Unimodulært gitter

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 25. juni 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Et unimodulært gitter er et helt gitter med determinant . Sidstnævnte svarer til det faktum, at rumfanget af det fundamentale område af gitteret er . $\pm 1$ $en$

Definitioner

Gitteret er en fri abelsk gruppe af endelig rang med en symmetrisk bilineær form . ${\mathbb Z}^{n}$ $n$ $({*},{*})$
Et gitter kan også ses som en undergruppe af et reelt vektorrum med en symmetrisk bilineær form . $\mathbb {R} ^{n}$
Tallet kaldes gitterets dimension , det er dimensionen af det tilsvarende reelle vektorrum ; det er det samme som rangeringen af -modulet eller antallet af generatorer i en fri gruppe . $n$ $\mathbb {Z}$ ${\mathbb Z}^{n}$ ${\mathbb Z}^{n}$
Gitteret kaldes heltal , hvis formen kun har heltalsværdier. $({*},{*})$
Normen for et gitterelement er defineret som . $-en$ $(a,a)$
Et gitter siges at være positivt-bestemt eller Lorentzian , og så videre, hvis dets vektorrum er sådan. I særdeleshed:
- Et gitter er positivt bestemt , hvis normen for alle ikke-nul-elementer er positiv.
- Signaturen af et gitter er defineret som signaturen af en form på et vektorrum.
Determinanten af et gitter er determinanten for grammatricen af dets basis.
Et gitter kaldes unimodulært , hvis dets determinant er . $\pm 1$
Et unimodulært gitter kaldes , selvom alle normerne for dets elementer er lige.

Eksempler

$\mathbb {Z} \subset \mathbb {R}$ , samt unimodulære gitter. $\mathbb {Z} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{n}$
Gitter E8 , Leach gitter er endda unimodulære gitter.

Egenskaber

For et givet gitter i vektorer sådan, at de for enhver også danner et gitter kaldet det dobbelte gitter til . $\Lambda \in \mathbb {R} ^{n}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n))$ $(x,a)\in \mathbb {Z}$ $a\in \Lambda$ $\lambda$
- Et helt gitter er unimodulært, hvis og kun hvis dets dobbelte gitter er integreret.
- Et unimodulært gitter er identisk med dets dual. Af denne grund kaldes unimodulære gitter også selv-dual .
Ulige unimodulære gitter findes for alle signaturer.
Et jævnt unimodulært gitter med signatur eksisterer, hvis og kun hvis det er deleligt med 8. $(m,n)$ $mn$
- Især eksisterer selv positiv-definite unimodulære gitter kun i dimensioner, der er delelige med 8.
Theta-funktionen af unimodulære positive bestemte gitter er den modulære form .

Ansøgninger

Den anden kohomologigruppe af lukkede , simpelt forbundne orienterede topologiske firedimensionelle manifolds er et unimodulært gitter. Mikhail Fridman viste, at dette gitter praktisk talt definerer en manifold: der er en enkelt manifold for hvert lige unimodulært gitter, og præcis to for hvert ulige unimodulært gitter.
- Især for nulformen indebærer dette Poincaré-formodningen for 4-dimensionelle topologiske manifolder.
- Donaldsons sætning siger, at hvis et manifold er glat , og dets gitter er positivt bestemt, så skal det være en kopisum af . $\mathbb {Z}$
  - Især har de fleste af disse manifolder ikke en glat struktur.

Litteratur

Bacher, Roland & Venkov, Boris (2001), Réseaux entiers unimodulaires sans racine en dimension 27 et 28 , i Martinet, Jacques, Réseaux euclidiens, designs sphériques et formes modulaires , vol. 37, Mongr. Enseign. Math., Genève: L'Enseignement Mathematique, s. 212–267, ISBN 2-940264-02-3 Arkiveret 28. september 2007 på Wayback Machine
Conway, JH & Sloane, NJA (1999), Sphere packings, lattices and groups , vol. 290 (tredje udgave), Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, New York, NY: Springer-Verlag , ISBN 0-387-98585-9
King, Oliver D. (2003), En masseformel for unimodulære gitter uden rødder , Mathematics of Computation bind 72 (242): 839–863 , DOI 10.1090/S0025-5718-02-01455-2
Milnor, John & Husemoller, Dale (1973), Symmetric Bilinear Forms , vol. 73, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , New York-Heidelberg: Springer-Verlag , ISBN 3-540-06009-X , DOI 10.1007/978-3-642-88330-9
Serre, Jean-Pierre (1973), A Course in Arithmetic , vol. 7, Graduate Texts in Mathematics , Springer-Verlag , ISBN 0-387-90040-3 , DOI 10.1007/978-1-4684-9884-4

Eksterne links

Katalog over Unimodular Lattices af Neil Sloan .
Sloane's A005134: Antal n-dimensionelle unimodulære gitter ", The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences . OEIS Foundation.