Elementære funktioner

Elementære funktioner er funktioner , der kan opnås ved hjælp af et begrænset antal aritmetiske operationer og sammensætninger fra følgende grundlæggende elementære funktioner [1] :

potensfunktion med enhver reel eksponent;
eksponentielle og logaritmiske funktioner;
trigonometriske og omvendte trigonometriske funktioner.

Hver elementær funktion kan defineres af en formel, det vil sige et sæt af et begrænset antal symboler svarende til de anvendte operationer. Alle elementære funktioner er kontinuerte på deres definitionsdomæne.

Nogle gange inkluderer de grundlæggende elementære funktioner også hyperbolske og inverse hyperbolske funktioner , selvom de kan udtrykkes i form af de grundlæggende elementære funktioner, der er anført ovenfor.

Elementære funktioner ifølge Liouville

I betragtning af funktionerne af en kompleks variabel, definerede Liouville elementære funktioner noget mere bredt. En elementær funktion af en variabel er en analytisk funktion , der desuden kan repræsenteres som en algebraisk funktion : $y(x)$ $x$ $y(x)=\phi (x,z_{1},...,z_{r}),$

$z_{1}$ er logaritmen eller eksponenten for en algebraisk funktion $g_{1}(x),$
$z_{2}$ er logaritmen eller eksponenten for en algebraisk funktion $g_{2}(x,z_{1}),$

...

${\displaystyle z_{r))$ er logaritmen eller eksponenten for en algebraisk funktion $g_{r}(x,z_{1},...,z_{r-1}).$

For eksempel er en elementær funktion i denne forstand, da det er en algebraisk funktion af den eksponentielle funktion $y(x)=\sin(x)$ $e^{ix}:$

\sin(x)={\frac {(e^{ix})^{2}-1}{2ie^{ix}}}.

Generelt kan alle trigonometriske og omvendte trigonometriske funktioner ved brug af den angivne identitet udtrykkes i form af logaritmer, eksponentialer, aritmetiske operationer såvel som operationen med at tage en kvadratrod. Selvfølgelig vil dette bruge den imaginære enhed $i={\sqrt {-1)).$

Funktionen er også elementær, da den kan repræsenteres som: $y(x)=e^{e^{x))$

y(x)=\phi (x,z_{1},z_{2}),

hvor

z_{1}=e^{x},\ z_{2}=e^{z_{1)),\ \phi (x,z_{1},z_{2})=z_{2} .

Uden tab af generalitet kan funktionerne betragtes som algebraisk uafhængige. Det betyder, at den algebraiske relation kun kan holde for alle , hvis polynomiets koefficienter er lig med nul. $z_{1},\dots ,z_{r}$ $\psi (x,z_{1},...,z_{r})=0$ $x$ $\psi (x,z_{1},...,z_{r})$

Differentiering af elementære funktioner

Den afledte af en elementær funktion er altid en elementær funktion og kan findes i et begrænset antal trin. Nemlig ved reglen om differentiering af en kompleks funktion

y'(x)={\frac {d}{dx}}\phi (x,z_{1},\dots,z_{r})={\frac {\partial \phi}{\partial x}} +\sum \limits _{{i=1}}^{r}{\frac {\partial \phi}{\partial z_{i}}}{\frac {dz_{i}}{dx}},

hvor er lig med eller eller afhængig af om logaritmen eller eksponenten osv. I praksis er det praktisk at bruge tabellen over afledte . $z_{1}'(z)$ $g_{1}'/g_{1}$ $z_{1}g_{1}'$ $z_{1}$

Integration af elementære funktioner

Integralet af en elementær funktion er ikke altid i sig selv en elementær funktion. De mest almindelige funktioner, hvis integraler findes, er samlet i tabellen over integraler . I det generelle tilfælde er problemet med at integrere elementære funktioner løst af Risch-algoritmen , baseret på Liouvilles sætning:

Liouvilles sætning . Hvis integralet af en elementær funktion i sig selv er en elementær funktion, så kan det repræsenteres som $y=\phi (x,z_{1},\dots z_{r})$

\int \phi (x,z_{1}(x),\dots ,z_{r}(x))\,dx=\sum \limits _{i}A_{i}\ln(\psi _{i }(x,z_{1},\dots z_{r}))+\psi _{0}(x,z_{1},\dots,z_{r})+C,

hvor er nogle komplekse tal og er algebraiske funktioner af deres argumenter. $A_{i}$ $\psi _{i}$

Liouville baserede beviset for denne sætning på følgende princip. Hvis integralet af tages i elementære funktioner, så $y$

\int \phi (x,z_{1}(x),\dots z_{r}(x))\,dx=\psi (x,z_{1}(x),\dots z_{s}(x ))+\operatørnavn {konst}

hvor er en algebraisk funktion, er logaritmen eller eksponenten for en algebraisk funktion osv. Funktionerne er algebraisk uafhængige og opfylder et eller andet system af differentialligninger af formen $\psi$ $z_{{r+1}}$ $x,z_{1},\dots z_{r}$ $z_{1},\dots z_{s}$

z_{1}'=\rho _{1}(x,z_{1},\dots ,z_{s}),\dots

hvor er algebraiske funktioner af deres argumenter. Hvis er en familie af løsninger af dette system, så $\rho _{i}$ $z_{1}=z_{1}(x,C),\dots$

\int \phi (x,z_{1}(x,C),\dots )\,dx=\psi (x,z_{1}(x,C),\dots z_{s}(x,C) )+\operatørnavn {konst}

hvor

\psi (x,z_{1}(x),\dots )=\psi (x,z_{1}(x,C),\dots z_{s}(x,C))+f(C)

For nogle klasser af integraler gør denne teorem det meget let at studere integrationsproblemets løsbarhed i elementære funktioner.

Integration af funktioner i formen $p(x)e^{{q(x)}}$

Følge af Liouvilles sætning (Se Ritt, s. 47 ff.). Hvis integralet

\int p(x)e^{{q(x)}}\,dx,

hvor er polynomier, er taget i elementære funktioner, så $p,q$

\int p(x)e^{{q(x)}}\,dx=r(x)e^{{q(x)}}

hvor er også et polynomium, der opfylder differentialligningen $r(x)$

r'+q'(x)r=p(x)

Eksempel . Især integralen

\int e^{{x^{2}}}\,dx

tages ikke, fordi substitutionen

r=Ax^{n}+\dots \quad (A\not =0)

ind i ligningen

r'+2xr=1

giver . Integralet $A=0$

\int xe^{{x^{2}}}\,dx

taget pga

r'+2xr=x

har en løsning . Samtidig er det selvfølgelig $r=1/2$

\int xe^{{x^{2}}}\,dx={\frac {e^{{x^{2}}}}{2}}+\operatørnavn {const}

Bevis for konsekvensen . Ved Liouvilles sætning

\int p(x)e^{{q(x)}}\,dx=\psi _{0}(x,e^{{q(x)}})+\sum A_{i}\ln \ psi _{i}(x,e^{{q(x)}})+\operatørnavn {konst}

Så har vi i kraft af Liouville-princippet for en vilkårlig konstant $C$

\int p(x)Ce^{{q(x)}}\,dx=\psi _{0}(x,Ce^{{q(x)}})+\sum A_{i}\ln \ psi _{i}(x,Ce^{{q(x)}})+f(C)

Ved at differentiere med hensyn til og antage ser vi, at integralet udtrykkes algebraisk i form af , dvs. $C$ $C=1$ $x,e^{{q(x)}}$

\int p(x)e^{{q(x)}}\,dx=\psi (x,e^{{q(x)}}).

Igen ved at anvende Liouville-princippet, har vi

C\psi (x,e^{{q(x)}})=\psi (x,Ce^{{q(x)}})+f(C).

At differentiere med hensyn til og antage , har vi $C$ $C=1$

\psi (x,z)=z{\frac {\partial \psi (x,z)}{\partial z))+B\quad (B=\operatørnavn {const})

for , og dermed på grund af den algebraiske uafhængighed af , for alle . Derfor $z=e^{{q(x)}}$ $x,e^{{q(x)}}$ $x,z$

\psi(x,z)=-B+zr(x),

hvor er en algebraisk funktion . På denne måde $r$ $x$

\int p(x)e^{{q(x)}}\,dx=r(x)e^{{q(x)}}+\operatørnavn {const},

Da integralet i sig selv åbenbart er en hel funktion , så er det et polynomium. Konsekvensen er bevist. $x$ $r$

Integration af algebraiske funktioner

Det sværeste var spørgsmålet om integration i elementære funktioner af algebraiske funktioner, det vil sige at tage Abelske integraler , som er genstand for omfattende undersøgelser af Weierstrass , Ptashitzky [2] og Risch [3] .

Liouvilles sætning er grundlaget for at skabe algoritmer til symbolsk integration af elementære funktioner, implementeret for eksempel i Maple .

Se også: Liste over integraler af elementære funktioner

Beregning af grænser

Liouvilles teori strækker sig ikke til beregning af grænser . Det vides ikke, om der findes en algoritme, der givet den sekvens, som den elementære formel giver, giver et svar, om den har en grænse eller ej. For eksempel er spørgsmålet om, hvorvidt sekvensen konvergerer, åbent . [fire] ${\frac {1}{n^{3}\sin n}}$

Se også

Differential Galois teori

Noter

↑ Elementær matematik, 1976 , s. 113-114..
↑ Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. Kunst. 2 B 2 (W. Wirtinger, 1901)
↑ Davenport J. Integration af algebraiske funktioner. Ch. 4. M., Mir, 1985
↑ Spørgsmål og svar

Litteratur

Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementær matematik. Gentag kurset. - Tredje udgave, stereotypisk. — M .: Nauka, 1976. — 591 s.
Khovansky A. G. Topologisk Galois-teori: solvabilitet og uopløselighed af ligninger i endelig form . Ch. 1. M, 2007
Liouville J. Mémoire sur l'intégration d'une classe de fonctions transcendantes (utilgængeligt link) // J. Reine Angew. Matematik. bd. 13, s. 93-118. (1835)