Isomorfismesætninger i algebra er en række sætninger , der relaterer til begreberne faktor , homomorfi og indlejret objekt . Udtalelsen af sætningerne er en isomorfi af nogle par af grupper , ringe , moduler , lineære rum , Lie algebraer eller andre algebraiske strukturer (afhængigt af applikationen). Der er normalt tre isomorfismesætninger, kaldet den første (også den grundlæggende homomorfisætning ) , den anden og den tredje. Selvom sådanne sætninger ganske let følger af definitionen af faktoren, og ingen er særligt krediteret med deres opdagelse, menes det, at Emmy Noether gav de mest generelle formuleringer .
Lad være en gruppe homomorfi , så:
Især hvis homomorfien φ er surjektiv (dvs. er en epimorfi ), så er gruppen H isomorf med faktorgruppen G /ker φ.
Lad G være en gruppe, S en undergruppe af G , N en normal undergruppe af G , så:
Lad G være en gruppe, N og K er normale undergrupper af G , således at K ⊆ N , så:
På dette område er begrebet en normal undergruppe erstattet af begrebet et ideal om en ring .
Lad være en ringhomomorfi , så:
Især hvis homomorfismen φ er surjektiv (det vil sige, den er en epimorfi), så er ringen S isomorf med faktorringen R / ker φ.
Lad R være en ring, S en underring i R , I et ideal i R , så:
Lad R være en ring, A og B være idealer i R , således at B ⊆ A , så:
Isomorfisætningerne for Abelske grupper og lineære rum er et specialtilfælde af sætninger for moduler , som vil blive formuleret. For lineære mellemrum kan der findes mere information i artiklen " lineær kortlægningskerne ".
Lad være en homomorfi af moduler, så:
Lad M være et modul, S og T være undermoduler i M , så:
Lad M være et modul, S og T være undermoduler i M , således at T ⊆ S , så: