Fejlfunktion

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 14. maj 2020; checks kræver 5 redigeringer .

Fejlfunktionen (også kaldet den Gaussiske fejlfunktion) er en ikke-elementær funktion , der forekommer i sandsynlighedsteori , statistik og teorien om partielle differentialligninger . Det er defineret som

\operatørnavn {erf}\,x={\frac {2}({\sqrt {\pi }}}}\int \limits _{0}^{x}e^{{-t^{2}}} \,{\mathrm d}t

En yderligere fejlfunktion , betegnet (nogle gange bruges notationen ), er defineret i form af fejlfunktionen: $\operatørnavn {erfc}\,x$ $\operatørnavn {Erf}\,x$

\operatørnavn {erfc}\,x=1-\operatørnavn {erf}\,x={\frac {2}({\sqrt {\pi ))))\int \limits _{x}^{{\infty }}e^{{-t^{2}}}\,{\mathrm d}t

Den komplekse fejlfunktion , betegnet , er også defineret i form af fejlfunktionen: $w(x)$

w(x)=e^{{-x^{2}}}\operatørnavn {erfc}\,(-ix)

Egenskaber

Fejlfunktionen er mærkelig :

\operatørnavn {erf}\,(-x)=-\operatørnavn {erf}\,x.

Til ethvert kompleks $x$

\operatørnavn {erf}\,{\bar {x}}=\overline {\operatørnavn {erf}\,x}

hvor søjlen angiver den komplekse bøjning af tallet .

x

Fejlfunktionen kan ikke repræsenteres i form af elementære funktioner , men ved at udvide det integrerbare udtryk til en Taylor-serie og integrere led for led, kan vi få dens repræsentation som en serie:

\operatørnavn {erf}\,x={\frac {2}{{\sqrt {\pi }}}}\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^ {n}x^{{2n+1}}}{n!(2n+1)}}={\frac {2}({\sqrt {\pi }}}}\venstre(x-{\frac { x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{10}}-{\frac {x^{7}}{42}}+{\frac {x^{9} }{216}}-\ \cdots \right)

Denne lighed gælder (og serien konvergerer) både for ethvert reelt og på hele det komplekse plan , ifølge d'Alembert-testen . Rækkefølgen af nævnere danner sekvensen A007680 i OEIS .

x

Til iterativ beregning af elementerne i en serie er det nyttigt at præsentere det i en alternativ form:

\operatornavn {erf}\,x={\frac {2}{{\sqrt {\pi }}}}\sum _{{n=0}}^{\infty }\left(x\prod _{{ i=1}}^{n}{{\frac {-(2i-1)x^{2}}{i(2i+1)}}}\right)={\frac {2}{{\sqrt {\pi }}}}\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {x}{2n+1}}\prod _{{i=1}}^{n}{\ frac {-x^{2}}{i}}

siden er en faktor, der gør det -th medlem af serien til -th, i betragtning af det første medlem .

{\frac {-(2i-1)x^{2}}{i(2i+1)))

jeg

(i+1)

x

Fejlfunktionen ved uendelig er lig med én; dette er dog kun sandt, når man nærmer sig uendeligheden langs den reelle akse, da:

Når man betragter fejlfunktionen i det komplekse plan, vil punktet i det væsentlige være ental for det. $z=\infty$

Den afledte af fejlfunktionen er afledt direkte fra funktionsdefinitionen:

{\frac {d}{dx}}\,\operatørnavn {erf}\,x={\frac {2}({\sqrt {\pi }}}}\,e^{{-x^{2} }}.

Antiderivatet af fejlfunktionen, opnået ved metoden til integration af dele :

F(x)=x\operatørnavn {erf} (x)+{\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}.

Den omvendte fejlfunktion er en serie

\operatorname {erf} ^{-1}\,x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{2k+1}}\left({\ frac {\sqrt {\pi }}{2}}x\right)^{2k+1},

hvor c 0 = 1 og

c_{k}=\sum _{{m=0}}^{{k-1}}{\frac {c_{m}c_{{k-1-m}}}{(m+1)(2m +1)}}=\venstre\{1,1,{\frac {7}{6}},{\frac {127}{90}},\ldots \right\}.

Derfor kan rækken repræsenteres i følgende form (bemærk at brøkerne er forkortet):

\operatorname {erf} ^{-1}\,x={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\left(x+{\frac {\pi x^{3} }{12}}+{\frac {7\pi ^{2}x^{5}}{480}}+{\frac {127\pi ^{3}x^{7}}{40320}}+ {\frac {4369\pi ^{4}x^{9}}{5806080}}+{\frac {34807\pi ^{5}x^{11}}{182476800}}+\dots \right).

[en] Tæller- og nævnersekvenserne efter reduktion er A092676 og A132467 i OEIS; rækkefølgen af tællere før forkortelse er A002067 i OEIS.

Ansøgning

Hvis et sæt af stokastiske variable følger en normalfordeling med en standardafvigelse , så er sandsynligheden for, at værdien ikke afviger fra middelværdien med mere end , lig med . $\sigma$ $-en$ $\operatørnavn {erf}\,{\frac {a}{\sigma {\sqrt {2))))$

Fejlfunktionen og den ekstra fejlfunktion forekommer i løsningen af nogle differentialligninger, for eksempel varmeligningen med startbetingelser beskrevet af Heaviside-funktionen ("trin").

I digitale optiske kommunikationssystemer er bitfejlssandsynligheden også udtrykt ved en formel, der bruger fejlfunktionen.

Asymptotisk ekspansion

For store værdier er den asymptotiske udvidelse for den ekstra fejlfunktion nyttig : $x$

\operatorname {erfc} \,x={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\left[1+\sum _{n= 1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{(2x^{2})^{n))}\right ]={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n} {\frac {(2n)!}{n!(2x)^{2n}}}.

Selvom denne serie divergerer for ethvert endeligt tal, er de første par led i praksis nok til at beregne med god nøjagtighed, mens Taylor-serien konvergerer meget langsomt. $x$ $\operatørnavn {erfc}\,x$

En anden tilnærmelse er givet af formlen

(\operatørnavn {erf}\,x)^{2}\ca. 1-\exp \left(-x^{2}{\frac {4/\pi +ax^{2}}{1+ax^{ 2}}}\right)

hvor

a={\frac {8}{3\pi }}{\frac {\pi -3}{4-\pi }}.

Relaterede funktioner

Op til skalering og forskydning falder fejlfunktionen sammen med den normale kumulative fordeling , angivet $\Phi (x)$

\Phi (x)={\frac {1}{2}}{\biggl (}1+\operatørnavn {erf} \,{\frac {x}{\sqrt {2}}}{\biggl )}.

Den omvendte funktion af k , kendt som den normale kvantilfunktion , er nogle gange betegnet og udtrykt i form af den normale fejlfunktion som $\Phi$ $\operatørnavn {probit}$

\operatørnavn {probit}\,p=\Phi ^{{-1}}(p)={\sqrt {2}}\,\operatørnavn {erf}^{{-1}}(2p-1).

Den normale kumulative fordeling er mere almindeligt anvendt i sandsynlighedsteori og matematisk statistik, mens fejlfunktionen er mere almindeligt anvendt i andre områder af matematikken.

Fejlfunktionen er et specialtilfælde af Mittag-Leffler-funktionen og kan også repræsenteres som en degenereret hypergeometrisk funktion ( Kummer-funktionen ):

\operatørnavn {erf}\,x={\frac {2x}{{\sqrt {\pi }}}}\,_{1}F_{1}\left({\frac {1}{2}}, {\frac {3}{2}},-x^{2}\right).

Fejlfunktionen udtrykkes også i form af Fresnel-integralet . Med hensyn til den regulariserede ufuldstændige gammafunktion P og den ufuldstændige gammafunktion ,

\operatørnavn {erf}\,x=\operatørnavn {tegn}\,x\,P\venstre({\frac {1}{2}},x^{2}\right)={\operatørnavn {tegn}\ ,x \over {\sqrt {\pi ))}\gamma \left({\frac {1}{2)),x^{2}\right).

Generaliserede fejlfunktioner

Nogle forfattere diskuterer mere generelle træk

E_{n}(x)={\frac {n!}{{\sqrt {\pi }}}}\int \limits _{0}^{x}e^{{-t^{n}}} \,{\mathrm d}t={\frac {n!}{{\sqrt {\pi }}}}\sum _{{p=0}}^{\infty }(-1)^{p} {\frac {x^{{np+1}}}{(np+1)p!}}\,.

Bemærkelsesværdige særlige tilfælde er:

$E_{0}(x)$ er en ret linje, der går gennem oprindelsen af koordinater: $E_{0}(x)={\frac {x}{e{\sqrt {\pi ))))$
$E_{2}(x)$ er fejlfunktionen . $\operatørnavn {erf}\,x$

Efter at have divideret med alle med ulige udseende ens (men ikke identiske), kan det samme siges om med lige . Alle generaliserede fejlfunktioner ligner halvakser . $n!$ $E_{n}$ $n$ $E_{n}$ $n$ $n>0$ $x>0$

På halvaksen kan alle generaliserede funktioner udtrykkes i form af gammafunktionen : $x>0$

E_{n}(x)={\frac {\Gamma (n)\left(\Gamma \left({\frac {1}{n))\right)-\Gamma \left({\frac {1} {n)),x^{n}\right)\right)}{{\sqrt \pi }}},\quad \quad x>0

Derfor kan vi udtrykke fejlfunktionen i form af gammafunktionen:

\operatørnavn {erf}\,x=1-{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2)),x^{2}\right)}({\sqrt \pi ))}

Itererede integraler af den komplementære fejlfunktion

De itererede integraler af den komplementære fejlfunktion er defineret som [1] $\operatorname {I^{n}erfc}$

\operatørnavn {I^{0}erfc} \,z=\operatørnavn {erfc} \,z

\operatorname {I^{n}erfc} \,z=\int \limits _{z}^{\infty }\operatørnavn {I^{n-1}erfc} \,\zeta \,d\ zeta,

for .

n>0

De kan arrangeres i en række:

\operatorname {I^{n}erfc} \,z=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{j}}{2^{nj}j !\,\Gamma \left(1+{\frac {nj}{2}}\right)}}\,,

hvorfra symmetriegenskaberne følger

\operatorname {I^{2m}erfc} \,(-z)=-\operatørnavn {I^{2m}erfc} \,z+\sum _{q=0}^{m}{\frac { z^{2q}}{2^{2(mq)-1}(2q)!(mq)!}}

\operatorname {I^{2m+1}erfc} \,(-z)=\operatørnavn {I^{2m+1}erfc} \,z+\sum _{q=0}^{m}{ \frac {z^{2q+1}}{2^{2(mq)-1}(2q+1)!(mq)!}}\,.

Implementeringer

C -sprogstandarden (ISO/IEC 9899:1999 paragraf 7.12.8) giver en fejlfunktion og en ekstra fejlfunktion . Funktioner er deklareret i header-filer (for C ) eller (for C++ ). Funktionspar og , er også erklæret der . Det første par modtager og returnerer værdier af typen , og det andet par returnerer værdier af typen . De tilsvarende funktioner er også indeholdt i Boost- projektbiblioteket . $\operatørnavn {erf}$ $\operatørnavn {erfc}$ math.h cmatherff()erfcf()erfl()erfcl()floatlong doubleMath

I Java -sproget indeholder standardbiblioteket med matematiske funktioner java.lang.Mathikke [2] en fejlfunktion. Klassen kan findes i en ikke-standard bibliotekspakke leveret af [3] Apache SoftwareErf Foundation . org.apache.commons.math.special

Computeralgebrasystemer Maple [2] , Matlab [3] , Mathematica og Maxima [4] indeholder almindelige og yderligere fejlfunktioner, såvel som funktioner omvendt til dem.

I Python er fejlfunktionen tilgængelig [4] fra standardbiblioteket mathsiden version 2.7. Også fejlfunktionen, yderligere fejlfunktion og mange andre specialfunktioner er defineret i SciPy-Special projektmodulet [5] .

I Erlang er fejlfunktionen og den ekstra fejlfunktion tilgængelige fra standardmodulet math[5] .

I Excel er fejlfunktionen repræsenteret som FOS og FOS.EXC [6]

Se også

Noter

↑ Carslaw, H. S. & Jaeger, J. C. (1959), Conduction of Heat in Solids (2. udgave), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853368-9 , s. 484
↑ Matematik (Java Platform SE 6) . Dato for adgang: 28. marts 2008. Arkiveret fra originalen 29. august 2009. (ubestemt)
↑ Arkiveret kopi (link ikke tilgængeligt) . Hentet 28. marts 2008. Arkiveret fra originalen 9. april 2008. (ubestemt)
↑ 9.2. matematik - Matematiske funktioner - Python 2.7.10rc0 dokumentation
↑ Erlang - sproget . Beskrivelse Arkiveret 20. juni 2012 på Wayback Machine med standardmodulfunktioner . math
↑ FOS-funktion . support.microsoft.com . Hentet 15. november 2021. Arkiveret fra originalen 15. november 2021. (ubestemt)

Litteratur

Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T. & Flannery, Brian P. (2007), afsnit 6.2. Ufuldstændig gammafunktion og fejlfunktion , Numeriske opskrifter: The Art of Scientific Computing (3. udgave), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
Milton Abramowitz og Irene A. Stegun, red. Håndbog i matematiske funktioner med formler, grafer og matematiske tabeller . - New York: Dover, 1972. - T. 7.
Nikolai G. Lehtinen. Fejlfunktioner (april 2010). Dato for adgang: 25. maj 2019. (ubestemt)

Links

Ordbøger og encyklopædier	Great Soviet (1 udg.)
I bibliografiske kataloger	GND : 4156112-0 NDL : 00562553