Idempotent matrix

En idempotent matrix er en matrix , der er idempotent med hensyn til matrixmultiplikation , det vil sige en matrix , der opfylder betingelsen . $P$ $P\cdot P=P$

Eksempler

Eksempler på idempotente matricer:

{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix)),

{\begin{pmatrix}-26&-18&-27\\21&15&21\\12&8&13\end{pmatrix}}

Reelle matricer af orden 2

Hvis matrixen er idempotent, så ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

$a=a^{2}+bc,$
$b=ab+bd,$ hvorfra , derfor enten , eller $b(1-ad)=0$ $b=0$ $d=1-a,$
$c=ca+cd,$ hvorfra , derfor enten , eller $c(1-ad)=0$ $c=0$ $d=1-a,$
$d=bc+d^{2}.$

En nødvendig betingelse for idempotensen af en matrix af orden 2 er således dens diagonalitet eller ligheden af dens spor til enhed. For diagonale idempotente matricer , og kan kun være lig med nul eller én. $-en$ $d$

Når matricen vil være idempotent ved , dvs. hvis den er en løsning til andengradsligningen $b=c$ ${\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}$ $a^{2}+b^{2}=a$ $-en$

a^{2}-a+b^{2}=0

eller

\left(a-{\frac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}={\frac {1}{4)),

som er ligningen for en cirkel med radius 1/2 centreret ved (1/2, 0).

Men lighed er ikke en nødvendig betingelse: enhver forms matrix $b=c$

{\begin{pmatrix}a&b\\c&1-a\end{pmatrix}}

for vil være idempotent.

a^{2}+bc=a

Egenskaber

Hvis matrixen er idempotent, så er matrixen også idempotent, da $EN$ $IA$

(IA)(IA)=IA-A+A^{2}=IA-A+A=IA.

Ved hjælp af metoden til matematisk induktion er det let at vise, at hvis matrixen er idempotent, så for ethvert naturligt tal , . $EN$ $n$ $A^{n}=A$

Hvis matrixen er idempotent, så er matrixen involutiv , og omvendt, hvis matrixen er involutiv, så er matrixen idempotent [1] . $P$ $I=2P-E$ $jeg$ $P={\frac {1}{2}}(I+E)$

Reversibilitet

Den eneste ikke- degenererede idempotente matrix er identitetsmatrixen . Faktisk, lad for en idempotent matrix eksisterer . Så . $EN$ $A^{{-1}}$ $A=A^{-1}A^{2}=A^{-1}A=I$

Egenværdier

Enhver idempotent matrix er altid diagonaliserbar og dens egenværdier er nul og én [2] .

Næste

Sporet af en idempotent matrix er lig med dens rang . Dette giver dig mulighed for at beregne sporet af en matrix, hvis elementer ikke er eksplicit specificeret, hvilket er nyttigt, for eksempel i statistik , når du skal fastslå graden af afvigelse af stikprøvevariansen fra den teoretiske varians .

Ansøgninger

Lineær regression

Når man løser et lineært regressionsproblem ved hjælp af mindste kvadraters metode , er det nødvendigt at finde en estimeringsvektor, der minimerer summen af kvadratiske afvigelser , som skrives i matrixform som $\beta$ $e_{i}$

e^{\mathrm {T} }e=(yX\beta )^{\mathrm {T} }(yX\beta ),

hvor er vektoren af observationer af den afhængige variabel, er en matrix, hvis kolonner repræsenterer observationerne af de uafhængige variable . Løsningen er vektoren $y$ $x$

{\hat {\beta }}=\left(X^{\mathrm {T}}X\right)^{-1}X^{\mathrm {T} }y,

og den tilsvarende afvigelsesvektor er [3]

{\hat {e}}=yX{\hat {\beta }}=yX\venstre(X^{\mathrm {T}}X\right)^{-1}X^{\mathrm {T } }y=\left[IX\left(X^{\mathrm {T}}X\right)^{-1}X^{\mathrm {T} }\right]y=My.

Her og er idempotente og symmetriske matricer, hvilket forenkler beregningen af summen af kvadrerede afvigelser: $M$ $X\left(X^{\mathrm {T}}X\right)^{-1}X^{\mathrm {T} }$

{\hat {e}}^{\mathrm {T} }{\hat {e}}=(Min)^{\mathrm {T} }(Min)=y^{\mathrm {T} } M^{\mathrm {T} }Min=y^{\mathrm {T} }MMy=y^{\mathrm {T} }Min.

Idempotens bruges også i andre beregninger, såsom bestemmelse af variansen af scoringsvektoren . $M$ ${\hat {\beta ))$

Lad være matrixen opnået ved at fjerne nogle kolonner, og lad . Det er let at verificere, at og , og er idempotente og desuden . Dette følger af, at eller med andre ord, afvigelserne i regressionen af kolonnerne på er lig med nul, da det ideelt set kan interpoleres som en delmængde (ved direkte substitution kan man også nemt vise at ). Det følger, at matrixen er symmetrisk og idempotent, og det vil sige ortogonal i forhold til . Disse resultater spiller en nøglerolle, for eksempel i udledningen af F-testen . $X_{1}$ $x$ $M_{1}=I-X_{1}(X_{1}'X_{1})^{-1}X_{1}'$ $M$ $M_{1}$ $MM_{1}=M$ $MX_{1}=0$ $X_{1}$ $x$ $X_{1}$ $x$ $MX=0$ $(M_{1}-M)$ $(M_{1}-M)M=0$ $(M_{1}-M)$ $M$

Projektionsoperatoren

Den idempotente lineære operator er projektionsoperatoren på billedet langs kernen . En operatør udfører en ortogonal projektion, hvis og kun hvis den er idempotent og symmetrisk. $P$ $R(P)$ $N(P)$ $P$

Se også

Nilpotent matrix

Noter

↑ Fundamentals of linear algebra, 1975 , s. 29.
↑ Horn og Johnson, 1990 , s. 148.
↑ Greene, 2003 , s. 808-809.

Litteratur

Maltsev AI Fundamentals af lineær algebra. — M .: Nauka, 1975. — 400 s.
Horn, R.A. , Johnson, C.R.Matrixanalyse . - Cambridge University Press , 1990. - ISBN 0521386322 .
Greene, W.H. Økonometriskanalyse . — 5. udgave. - Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall , 2003. - ISBN 0130661899 .