giver os mulighed for at bruge sandsynlighedsfordelingen for og , den giver os også mulighed for at finde bevarede størrelser (integraler af bevægelse). $q$ $s$

Hamiltons ligninger er blandt de grundlæggende ligninger i klassisk mekanik. I kvantemekanikken er analogen til den reducerede Hamilton- ligning Heisenberg-ligningen .

Se også

Noter

↑ Hamilton-funktionen kan generelt set afhænge eksplicit af tid, selvom der i mange fundamentale tilfælde ikke er en sådan afhængighed.
↑ Da energi og momentum er frekvens- og bølgevektoren, adskiller de sig kun fra dem ved en universel konstant faktor, som kan vælges til at være enhed i et passende system af enheder.
↑ Da forbindelsen mellem energi og frekvens, momentum og bølgevektor i almindelige enhedssystemer inkluderer Plancks konstant , som er meget lille i disse almindelige enhedssystemer, svarer meget store energier og momenta til det sædvanlige for klassisk mekanik (til sammenligning). med den rumlige og tidsskalaen) frekvenser og bølgevektorer.

Litteratur

Vilazi G. Hamiltonsk dynamik. oversættelse fra engelsk M.: IKI i RHD, 2006. 432s. ISBN 5-93972-444-2
Landau L. D. , Lifshits E. M. Mekanik. - 5. udgave, stereotypisk. — M .: Fizmatlit , 2001. — 222 s. - (" Teoretisk fysik ", bind I). - ISBN 5-9221-0055-6 .
Leach JW Klassisk mekanik. M.: Udenlandsk. litteratur, 1961.
D. ter Haar. Grundlæggende om Hamiltons mekanik. Moskva: Nauka, 1974.
Polak L. S. (red.) Mekanikkens variationsprincipper. Samling af artikler af videnskabens klassikere. Moskva: Fizmatgiz, 1959