Planck formel

Plancks formel (Plancks lov ) er en formel, der beskriver den spektrale tæthed af stråling , som skabes af et absolut sort legeme med en bestemt temperatur . Formlen blev opdaget af Max Planck i 1900 og opkaldt efter hans efternavn. Dens opdagelse blev ledsaget af fremkomsten af hypotesen om, at energi kun kan antage diskrete værdier. Denne hypotese blev ikke betragtet som signifikant i nogen tid efter opdagelsen, men anses generelt for at have født kvantefysik .

Formel

Plancks formel er et udtryk for den spektrale tæthed af stråling skabt af et absolut sort legeme med en bestemt temperatur . Der er forskellige former for at skrive denne formel [1] [2] .

Energilysstyrke

Formlen, der udtrykker udstrålingens spektraltæthed , er som følger [3] :

B_{\nu }(\nu,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\ nu }{kT}}-1}},

hvor er strålingsfrekvensen , er temperaturen af et absolut sort legeme, er Plancks konstant , er lysets hastighed , er Boltzmanns konstant . I SI -systemet har størrelsen i denne formel dimensionen W m −2 · Hz −1 · sr −1 . Dens fysiske betydning er energilysstyrken i et lille frekvensområde divideret med . En lignende formel kan bruges, hvor udstråling er en funktion af bølgelængde snarere end frekvens [3] [4] : $\nu$ $T$ $h$ $c$ $k$ ${\displaystyle B_{\nu))$ $(\nu ;\nu +d\nu )$ $d\nu$ $\lambda$

B_{\lambda }(\lambda ,T)={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{ \lambda kT}}-1}}

I dette tilfælde har den dimensionen W·m −2 ·m −1 · sr −1 og svarer til udstrålingen i et lille bølgelængdeområde divideret med [3] [4] . ${\displaystyle B_{\lambda ))$ $(\lambda ;\lambda +d\lambda )$ $d\lambda$

Emissivitet

Emissivitet ved en frekvens eller bølgelængde er strålingseffekten pr. arealenhed i frekvens- eller bølgelængdeområdet divideret med henholdsvis eller . Det kan udtrykkes med formlerne [5] : $\nu$ $\lambda$ $(\nu ;\nu +d\nu )$ $(\lambda ;\lambda +d\lambda )$ $d\nu$ $d\lambda$

\varepsilon _{\nu}(\nu,T)={\frac {2\pi h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{ \frac {h\nu }{kT}}-1}}

\varepsilon _{\lambda }(\lambda ,T)={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\ frac {hc}{\lambda kT}}-1}}

Således er emissiviteten af et legeme numerisk gange større end lysstyrken, hvis den rumlige vinkel i den måles i steradianer . Mængderne og har dimensionerne henholdsvis W m −2 Hz −1 og W m −2 m −1 [5] . $\pi$ $\varepsilon _{\nu }$ ${\displaystyle \varepsilon _{\lambda ))$

Spektral energitæthed

En anden form for skrivning beskriver den spektrale volumetriske energitæthed af strålingen fra en sort krop. Analogt med de foregående formler er det lig med energitætheden i et lille område af frekvenser eller bølgelængder, divideret med bredden af dette område [1] [2] :

u_{\nu}(\nu,T)={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}

u_{\lambda }(\lambda ,T)={\frac {8\pi hc}{\lambda ^{5))}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\ lambda kT}}-1}}}

I SI-systemet har størrelserne og dimensionerne henholdsvis J m −3 Hz −1 og J m −3 m −1 [1] [2] . Derudover er den spektrale energitæthed relateret til emissiviteten ved forholdet [6] . ${\displaystyle u_{\nu))$ ${\displaystyle u_{\lambda ))$ ${\textstyle \varepsilon ={\frac {c}{4}}u}$

Anvendelse

Plancks formel er anvendelig på stråling, der er i termisk ligevægt med stof ved en bestemt temperatur [2] . Den er anvendelig til absolut sorte legemer af enhver form, uanset sammensætning og struktur, forudsat at dimensionerne af det udstrålende legeme og detaljerne på dets overflade er meget større end de bølgelængder, hvor legemet hovedsageligt udstråler [3] [7] .

Hvis kroppen ikke er absolut sort, er spektret af dets termiske ligevægtsstråling ikke beskrevet af Plancks lov, men er forbundet med det af Kirchhoff-strålingsloven . Ifølge denne lov er forholdet mellem et legemes strålings- og absorptionsevne det samme for alle bølgelængder og afhænger kun af temperaturen [8] . Så for eksempel ved samme temperatur vil fordelingen af energi i spektret af en absolut grå krop være den samme som i spektret af en absolut sort krop, men den samlede energilysstyrke af strålingen vil være mindre [9] .

Plancks formel bruges også til at beskrive virkelige legemer, hvis strålingsspektrum adskiller sig fra Plancks. Til dette introduceres begrebet effektiv kropstemperatur: dette er den temperatur, hvor et helt sort legeme udstråler den samme mængde energi pr. arealenhed som en given krop. Tilsvarende bestemmes lysstyrketemperaturen , som er lig med temperaturen af et absolut sort legeme, der udstråler den samme mængde energi pr. arealenhed ved en bestemt bølgelængde, og farvetemperaturen , lig med temperaturen af et absolut sort legeme med samme energifordeling i en bestemt del af spektret [2] [10] [11] . For eksempel for Solen er den effektive temperatur omkring 5780 K , og lysstyrketemperaturen, afhængigt af bølgelængden, antager forskellige værdier: ved en bølgelængde på 1500 Å når den en minimumsværdi på 4200 K og i det synlige område ved en bølgelængde på 5500 Å er det omkring 6400 K, mens for et absolut sort legeme er temperaturerne bestemt på denne måde de samme [12] .

Opdagelseshistorie

Baggrund

Definitionen af loven om termisk stråling har været interessant siden 1859, hvor Gustav Kirchhoff opdagede Kirchhoffs strålingslov , ifølge hvilken forholdet mellem emissivitet og absorptionsevne er universelt for alle legemer. Derfor skal strålingsfunktionen af et sort legeme , hvis absorptionsevne er lig med enhed for alle bølgelængder, falde sammen med funktionen af dette forhold [13] [14] .

I slutningen af det 19. århundrede var strålingsspektret af en sort krop allerede kendt eksperimentelt. I 1896 beskrev Wilhelm Wien det empirisk med Wiens strålingslov , men fysikere på det tidspunkt kunne hverken få dens teoretiske begrundelse eller nogen konklusion. Selvom Wien gav en begrundelse for loven i sit arbejde, var den ikke streng nok til at dette problem kunne anses for løst [6] [15] [16] .

Max Planck var en af dem, der forsøgte teoretisk at underbygge Wiens strålingslov. Han tog udgangspunkt i, at emittere er lineære harmoniske oscillatorer , hvor der er etableret en balance mellem emission og absorption; efter at have bestemt forholdet mellem entropien og energien af oscillatorer, var han i stand til at bekræfte Wiens strålingslov [17] .

Yderligere eksperimenter viste imidlertid, at Wiens strålingslov ikke præcist beskriver spektret af termisk stråling i langbølgelængdeområdet. I oktober 1900 præsenterede Planck en formel, der inden for konstanter faldt sammen med Plancks moderne lov. Samme dag fandt man ud af, at formlen beskriver forsøgsdataene godt, men samtidig havde den ikke noget teoretisk grundlag. Planck udledte det kun på grundlag af, at i det begrænsende tilfælde for korte bølger skulle det gå ind i Wiens lov, men i modsætning til det, være i overensstemmelse med eksperimentelle data for lange bølger [18] .

Discovery

Mindre end to måneder efter meddelelsen om modtagelsen af formlen præsenterede Planck sin teoretiske konklusion på et møde i det tyske fysiske selskab . Det brugte forholdet for entropi introduceret af Ludwig Boltzmann , som overvejer antallet af mulige mikroskopiske tilstande i et system. Planck, for at kunne bruge kombinatorikkens metoder og dermed estimere entropien, antog den antagelse, at den samlede energi består af et helt antal endelige elementer af energi - kvanter [15] [19] .

På trods af det faktum, at kvanter optrådte i denne afledning, og Plancks konstant blev introduceret og brugt for første gang , forstod hverken Planck selv eller hans kolleger den fulde dybde af opdagelsen. For eksempel mente Planck, at energiens diskrethed ikke har nogen fysisk betydning og kun er en matematisk teknik. Andre fysikere lagde heller ikke vægt på dette og anså ikke denne antagelse for at være i modstrid med klassisk fysik . Det var først med udgivelsen af Hendrik Lorentz i 1908, at det videnskabelige samfund kom til den konklusion, at kvanta faktisk havde en fysisk betydning. Planck selv kaldte senere indførelsen af quanta "en handling af desperation", forårsaget af det faktum, at "en teoretisk forklaring skal findes for enhver pris, uanset hvor høj den måtte være." På trods af alt dette regnes dagen, hvor Plancks formel blev underbygget - den 14. december 1900 - som kvantefysikkens fødselsdag [15] [20] .

Ved at bruge overvejelserne fra klassisk fysik udledte Lord Rayleigh i 1900 og i 1905 James Jeans Rayleigh-Jeans-loven . Planck selv kom til samme resultat, uafhængigt af dem, i sine værker. Udledningen af denne lov afveg lidt fra udledningen af Plancks lov (se nedenfor ), bortset fra at den gennemsnitlige strålingsenergi blev taget lig med , ifølge sætningen om lige fordeling af energi over frihedsgrader . Set fra den klassiske fysiks synspunkt var der ikke tvivl om forløbet af afledningen, men Rayleigh-Jeans-loven var ikke kun alvorligt uenig med eksperimentelle data overalt undtagen for langbølgeområdet, men forudsagde også en uendelig høj strålingsstyrke kl. korte bølger. Dette paradoks indikerede, at der stadig er grundlæggende modsætninger i klassisk fysik, og blev et yderligere argument til fordel for kvantehypotesen. Paul Ehrenfest i 1911 kaldte det første gang en ultraviolet katastrofe [6] [15] [21] . $\langle \varepsilon \rangle$ $kT$

I 1918 vandt Max Planck Nobelprisen i fysik , og selvom han officielt blev tildelt for opdagelsen af kvanter, var denne opdagelse tæt forbundet med udledningen af Plancks lov [22] .

Afledning af Plancks formel

Afledning via Boltzmann-fordelingen

Plancks formel er afledt som følger [6] .

Når vi udleder, overvejer vi en sort krop af små dimensioner med temperatur , placeret inde i en terning med en kant af længde , hvis indre vægge ideelt set reflekterer stråling. Som et resultat vil emissionen og absorptionen af lys være afbalanceret, og strålingen vil blive fordelt jævnt i hele kubens indre. En vis energitæthed vil blive opretholdt inde i kuben . Så vil den spektrale energitæthed blive kaldt værdien svarende til energitætheden pr. enhedsinterval af vinkelfrekvenser nær . $T$ $l$ $u(T)$ $u_{\omega }(\omega ,T)$ $\omega$

Når du vælger et lille område på overfladen af en sort krop, kan du beregne, hvor meget energi der falder på den. Tætheden af energi indfaldende i en vinkel til normalen fra en rumvinkel er lig med , da strålingen er ensartet fordelt i alle retninger i en solid vinkel af steradianer. Lys bevæger sig med en hastighed , hvilket betyder, at energi falder på overfladen med tiden : $\Delta S$ $\theta$ $d\Omega$ ${\textstyle d{\tilde {u}}=u(T){\frac {d\Omega }{4\pi }}}$ $4\pi$ $c$ $\Delta t$ $dw$

dw=c\,d{\tilde {u}}\,\Delta t\,\Delta S\cos \theta ={\frac {c}{4\pi }}u(T)\cos \ theta \sin \theta \,d\theta \,d\varphi \,\Delta S\,\Delta t

Summen af den energi, der kommer fra alle retninger, vil være strømmen : $\Phi$

\Phi ={\frac {c}{4\pi }}u(T)\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi /2} \cos \theta \sin \theta \,d\theta ={\frac {c}{4}}u(T)

Den samme mængde energi vil blive udstrålet af den samme enhedsareal af et sort legeme, hvilket betyder, at forholdet vil være gyldigt både for hele strømmen og for ethvert område af frekvenser eller bølgelængder . ${\textstyle \varepsilon ={\frac {c}{4}}u}$

Da både udstrålede og reflekterede bølger er til stede samtidigt inde i kuben, skal det termiske strålingsfelt være deres superposition, det vil sige, det skal have form af stående elektromagnetiske bølger . For at bestemme deres parametre introduceres det kartesiske koordinatsystem langs kanterne af kuben og de tilsvarende orts . For en bølge, der udbreder sig strengt langs aksen , , hvor er et naturligt tal : det vil sige, at et halvt heltal af bølger skal have en samlet længde nøjagtigt . Bølgevektoren for en sådan bølge er , hvor er bølgetallet , hvis begrænsning har formen . ${\textstyle {\vec {e}}_{x},{\vec {e}}_{y},{\vec {e}}_{z}}$ $x$ ${\textstyle l=n_{x}{\frac {\lambda }{2))}$ ${\displaystyle n_{x))$ ${\tekststil l}$ ${\textstyle {\vec {k}}=k_{x}{\vec {e}}_{x}}$ ${\textstyle k_{x}={\frac {2\pi }{\lambda ))}$ ${\textstyle k_{x}=n_{x}{\frac {\pi }{l))}$

For bølger, der udbreder sig langs akserne og , er begrundelsen ens; en bølge, der udbreder sig i en hvilken som helst anden retning, kan repræsenteres som en superposition af bølger, der udbreder sig langs akserne :. Derfor, , hvor er naturlige tal uafhængige af hinanden eller nuller. Så er bølgenummeret for enhver bølge repræsenteret som , og frekvensen som . Hver tripel af disse parametre svarer til en stående bølge. $y$ $z$ ${\vec {k}}=k_{x}{\vec {e}}_{x}+k_{y}{\vec {e}}_{y}+k_{z}{\vec {e}}_{z}$ ${\textstyle k_{x}=n_{x}{\frac {\pi }{l)),k_{y}=n_{y}{\frac {\pi}{l)),k_{z}= n_{z}{\frac {\pi }{l))}$ ${\displaystyle n_{x},n_{y},n_{z))$ ${\textstyle k={\sqrt {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}}={\frac {\pi }{l}}{ \sqrt {n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}}}}$ ${\textstyle \omega ={\frac {\pi c}{l)){\sqrt {n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2))} }$

Ved hjælp af en dimensionsløs størrelse kan man bestemme antallet af stående bølger med en frekvens på højst . Dette tal er lig med antallet af kombinationer for hvilke . Så kan det estimeres som en ottendedel af volumenet af en kugle med radius : ${\textstyle R={\frac {\omega l}{\pi c))}$ $\omega$ ${\tilde {N}}$ ${\displaystyle n_{x},n_{y},n_{z))$ ${\displaystyle R^{2}\geq n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2))$ ${\tilde {N}}$ ${\textstyle R}$

{\tilde {N}}={\frac {1}{8}}\cdot {\frac {4}{3}}\pi R^{3}={\frac {1}{6} }\cdot {\frac {\omega ^{3}l^{3}}{\pi ^{2}c^{3}}}={\frac {1}{6}}\cdot {\frac { \omega ^{3}}{\pi ^{2}c^{3}}}V,

hvor er rummet, der indeholder strålingen. Da elektromagnetiske bølger er tværgående, kan to bølger forplante sig i hver retning, polariseret indbyrdes vinkelret, og det reelle antal bølger fordobles: $V$ $N$

N=2{\tilde {N}}={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {\omega ^{3}}{\pi ^{2}c^{3}} }V

Hvis vi differentierer dette udtryk efter frekvens, får vi antallet af stående bølger med bølgelængder i intervallet : $(\omega ;\omega +d\omega )$

dN={\frac {\omega ^{2}d\omega }{\pi ^{2}c^{3))}V

Det kan tages som den gennemsnitlige energi af en stående elektromagnetisk bølge med frekvens . Hvis vi multiplicerer antallet af stående bølger med og dividerer den resulterende værdi med og med , får vi den spektrale tæthed af strålingsenergi: $\langle \varepsilon \rangle$ $\omega$ $dN$ $\langle \varepsilon \rangle$ $V$ $d\omega$

u_{\omega }={\frac {\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}\langle \varepsilon \rangle

For yderligere udledning af Plancks lov er det nødvendigt at tage højde for virkningerne af kvantefysikken , nemlig det faktum, at energi udsendes i endelige dele, der er lige store med ( er Diracs konstant); følgelig er de mulige værdier af strålingsenergien , hvor er ethvert naturligt tal . Således er den gennemsnitlige strålingsenergi lig med: $E = \hbar \omega$ ${\textstyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$ $\varepsilon _{n}=n\hbar \omega$ $n$ $\langle \varepsilon \rangle$

\langle \varepsilon \rangle =\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}\varepsilon _{n},

hvor er sandsynligheden for, at strålingen vil have en energi lig med . Sandsynligheden er beskrevet af Boltzmann energifordelingen $P_{n}$ $\varepsilon_{n}$ med en eller anden konstant : $EN$

{\displaystyle P_{n}=Ae^{-{\frac {\varepsilon _{n}}{kT))))

I betragtning af, for sandt: ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }P_{n}=1}$ $EN$

A=\left(\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {\varepsilon _{n}}{kT}}}\right)^{-1}

Altså udtrykt som: $\langle \varepsilon \rangle$

\langle \varepsilon \rangle ={\frac {\sum _{n=0}^{\infty }n\hbar \omega e^{-{\frac {n\hbar \omega }{kT)) }}{\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {n\hbar \omega }{kT))))}=\hbar \omega {\frac {\sum _{ n=0}^{\infty }ne^{-n\xi }}{\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\xi }}}

Her . Nævneren udvides i henhold til formlen for summen af en geometrisk progression , og tælleren er repræsenteret som den afledede af nævneren med hensyn til : ${\tekststil \xi ={\frac {\hbar \omega }{kT))}$ ${\tekststil \xi }$

{\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\xi }={\frac {1}{1-e^{-\xi ))))

\sum _{n=0}^{\infty}ne^{-n\xi }=-{\frac {dS}{d\xi }}={\frac {e^{-\xi } }{(1-e^{-\xi })^{2}}}

Udtrykket for den gennemsnitlige energi fås:

\langle \varepsilon \rangle ={\frac {\hbar \omega }{e^{\frac {\hbar \omega }{kT)))-1))

Hvis vi erstatter strålingens spektrale energitæthed i formlen, får vi en af de endelige versioner af Plancks formel: $\langle \varepsilon \rangle$

u_{\omega }={\frac {\hbar \omega ^{3}}{\pi ^{2}c^{3}}}{\frac {1}{e^{\frac {\ hbar \omega }{kT}}-1}}

Forholdet giver dig mulighed for at få en formel for emissiviteten [6] : ${\textstyle \varepsilon ={\frac {c}{4}}u}$

\varepsilon _{\omega }={\frac {\hbar \omega ^{3}}{4\pi ^{2}c^{2}}}{\frac {1}{e^{\ frac {\hbar \omega }{kT}}-1}}

Hvis divideret med , får vi et udtryk for den spektrale tæthed af lysstyrke [23] : $\pi$

B_{\omega }={\frac {\hbar \omega ^{3}}{4\pi ^{3}c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac { \hbar \omega }{kT}}-1}}

Disse størrelser kan udtrykkes i form af andre parametre, såsom cyklisk frekvens eller bølgelængde . For at gøre dette skal det tages i betragtning, at relationerne pr. definition er opfyldt ( minus vises på grund af det faktum, at frekvensen falder, når bølgelængden øges) og lignende formler for emissivitet og energitæthed. Så for at gå til cykliske frekvenser skal du erstatte (i dette tilfælde , så ) og gange med , så vil formlerne have formen [3] [23] : $\nu$ $\lambda$ $B_{\omega }d\omega =B_{\nu }d\nu$ $B_{\nu}d\nu =-B_{\lambda }d\lambda$ $\omega =2\pi \nu$ ${\textstyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$ $h\nu =\hbar \omega$ ${\textstyle {\frac {d\omega }{d\nu }}=2\pi }$

u_{\nu }={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{ kT}}-1}}}

\varepsilon _{\nu }={\frac {2\pi h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}

B_{\nu }={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu}{kT}} -en}}

Formler for bølgelængder opnås på lignende måde. Efter at have erstattet og ganget med [3] [23] : ${\tekststil \nu ={\frac {c}{\lambda ))}$ ${\tekststil {\frac {d\nu }{d\lambda }}=-{\frac {c}{\lambda ^{2))))$

u_{\lambda }={\frac {8\pi hc}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda kT}}-1 }}

\varepsilon _{\lambda }={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\ lambda kT}}-1}}

B_{\lambda }={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda kT}}- en}}

Afledning via Bose-Einstein-statistikker

Hvis ligevægtsstråling betragtes som en fotongas, kan Bose-Einstein-statistikker anvendes på den . Den bestemmer det gennemsnitlige antal partikler i kvantetilstanden med energi [24] : $\langle n_{i}\rangle$ $jeg$ $E_{i}$

\langle n_{i}\rangle ={\frac {1}{e^{\frac {E_{i}-\mu}{kT}}-1}}

Denne formel er gassens kemiske potentiale . For en fotongas er den lig med nul, så formlen for den kan repræsenteres på følgende form [24] : $\mu$

\langle n\rangle ={\frac {1}{e^{\frac {\hbar \omega }{kT}}-1}}

Hvis vi multiplicerer det gennemsnitlige antal fotoner med deres energi , får vi den samme gennemsnitlige energi som udledt af Boltzmann-fordelingen. Når du erstatter det i formlen for den spektrale energitæthed , vil Plancks lov blive opnået [24] . $\langle n\rangle$ $\hbar \omega$ $\langle \varepsilon \rangle$ ${\textstyle u_{\omega }={\frac {\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}\langle \varepsilon \rangle }$

Konklusion gennem spontan og stimuleret emission

Plancks formel kan også udledes af overvejelser om mekanismerne for spontan og stimuleret emission af atomer [25] .

Denne afledning, foreslået af Einstein i 1916, betragter også atomer på energiniveauer og hhv. Så er antallet af overgange fra det højeste niveau til det laveste pr. tidsenhed proportionalt og kan skrives som . Med stimuleret emission er antallet af overgange pr. tidsenhed proportionalt med strålingens spektraltæthed ved overgangsfrekvensen , det vil sige, det kan skrives som . Antallet af overgange per tidsenhed på grund af absorption er proportional med og og skrives som [25] . $N_{m}$ $N_{n}$ $E_m$ $E_{n}$ $E_{n}$ $E_m$ $N_{n}$ $A_{n}^{m}N_{n}$ $N_{n}$ $u(\omega _{mn})$ $B_{n}^{m}N_{n}u(\omega _{mn})$ $N_{m}$ $u(\omega _{mn})$ $B_{m}^{n}N_{m}u(\omega _{mn})$

Mængder er kun karakteristika for selve atomet og udvalgte energiniveauer, kaldet Einstein-koefficienter . Hvis strålingsfeltet er i ligevægt og har en temperatur , så er den detaljerede ligevægtstilstand som følger [25] : ${\displaystyle A_{n}^{m},B_{n}^{m},B_{m}^{n))$ $T$

A_{n}^{m}N_{n}+B_{n}^{m}N_{n}u(\omega _{mn})=B_{m}^{n}N_{m} u(\omega _{mn})

I grænsen kan spontan emission negligeres i sammenligning med stimuleret emission, og så vil ligevægtstilstanden tage formen . Siden hvornår vil være opfyldt , og Einstein-koefficienterne ikke afhænger af temperaturen, vil ligheden være sand , hvilket er sandt for simple niveauer; for flere niveauer skal multiplicitetskoefficienterne desuden tages i betragtning. I fremtiden kan kun simple niveauer overvejes, da strålingsenergitætheden ikke afhænger af detaljerne i stofstrukturen [25] . $T\højrepil\infty$ ${\displaystyle B_{n}^{m}N_{n}=B_{m}^{n}N_{m))$ $T\højrepil\infty$ ${\displaystyle N_{n}=N_{m))$ ${\displaystyle B_{n}^{m}=B_{m}^{n))$

Du kan bruge Boltzmann-fordelingen [25] :

{\displaystyle {\frac {N_{n}}{N_{m}}}=e^{\left({\frac {E_{n}-E_{m}}{kT}}\right)))

Når det anvendes på ligevægtstilstanden, viser det sig [25] :

u(\omega _{mn})={\frac {\alpha (\omega _{mn})}{e^{\left({\frac {\hbar \omega _{mn)){kT }}\right)}-1}},

hvor . Denne værdi afhænger ikke af temperaturen og kan findes ud fra betingelsen om, at Rayleigh-Jeans-formlen [25] skal være gyldig for høje temperaturer : ${\textstyle \alpha (\omega _{mn})={\frac {A_{n}^{m}}{B_{n}^{m))))$

u(\omega _{mn})={\frac {\alpha (\omega _{mn})kT}{\hbar {\omega _{mn))))

\alpha (\omega _{mn})={\frac {\hbar \omega _{mn}^{3}}{\pi ^{2}c^{3}}}

Energiniveauer kan tages vilkårligt, så indekserne og kan fjernes og formlen for vilkårlige frekvenser kan bruges. Når du erstatter i den oprindelige formel , opnås Plancks formel. En vigtig konsekvens af gyldigheden af Plancks formel er således eksistensen af forcerede overgange, som er nødvendige for implementeringen af lasergenerering [ 25] . $m$ $n$ $\alpha (\omega )$ $u(\omega )$

Forholdet til andre formler

Rayleigh-Jeans lov

Rayleigh-Jeans-loven er en tilnærmelse af Plancks lov, der fungerer godt ved (det vil sige i området af store bølgelængder og lave frekvenser), men som afviger stærkt fra den ved , sammenlignelig eller stor . Rayleigh-Jeans-loven bruger en tilnærmelse , der er gyldig for små , så tilnærmelsen ser således ud [26] [27] : $hc\ll \lambda kT$ $h.c.$ $\lambda kT$ ${\textstyle e^{\frac {hc}{\lambda kT))\ca. 1+{\frac {hc}{\lambda kT))}$ ${\textstyle {\frac {hc}{\lambda kT))}$

B_{\lambda }={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {\lambda kT}{hc}}={\frac {2ckT}{\lambda ^{4}}}

Inden for rammerne af klassisk fysik , som et resultat af udledningen af strålingsloven, er det Rayleigh-Jeans-loven, der opnås. Ved korte bølgelængder er Rayleigh-Jeans-loven imidlertid ikke kun uenig med eksperimentet, men forudsiger også en ubegrænset stigning i strålingseffekten, når bølgelængden nærmer sig nul. Dette paradoks kaldes den ultraviolette katastrofe (se ovenfor ) [6] [27] .

Wiens strålingslov

Wiens strålingslov er en tilnærmelse af Plancks lov, der fungerer godt ved - i området med små bølgelængder og høje frekvenser. Wiens lov om stråling antyder, at når enheden i nævneren af Plancks formel kan negligeres og betragtes . Så har formlen formen [26] [27] : $hc\gg \lambda kT$ $hc\gg \lambda kT$ ${\textstyle e^{\frac {hc}{\lambda kT}}-1\ca. e^{\frac {hc}{\lambda kT}}}$

{\displaystyle B_{\lambda }={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}e^{-{\frac {hc}{\lambda kT))))

Stefan-Boltzmann lov

Stefan-Boltzmann-loven er et udtryk, der beskriver strålingen fra et absolut sort legeme i hele det elektromagnetiske område. Det er afledt af Plancks lov ved at integrere over frekvens eller, afhængigt af registreringsformen, over bølgelængde [28] :

B(T)=\int _{0}^{\infty }{B_{\nu }}d\nu =\int _{0}^{\infty }{B_{\lambda }}d\ lambda

B(T)={\frac {2h}{c^{2}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\nu ^{3}d\nu }{e^ {\frac {h\nu }{kT}}-1}}

Erstat , derefter [28] : ${\textstyle x={\frac {h\nu }{kT))}$ ${\textstyle d\nu ={\frac {kT}{h}}dx}$

B(T)={\frac {2h}{c^{2}}}{\frac {k^{4}}{h^{4}}}T^{4}\int _{0 }^{\infty }{\frac {x^{3}dx}{e^{x}-1}}

Dette bestemte integral er . Vi kan udtrykke , hvor er en konstant [28] : ${\textstyle {\frac {\pi ^{4}}{15}}}$ ${\displaystyle B(T)=AT^{4))$ $EN$

A={\frac {2k^{4}}{c^{2}h^{3}}}{\frac {\pi ^{4}}{15}}

I dette tilfælde er energifluxtætheden flere gange større end energilysstyrken , derfor bruges koefficienten til at beregne den første , kaldet Stefan-Boltzmann konstanten , lig med 5,67⋅10 −8 W m −2 · K −4 . Strålingseffekten fra en enhedsareal kan i dette tilfælde udtrykkes som . Dette udtryk kaldes Stefan-Boltzmann-loven [28] . $\pi$ $\sigma =\pi A$ $F$ $F=\sigma T^{4}$

Wiens forskydningslov

Wiens forskydningslov relaterer den bølgelængde, ved hvilken emissionsevnen af en sort krop er maksimal, til dens temperatur. Den er afledt af Plancks lov ved at differentiere den med hensyn til frekvens eller bølgelængde, afhængig af optagelsesformen, og sidestille den afledede med nul, som nås ved funktionens maksimum. Dette resulterer i relationen , hvor er en konstant lig med 0,0029 m K. Når temperaturen stiger, falder bølgelængden af maksimumet således [29] . $\lambda _{max}T=b$ $b$

Selvom en lignende procedure kan udføres for frekvenser, kan frekvensen af den maksimale spektraltæthed ikke beregnes ved hjælp af formlen , da forholdet mellem frekvens og bølgelængde er ikke-lineært, og emissiviteten beregnes ud fra stråling i et enkelt interval af frekvenser eller bølgelængder [ 29] . ${\textstyle \nu _{max}={\frac {c}{\lambda _{max))))$

Ansøgning

For en absolut sort krop er spektret beskrevet af Plancks lov unikt relateret til dets temperatur. Derfor finder loven anvendelse i pyrometri , det vil sige fjernbestemmelse af temperaturen på varme legemer. Hvis kroppens spektrum adskiller sig fra strålingen fra et absolut sort legeme, måler pyrometeret den effektive temperatur, som kaldes stråling . Ved at kende forholdet mellem emissiviteten af det undersøgte legeme og emissiviteten af et absolut sort legeme , som viser forskellen fra Plancks formel, kan man finde den reelle temperatur . For mange praktisk vigtige materialer er værdierne kendt [30] . $T_{r}$ $Q_{T}=E_{T}/\varepsilon _{T}<1$ ${\displaystyle T=T_{r}/(Q_{T})^{1/4))$ $Q_{T}$

Noter

↑ 1 2 3 Plancks strålingslov . Encyclopedia Britannica . Hentet 18. december 2020. Arkiveret fra originalen 13. december 2020.
↑ 1 2 3 4 5 Masalov A. V. Plancks lov om stråling // Great Russian Encyclopedia . - BRE Publishing House , 2014. - T. 26. - 767 s. — ISBN 978-5-85270-363-7 .
↑ 1 2 3 4 5 6 Karttunen et al., 2007 , s. 103.
↑ 1 2 Kononovich, Moroz, 2004 , s. 170.
↑ 1 2 Kononovich, Moroz, 2004 , s. 181.
↑ 1 2 3 4 5 6 1.2. Kvanteteori om stråling . Institut for Fysik, Moscow State Technical University. Bauman . Hentet 18. december 2020. Arkiveret fra originalen 28. september 2015. (ubestemt)
↑ Juan Carlos Cuevas. Termisk stråling fra subbølgelængde objekter og overtrædelse af Plancks lov // Nature Communications . - Naturforskning , 2019. - 26. juli (bd. 10). - S. 3342. - ISSN 2041-1723 . - doi : 10.1038/s41467-019-11287-6 . Arkiveret fra originalen den 12. marts 2022.
↑ 1.1. Lovene for termisk stråling . Institut for Fysik, Moscow State Technical University. Bauman . Hentet 24. januar 2021. Arkiveret fra originalen 8. august 2020. (ubestemt)
↑ Grå krop . Encyclopedia of Physics and Engineering . Hentet 24. januar 2021. Arkiveret fra originalen 17. april 2021. (ubestemt)
↑ Karttunen et al., 2007 , s. 104.
↑ Kononovich, Moroz, 2004 , s. 193-194.
↑ Kononovich, Moroz, 2004 , s. 239-240.
↑ Jammer, 1985 , s. 14-16.
↑ Sivukhin, 2002 , s. 681-682.
↑ 1 2 3 4 Max Planck: den modvillige revolutionær . Physics World (1. december 2000). Hentet 19. december 2020. Arkiveret fra originalen 6. juli 2022.
↑ Jammer, 1985 , s. 21.
↑ Jammer, 1985 , s. 22-27.
↑ Jammer, 1985 , s. 27-30.
↑ Jammer, 1985 , s. 30-33.
↑ Jammer, 1985 , s. 30-34.
↑ Sivukhin, 2002 , s. 697.
↑ Nobelprisen i fysik 1918 . NobelPrize.org . Nobelfonden . Dato for adgang: 19. december 2020. Arkiveret fra originalen den 7. juni 2020.
↑ 1 2 3 Forskellige formuleringer af Plancks lov . www.physics-in-a-nutshell.com . Hentet 19. december 2020. Arkiveret fra originalen 14. december 2020. (ubestemt)
↑ 1 2 3 Sivukhin, 2002 , s. 703-704.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Sivukhin, 2002 , s. 704-706.
↑ 1 2 Kononovich, Moroz, 2004 , s. 182.
↑ 1 2 3 Karttunen et al., 2007 , s. 105.
↑ 1 2 3 4 Karttunen et al., 2007 , pp. 103-104.
↑ 1 2 Karttunen et al., 2007 , pp. 104-105.
↑ Landsberg, 2003 , s. 639.

Litteratur

E. V. Kononovich; Moroz V. I. Almindelig astronomikursus / Ed. V. V. Ivanova . - 2., korrekt. — M .: Redaktionel URSS , 2004. — 544 s. — ISBN 5-354-00866-2 .
Sivukhin DV Almen kursus i fysik . - M . : Fizmatlit MIPT , 2002. - T. 4. Optik. — 792 s. — ISBN 5-9221-0228-1 .
Jammer M. Udvikling af begreber inden for kvantemekanik. — M .: Nauka , 1985. — 384 s.
Elyashevich M. A. Plancks lov om stråling // Physical Encyclopedia . - M .: BRE , 1992. - T. 3 . - S. 625-626 .
Karttunen H., Kroger P., Oja H., Poutanen M., Donner KJ Fundamental Astronomy . — 5. udgave. - Berlin: Springer , 2007. - 510 s. — ISBN 978-3-540-34143-7 .
Landsberg G.S. Optik: en lærebog for universiteter. - 6. udg. stereot.. - M. : Fizmatlit, 2003. - 848 s. — ISBN 5-9221-0314-8 .