Isomorfi teoremer

Isomorfismesætninger i algebra er en række sætninger , der relaterer til begreberne faktor , homomorfi og indlejret objekt . Udtalelsen af ​​sætningerne er en isomorfi af nogle par af grupper , ringe , moduler , lineære rum , Lie algebraer eller andre algebraiske strukturer (afhængigt af applikationen). Der er normalt tre isomorfismesætninger, kaldet den første (også den grundlæggende homomorfisætning ) , den anden og den tredje. Selvom sådanne sætninger ganske let følger af definitionen af ​​faktoren, og ingen er særligt krediteret med deres opdagelse, menes det, at Emmy Noether gav de mest generelle formuleringer .

Grupper

Første sætning

Lad være en gruppe homomorfi , så:

  1. Kernen φ er en normal undergruppe af  G ;
  2. Billedet φ er en undergruppe af  H ;
  3. Billedet φ er isomorft med faktorgruppen G /  ker φ.

Især hvis homomorfien φ er surjektiv (dvs. er en epimorfi ), så er gruppen H isomorf med faktorgruppen G  /ker φ.

Anden sætning

Lad G være en gruppe, S en undergruppe af  G , N en normal undergruppe af  G , så:

  1. Produktet er en undergruppe af  G ;
  2. Skæringspunktet er en normal undergruppe af  S ;
  3. Faktorgrupper og er isomorfe.

Tredje sætning

Lad G være en gruppe, N og K er normale undergrupper af  G , således at K  ⊆  N , så:

  1. N  /  K er en normal undergruppe af  G  /  K ;
  2. Kvotientgruppen af ​​kvotientgrupper ( G  /  K )/( N  /  K ) er isomorf til kvotientgruppen G  /  N .

Ringe

På dette område er begrebet en normal undergruppe erstattet af begrebet et ideal om en ring .

Første sætning

Lad være en ringhomomorfi , så:

  1. Kernen φ er et ideal i  R ;
  2. Billedet φ er en underring i  S ;
  3. Billedet φ er isomorft med faktorringen R  / ker φ.

Især hvis homomorfismen φ er surjektiv (det vil sige, den er en epimorfi), så er ringen S isomorf med faktorringen R  / ker φ.

Anden sætning

Lad R være en ring, S en underring i  R , I et ideal i  R , så:

  1. Summen S  +  I er en subring i  R ;
  2. Skæringspunktet S  ∩  I er et ideal i  S ;
  3. Faktorringe ( S  +  I ) /  I og S  / ( S  ∩  I ) er isomorfe.

Tredje sætning

Lad R være en ring, A og B være idealer i  R , således at B  ⊆  A , så:

  1. A  /  B er et ideal i  R  /  B ;
  2. Kvotientringen af ​​kvotientringe ( R  /  B )/( A  /  B ) er isomorf til kvotientringen R  /  A .

Moduler, Abelske grupper og lineære rum

Isomorfisætningerne for Abelske grupper og lineære rum er et specialtilfælde af sætninger for moduler , som vil blive formuleret. For lineære mellemrum kan der findes mere information i artiklen " lineær kortlægningskerne ".

Første sætning

Lad være en homomorfi af moduler, så:

  1. Kernen φ er et undermodul i  M ;
  2. Billedet φ er et undermodul i  N ;
  3. Billedet φ er isomorft til kvotientmodulet M  / ker φ.

Anden sætning

Lad M være et modul, S og T være undermoduler i  M , så:

  1. Summen S  +  T er et undermodul i  M ;
  2. Skæringspunktet S  ∩  T er et undermodul i  M ;
  3. Kvotientmodulet (S + T) / T er isomorft med kvotientmodulet S  / ( S  ∩  T ).

Tredje sætning

Lad M være et modul, S og T være undermoduler i  M , således at T  ⊆  S , så:

  1. S  /  T er et undermodul i  M  /  T ;
  2. Faktorsættet af faktormoduler ( M  /  T )/( S  /  T ) er isomorft med faktormodulet M  /  S .

Se også