Wiens forskydningslov

Wiens forskydningslov er en fysisk lov, der fastlægger afhængigheden af bølgelængden , ved hvilken spektraltætheden af den sorte krops strålingsflux når sit maksimum, af temperaturen af den sorte krop.

Wilhelm Wien udledte først denne lov i 1893 ved at anvende termodynamikkens love på elektromagnetisk stråling . Det tilsvarende skift af intensitetstoppen med temperaturen blev også observeret eksperimentelt. I øjeblikket kan Wiens forskydningslov udledes matematisk fra Plancks lov .

Generelt syn på Wiens forskydningslov

Loven er udtrykt ved formlen

\lambda _{\text{max}}=b/T,

hvor er bølgelængden af stråling med maksimal intensitet, og er temperaturen. Koefficienten (hvor c er lysets hastighed i vakuum , h er Plancks konstant , k er Boltzmanns konstant , α ≈ 4,965114 ... er en konstant, roden af ligningen ), kaldet Wiens konstant , i det internationale system af enheder (SI) har en værdi på 0,002898 m K. _ _ $\lambda _{\text{max))$ $T$ $b={\frac {ch}{k\alpha ))$ ${\displaystyle \alpha /5=1-e^{-\alpha ))$

For lysets frekvens (i hertz ) har Wiens forskydningslov formen $\nu$

\nu _{\text{max}}={\frac {\alpha }{h}}kT\ca. 5{,}879\ gange 10^{10}\cdot T,

hvor α ≈ 2,821439… er en konstant værdi (roden af ligningen ), k er Boltzmanns konstant , h er Plancks konstant , T er temperatur (i kelvin ). $\alpha /3=1-e^{-\alpha }$

Forskellen i de numeriske konstanter her skyldes forskellen mellem eksponenterne i Planck-fordelingen skrevet for strålingens bølgelængde og frekvens: i det ene tilfælde kommer den ind , i det andet - . Denne forskel opstår igen fra ulineariteten af forholdet mellem frekvens og bølgelængde: $\lambda ^{-5}$ ${\displaystyle \omega ^{3}\sim \lambda ^{-3))$

\omega ={\frac {2\pi c}{\lambda )),\quad {\frac {d}{d\omega ))=-{\frac {\lambda ^{2)){2 \pi c}}{\frac {d}{d\lambda }}.

Afledning af loven

Til konklusionen kan du bruge udtrykket af Plancks lov om stråling for emissiviteten af et absolut sort legeme , skrevet for bølgelængder : $\varepsilon _{\lambda }(\lambda ,T)$

\varepsilon _{\lambda }={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{hc/\lambda kT}- en}}.

For at finde yderpunkterne for denne funktion afhængigt af bølgelængden, skal den differentieres med og sidestille den afledede til nul : $\lambda$

{\frac {\partial \varepsilon _{\lambda }}{\partial \lambda }}={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{6}}}{\frac {1}{e^{hc/\lambda kT}-1}}\venstre({\frac {hc}{kT\lambda}}{\frac {e^{hc/\lambda kT}}{\venstre( e^{hc/\lambda kT}-1\right)}}-5\right)=0.

Ud fra denne formel kan du med det samme bestemme, at den afledede nærmer sig nul, når eller hvornår , hvilket er sandt for . Begge disse tilfælde giver dog minimum af Planck-funktionen , som når sit nul for de givne bølgelængder (se figur ovenfor). Derfor bør analysen kun fortsættes med det tredje mulige tilfælde, hvornår $\lambda \to \infty$ $e^{hc/\lambda kT}\to \infty$ $\lambda \til 0$ $B(\lambda)$

{\frac {hc}{kT\lambda }}{\frac {e^{hc/\lambda kT}}{\left(e^{hc/\lambda kT}-1\right)))- 5=0.

Ved at bruge ændringen af variabler kan denne ligning transformeres til formen $x={\frac {hc}{kT\lambda ))$

{\frac {xe^{x}}{e^{x}-1}}-5=0.

Den numeriske løsning af denne ligning giver [1]

x=4{,}965114231744276\ldots

Ved hjælp af ændringen af variabler og værdierne af Planck-konstanter , Boltzmann og lysets hastighed , kan vi således bestemme bølgelængden, ved hvilken strålingsintensiteten af et sort legeme når sit maksimum:

\lambda _{\text{max}}={\frac {hc}{x}}{\frac {1}{kT}}={\frac {2{,}89776829\ldots \times 10^ {-3}}{T}},

hvor temperaturen er i kelvin og er i meter . $\lambda _{\text{max))$

Eksempler

Ifølge Wiens forskydningslov har et sort legeme med en menneskelig kropstemperatur (~310 K ) en maksimal termisk stråling ved en bølgelængde på omkring 10 µm , hvilket svarer til det infrarøde område af spektret.

Relikviestrålingen har en effektiv temperatur på 2,7 K og når sit maksimum ved en bølgelængde på 1 mm . Derfor hører denne bølgelængde allerede til radioområdet .

Se også

Noter

↑ Løsningen af en ligning kan ikke udtrykkes ved hjælp af elementære funktioner. Dens nøjagtige løsning kan findes ved hjælp af Lambert W-funktionen , men i dette tilfælde er det nok at bruge en omtrentlig løsning. ${\frac {xe^{x}}{e^{x}-1}}=n$

Links

Fysikkens verden af Eric Weistein
Soffer, BH; Lynch, DK Nogle paradokser, fejl og beslutninger vedrørende spektral optimering af menneskeligt syn // American Journal of Physics : tidsskrift. - 1999. - Bd. 67 , nr. 11 . - S. 946-953 . - doi : 10.1119/1.19170 . — .
Heald, MA Hvor er 'Wien-toppen'? (engelsk) // American Journal of Physics . - 2003. - Bd. 71 , nr. 12 . - S. 1322-1323 . - doi : 10.1119/1.1604387 . - .

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk Fantastisk norsk