Euler formel

Eulers formel relaterer den komplekse eksponent til trigonometriske funktioner . Opkaldt efter Leonhard Euler , der introducerede det.

Eulers formel siger, at for ethvert reelt tal gælder følgende lighed: $x$

e^{ix}=\cos x+i\sin x

hvor er en af de vigtigste matematiske konstanter , defineret af følgende formel : $e$ $e=\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}$

jeg

er den imaginære enhed .

Historie

Eulers formel blev første gang citeret i en artikel af den engelske matematiker Roger Cotes ( Newtons assistent ) "Logometria" ( lat. Logometria ), offentliggjort i tidsskriftet " Philosophical Transactions of the Royal Society " i 1714 [1] og genoptrykt i bogen " Harmony of Measures" ( lat. Harmonia mensurarum ), som blev udgivet i 1722, efter forfatterens død [2] . Kots citerede det som en lille sætning blandt mange geometriske konstruktioner, som efter at være blevet oversat til moderne matematisk sprog og rettet en fejl i tegnet, har formen [3] :

\ln(\cos x+i\sin x)=ix

Euler publicerede formlen i sin sædvanlige form i en artikel fra 1740 og i bogen "Introduction to the analysis of infinitesimals" ( lat. Introductio in analysin infinitorum ) ( 1748 ) [4] , hvor han byggede beviset på ligheden af uendelige potensrækker. udvidelser af højre og venstre del. Hverken Euler eller Kots forestillede sig en geometrisk fortolkning af formlen: Begrebet komplekse tal som punkter på det komplekse plan dukkede op omkring 50 år senere med K. Wessel .

Afledte formler

Ved hjælp af Euler-formlen kan du definere funktionerne og som følger: $\synd$ $\cos$

\sin x={\frac {e^{{ix}}-e^{{-ix}}}{2i}}

{\textstyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}}

Yderligere kan vi introducere begrebet trigonometriske funktioner af en kompleks variabel. Lad så: $x=iy$

\sin iy={\frac {e^{{-y}}-e^{y}}{2i}}=i{\mathop {{\mathrm {sh}}}}\,y

\cos iy={\frac {e^{{-y}}+e^{y}}{2}}={\mathop ({\mathrm {ch}}}}\,y

Den velkendte Euler-identitet , der relaterer fem grundlæggende matematiske konstanter:

e^{{i\pi }}+1=0

er et specialtilfælde af Euler-formlen for . $x=\pi$

Anvendelser i talteori

I analytisk talteori betragtes ofte særlige summer af formen , hvor er et bestemt sæt af objekter under overvejelse, og er en funktion, der afspejler de undersøgte egenskaber af objekter. $\sum \limits _{x\in X}{e^{2\pi if(x)))$ $x$ $f:\ X\to {\mathbb {R} }$

For talteori, som studerer heltal , er indikatoridentiteterne afledt af Eulers formel vedrørende et vilkårligt heltal af primær betydning . $n$

\sum \limits _{k=1}^{p}{e^{2\pi {\frac {nk}{p}}i}}=p[p|n]=\venstre\{{ \begin{matrix}p,&n\equiv 0{\pmod {p}}\\0,&n\ikke \equiv 0{\pmod {p}}\end{matrix}}\right.

\int \limits _{0}^{1}{e^{2\pi n\alpha i}}=[n=0]=\venstre\{{\begin{matrix}1,&n=0 \\0,&n\not =0\end{matrix}}\right.

Anvendelse i kompleks analyse

Takket være Eulers formel dukkede den såkaldte trigonometriske og eksponentielle registrering af et komplekst tal op :. $x=a+ib=|x|(\cos \varphi +i\sin \varphi )=|x|e^{{i\varphi }}$

Også formlerne til at hæve et komplekst tal til en vilkårlig potens kan betragtes som en væsentlig konsekvens: , . Den geometriske betydning af denne formel er som følger: når et tal hæves til en potens , hæves dets afstand til centrum til en potens , og rotationsvinklen i forhold til aksen øges med en faktor. $x=|x|e^{{i\varphi }}$ $x^{n}=|x|^{n}e^{{ni\varphi }}$ $x$ $n$ $n$ $OKSE$ $n$

Eksponentieringsformlen gælder ikke kun for heltal , men også for reelle. Især giver den eksponentielle notation af et tal mulighed for at finde rødder af enhver grad fra ethvert komplekst tal. $n$

Forholdet til trigonometri

Eulers formel giver en forbindelse mellem calculus og trigonometri , og tillader også sinus- og cosinusfunktionerne at blive fortolket som vægtede summer af en eksponentiel funktion :

{\displaystyle \cos x=\mathrm {Re} \left(e^{ix}\right)={e^{ix}+e^{-ix} \over 2))

{\textstyle \sin x=\mathrm {Im} \left(e^{ix}\right)={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i}.}

Ovenstående ligninger kan opnås ved at addere eller subtrahere Euler-formlerne :

e^{{ix}}=\cos x+i\sin x\;

{\tekststil e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos xi\sin x\;}

efterfulgt af en sinus- eller cosinusløsning.

Disse formler kan også tjene som en definition af trigonometriske funktioner af en kompleks variabel. For eksempel ved at erstatte x = iy , får vi :

\cos(iy)={e^{{-y}}+e^{{y}} \over 2}=\cosh(y)

\sin(iy)={e^{{-y}}-e^{{y}} \over 2i}=-{1 \over i}{e^{{y}}-e^{{-y }} \over 2}=i\sinh(y).

Komplekse eksponentialer forenkler trigonometriske beregninger, fordi de er lettere at manipulere end sinusformede komponenter. En tilgang involverer at konvertere sinusoider til de tilsvarende eksponentielle udtryk. Efter forenkling forbliver resultatet af udtrykket reelt. For eksempel :

{\begin{aligned}\cos x\cdot \cos y&={\frac {(e^{{ix}}+e^{{-ix}})}{2}}\cdot {\frac {(e ^{{iy}}+e^{{-iy}})}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {e^{{i(x+y )}}+e^{{i(xy)}}+e^{{i(-x+y)}}+e^{{i(-xy)}}}{2}}\\&={ \frac {1}{2}}\venstre[\underbrace {{\frac {e^{{i(x+y)}}+e^{{-i(x+y)}}}{2}} }_{{\cos(x+y)}}+\underbrace {{\frac {e^{{i(xy)}}+e^{{-i(xy)}}}{2}}}_ {{\cos(xy)}}\right].\end{aligned}}

Essensen af en anden tilgang er at repræsentere sinusoider som reelle dele af et komplekst udtryk og at manipulere direkte med et komplekst udtryk. For eksempel :

{\begin{aligned}\cos(nx)&={\mathrm {Re}}\{\ e^{{inx}}\ \}={\mathrm {Re}}\{\ e^{{i( n-1)x}}\cdot e^{{ix}}\ \}\\&={\mathrm {Re}}\{\ e^{{i(n-1)x}}\cdot (e ^{{ix}}+e^{{-ix}}-e^{{-ix}})\ \}\\&={\mathrm {Re}}\{\ e^{{i(n- 1)x}}\cdot \underbrace {(e^{{ix}}+e^{{-ix}})}_{{2\cos(x)}}-e^{{i(n-2 )x}}\ \}\\&=\cos[(n-1)x]\cdot 2\cos(x)-\cos[(n-2)x].\end{aligned}}

Denne formel bruges til rekursivt at beregne cos( nx )-værdier for heltal n- værdier og vilkårlige x -værdier (i radianer).

Bevis

Beviset for Eulers formel kan udføres ved hjælp af Maclaurin-serien . Lad os udvide funktionen i Taylor-rækken i nærheden af punktet a = 0 (i Maclaurin-rækken) i potenser . Vi får: $e^{{ix}}$ $x$

$e^{{ix}}=1+{\frac {ix}{1!}}+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3 }}{3!}}+\ldots =\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\ frac {x^{6}}{6!}}+\ldots \right)+i\left({\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!} }+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots \right)$

Men

$1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+ \ldots=\cos x$

${\frac {x}{1!)}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!)}}-{\frac { x^ {7}}{7!}}+\ldots =\sin x$

Derfor krævede det bevist . $e^{ix}=\cos x+i\sin x$

Visuel demonstration

Det er kendt , at . De følgende billeder illustrerer, at grænsen er lig med et punkt placeret på enhedscirklen, og længden af buen fra dette punkt til punkt 1 er . Dette skyldes især, at . $e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}$ $e^{i\varphi }=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {i\varphi}{n}}\right)^{n}$ $\varphi$ $\lim \limits _{x\til 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$

n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
n=6
n=8
n=16

Forandringsprocessen ved ændring kan også demonstreres visuelt gennem derivatet . Det er velkendt, at og Det samme forhold gælder for den komplekse værdi af funktionen. Funktionen taget i betragtning får vi . Da multiplikation med i den geometriske repræsentation af komplekse tal svarer til at dreje med 90 grader, vil den grafiske repræsentation af funktionen og dens afledte ligne tegningen af centripetalkraftvirkningen , for hvilken den fysiske betydning er kendt. ${\displaystyle e^{\varphi i))$ $\varphi$ $\left({e^{x}}\right)'=e^{x}$ ${\displaystyle \left({e^{f(x)}}\right)'=f'(x)e^{f(x)))$ ${\displaystyle f(\varphi )=e^{\varphi i))$ $f'(\varphi )=if(\varphi )$ $jeg$ ${\displaystyle f(\varphi )=e^{\varphi i))$

Den eksponentielle form af et komplekst tal

De eksponentielle og trigonometriske former for komplekse tal er forbundet med Eulers formel.

Lad et komplekst tal i trigonometrisk form have formen . Ud fra Euler-formlen kan udtrykket i parentes erstattes af et eksponentielt udtryk. Som et resultat får vi: $z$ $z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$

z=re^{{i\varphi }}

Denne notation kaldes den eksponentielle form af det komplekse tal. Ligesom i den trigonometriske form, her , . $r=|z|$ $\varphi =\arg z$

Noter

↑ Cotes R. Logometria // Philosophical Transactions of the Royal Society of London : tidsskrift. - 1714-1716. — Bd. 29 . — S. 32 . - doi : 10.1098/rstl.1714.0002 . Arkiveret fra originalen den 6. juli 2017.
↑ Cotes R. Harmonia mensurarum . - 1722. - s. 28. Arkiveksemplar af 7. juni 2020 på Wayback Machine
↑ González-Velasco Enrique A. Rejse gennem matematik: Kreative episoder i dens historie . - 2011. - S. 182. Arkivkopi dateret 19. oktober 2014 på Wayback Machine
↑ Euler L. Cap.VIII. De quantitatibus transcendentibus ex Circulo ortis // Introductio in analysin infinitorum (neopr.) . - 1748. - T. 1. - S. 104.

Litteratur

Gutov A. Z. En analog af Euler-formlen for generaliseret sinus og cosinus // Moderne metoder for fysiske og matematiske videnskaber. Indlæg fra den internationale konference. Eagle, 2006. S. 35-37. Arkiveret 25. september 2020 på Wayback Machine
Korn G., Korn T. Håndbog i matematik (for forskere og ingeniører) . — M .: Nauka, 1973.
Stillwell D. Matematik og dens historie . - Moskva-Izhevsk: Institut for computerforskning, 2004. - 530 s. Arkiveret 7. juni 2015 på Wayback Machine

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk Stor russer Britannica (online)