Stewarts teorem

Stewarts sætning er en metrisk sætning i euklidisk planimetri .

Hun siger, at hvis et punkt ligger på en side af en trekant , så $D$ $f.Kr$ $ABC$

AD^{2}=p^{2}=b^{2}{\frac {x}{a}}+c^{2}{\frac {y}{a}}-{xy} ,

hvor , og (fig. 1). Segment AD kaldes ceviana af trekant ABC . $y=CD$ $x=BD$ $a=x+y=BC$

Beviser

Gennem produktet af vektorer

Et af beviserne for sætningen er baseret på anvendelsen af vektoralgebra og i særdeleshed det indre produkts egenskaber [1] . Lad os repræsentere en vektor, hvis længde er ønsket, på to måder: ${\overrightarrow {AD)),$

{\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BD}},\quad {\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {AC}}+{\overrightarrow {CD }} }}.

Gang den første ligning med længden og den anden med $CD$ $BD\colon$

{\overrightarrow {AD}}\cdot CD={\overrightarrow {AB}}\cdot CD+{\overrightarrow {BD}}\cdot CD,

{\overrightarrow {AD}}\cdot BD={\overrightarrow {AC}}\cdot BD+{\overrightarrow {CD}}\cdot BD.

Lad os nu tilføje de resulterende ligninger:

{\overrightarrow {AD}}\cdot BC=({\overrightarrow {AB}}\cdot CD~{\color {Rød}+~{\overrightarrow {BD}}\cdot CD})+({\ højrepil {AC}}\cdot BD~{\color {Rød}+~{\overrightarrow {CD}}\cdot BD}),

hvor siden og har lige lange og er modsatte. Derfor er vektoren selv ${\overrightarrow {BD}}\cdot CD+{\overrightarrow {CD}}\cdot BD=0,$ ${\overrightarrow {BD}}\cdot CD$ ${\overrightarrow {CD}}\cdot BD$ ${\overrightarrow {AD}}$

{\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {AB}}{\frac {CD}{BC}}+{\overrightarrow {AC}}{\frac {BD}{BC}}.

Dens længde kan opnås ved hjælp af skalarproduktet af en vektor med sig selv: ${\overrightarrow {AD}}$

\left({\overrightarrow {AD}}\right)^{2}=\left({\overrightarrow {AB}}\right)^{2}\left({\frac {CD}{BC} }\right)^{2}+\left({\overrightarrow {AC}}\right)^{2}\left({\frac {BD}{BC}}\right)^{2}+{\color {Grøn}2{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}}\cdot {\frac {CD}{BC}}\cdot {\frac {BD}{BC}}.

Yderligere, for at udtrykke i længder, skal vi finde $2{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}$ $({\overrightarrow {AB}}-{\overrightarrow {AC}})^{2}\colon$

{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {AC}}-{\overrightarrow {AB}},

BC^{2}=AC^{2}-2{\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {AB}}+AB^{2},

2{\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {AB}}=AC^{2}+AB^{2}-BC^{2}.

Heraf viser det sig endelig at

AD^{2}=AB^{2}{\frac {CD^{2}}{BC^{2}}}+AC^{2}{\frac {BD^{2}}{BC ^{2}}}+({\color {Grøn}AC^{2}+AB^{2}-BC^{2}}){\frac {CD}{BC}}\cdot {\frac {BD }{BC}},

$AD^{2}=AB^{2}\cdot {\frac {CD}{BC}}+AC^{2}\cdot {\frac {BD}{BC}}-CD\cdot BD.$

Gennem cosinussætningen

Vi udtrykker AB og AC i form af de resterende sider af trekanter ABC og ACD og i form af vinklerne og støder op til hinanden: $\angle ADB$ $\angle ADC,$

AB^{2}=BD^{2}+AD^{2}-2AD\cdot BD\cos \angle ADB,

{\begin{alignedat}{2}AC^{2}&=AD^{2}+DC^{2}~{\color {Grøn}-}~2AD\cdot DC\cos \angle AD{ \color {Grøn}C}=\\&=AD^{2}+DC^{2}~{\color {Grøn}+}~2AD\cdot DC\cos \angle AD{\color {Grøn}B} .\\\end{aligned}}

Gang den første ligning med og den anden med $DC$ $BD\colon$

{\begin{cases}AB^{2}DC=BD^{2}DC+AD^{2}DC-2AD\cdot BD\cdot DC\cos \angle ADB,\\AC^{2} BD=AD^{2}BD+DC^{2}BD+2AD\cdot DC\cdot BD\cos \angle ADB,\end{cases}}

For at slippe af med cosinus af vinkel ABD tilføjer vi disse ligheder:

AB^{2}DC+AC^{2}BD=(BD^{2}DC+AD^{2}DC)+(AD^{2}BD+DC^{2}BD),

AB^{2}DC+AC^{2}BD-BD^{2}DC-DC^{2}BD=AD^{2}(DC+BD),

AB^{2}DC+AC^{2}BD-BD\cdot DC(BD+DC)=AD^{2}(DC+BD),

$AB^{2}\cdot {\frac {CD}{BC}}+AC^{2}\cdot {\frac {BD}{BC}}-BD\cdot CD=AD^{2}.$

Historie

Sætningen er opkaldt efter den engelske matematiker M. Stewart, som beviste den og udgav den i værket Some General Theorems (1746, Edinburgh). Sætningen blev rapporteret til Stuart af hans lærer R. Simson , som først udgav denne sætning i 1749.

Ansøgning

Sætningen kan bruges til at finde medianer og halveringslinjer for trekanter, og et særligt tilfælde af Stewarts sætning, når ceviana degenererer til median , er Apollonius' sætning .
En konsekvens af Stewarts sætning er også Ptolemæus sætning .[ ryd op ]

Generalisering

Stewarts sætning er generaliseret til Bretschneiders lighed for en firkant: hvis et toppunkt i firkanten falder på siden af firkanten, så følger Stewarts sætning af Bretschneiders sætning .

Noter

↑ Pogorelov A. V. Geometri. - M . : Nauka , 1983. - S. 30-31. — 288 s.

Litteratur

L.S. Atanasyan , V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev, I.I. Yudina Geometri. Yderligere kapitler til lærebogen klasse 9. 4. udg. Forlaget Vita-Press, 2004. s. 53.
V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak , S. A. Shestakov , I. I. Yudina Geometri. En manual til dybdegående studier af matematik. Forlaget FIZMATLIT, 2005. 488 s. s. 302-303.
Manturov O. V. , Solntsev Yu. K. Forklarende ordbog over matematiske termer. En guide til lærere. Under redaktion af Ditkin V. A. M .: Education, 1965. 540 s.
Ponarin Ya. P. Elementær geometri. I 2 bind - M . : MTSNMO , 2004. - S. 60-61. — ISBN 5-94057-170-0 .