Menelaos sætning

Menelaos ' sætning , eller sætningen om transversaler , eller sætningen om den komplette firkant , er en klassisk sætning om affin geometri .

Ordlyd

Hvis punkterne og ligger henholdsvis på siderne og trekanten eller på deres forlængelser [1] , så er de collineære hvis og kun hvis $A',B'$ $C'$ $BC, CA$ $AB$ $\trekant ABC$

{\frac {AB'}{B'C}}\cdot {\frac {CA'}{A'B}}\cdot {\frac {BC'}{C'A}}=-1.

hvor , og angiver forholdet mellem rettede segmenter . ${\frac {AB'}{B'C}}$ ${\frac {CA'}{A'B}}$ ${\frac {BC'}{C'A}}$

Bevis

Lad os tegne en linje parallelt med linjen gennem punktet og angive ved skæringspunktet mellem denne linje og linjen . Da trekanterne og ligner hinanden (i to vinkler), så $C$ $AB$ $K$ $A'C'$ $\trekant AC'B'$ $\trekant CKB'$

{\frac {|AC'|}{|CK|}}={\frac {|B'A|}{|B'C|}}

Da trekanter også ligner , og dermed $\trekant BC'A'$ $\trekant CKA'$

{\frac {|CK|}{|C'B|}}={\frac {|A'C|}{|BA'|}}

Bortset fra , får vi $CK$

{\frac {|AC'|}{|C'B|}}\cdot {\frac {|BA'|}{|A'C|}}\cdot {\frac {|CB'|}{|B 'A|}}=1

Det er tilbage at bemærke, at to arrangementer af punkter og er mulige : enten ligger to af dem på de tilsvarende sider af trekanten, og den tredje ligger på forlængelsen, eller alle tre ligger på forlængelserne af de tilsvarende sider. Derfor har vi for forholdet mellem rettede segmenter $A',B'$ $C'$

{\frac {AB'}{B'C}}\cdot {\frac {CA'}{A'B}}\cdot {\frac {BC'}{C'A}}=-1.

Noter

Især forholdet for længderne af segmenterne følger af sætningen: ${\frac {|AB'|}{|B'C|}}\cdot {\frac {|CA'|}{|A'B|}}\cdot {\frac {|BC'|}{|C 'A|}}=1.$

Variationer og generaliseringer

Trigonometrisk ækvivalent:

{\frac {\sin \angle BAA'}{\sin \angle A'AC}}\cdot {\frac {\sin \angle CBB'}{\sin \angle B'BA}}\cdot {\frac { \sin \angle ACC'}{\sin \angle C'CB}}=-1

, hvor alle vinkler er orienteret .

I sfærisk geometri tager Menelaos' sætning formen

{\frac {\sin |AB'|}{\sin |B'C|}}\cdot {\frac {\sin |CA'|}{\sin |A'B|}}\cdot {\frac { \sin |BC'|}{\sin |C'A|}}=1.

I Lobachevskys geometri tager Menelaos' sætning formen

{\frac {\operatørnavn {sh}|AB'|}{\operatørnavn {sh}|B'C|}}\cdot {\frac {\operatørnavn {sh}|CA'|}{\operatørnavn {sh}| A'B|}}\cdot {\frac {\operatørnavn {sh}|BC'|}{\operatørnavn {sh}|C'A|}}=1.

Historie

Denne teorem er bevist i den tredje bog af sfærerne af Menelaos af Alexandria (ca. 100 e.Kr.). Menelaos beviser først sætningen for flytilfældet og overfører det derefter til kuglen ved central projektion. Det er muligt, at sætningens flade tilfælde blev behandlet tidligere i Euklids ikke-bevarede porismer.

Menelaos' sfæriske teorem var det vigtigste værktøj, hvorved forskellige anvendte problemer inden for senantik og middelalderlig astronomi og geodæsi blev løst. Hun er dedikeret til en række værker kaldet "The Book of the Figur of the Secant", kompileret af matematikere fra det middelalderlige øst som Sabit ibn Korra , an-Nasavi , al-Maghribi , as-Sijizi , as-Salar , Jabir ibn Aflah , Nasir ad-Din at-Tusi .

Den italienske matematiker Giovanni Ceva i 1678 foreslog et bevis for Menelaus-sætningen og en beslægtet Ceva-sætning for flytilfældet, baseret på overvejelsen af tyngdepunktet for et system med tre punktvægte. [2]

Ansøgninger

Salmons teorem
Mange teoremer i projektiv geometri , såsom Pappus' sætning og Desargues' sætning , er bevist ved gentagne anvendelser af Menelaos' sætning.

Se også

Noter

↑ der kan være præcis to eller ingen punkter på selve siderne
↑ G. Ceva, De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio Milano, 1678

Menelaos sætning

Ordlyd

Noter

Variationer og generaliseringer

Historie

Ansøgninger

Se også

Noter

Links