Gauss sætning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 2. februar 2021; checks kræver 4 redigeringer .

Gauss' sætning (Gauss' lov ) er en af elektrodynamikkens grundlæggende love og er inkluderet i systemet af Maxwells ligninger . Udtrykker forbindelsen (nemlig lighed op til en konstant koefficient) mellem den elektriske feltstyrkestrøm gennem en lukket overflade med vilkårlig form og den algebraiske sum af ladninger placeret inden for volumenet afgrænset af denne overflade. Anvendes alene til at beregne elektrostatiske felter.

En lignende sætning, også en af Maxwells ligninger, findes også for et magnetfelt ( se nedenfor ).

Gauss-sætningen er også sand for alle felter, for hvilke superpositionsprincippet og Coulombs lov eller dens analoge begge er sande (for eksempel for Newtonsk tyngdekraft). Samtidig anses den for at være mere fundamental end Coulomb-loven, da den især giver mulighed for at udlede graden af afstand [1] i Coulomb-loven "fra første principper", og ikke postulere den (eller ej finde det empirisk).

Dette kan ses som den grundlæggende betydning af Gauss-sætningen (Gauss' lov) i teoretisk fysik.

Der findes analoger (generaliseringer) af Gauss' teorem for mere komplekse feltteorier end elektrodynamik.

Gauss' sætning for styrken af et elektrisk felt i et vakuum

Generel formulering : Strømmen af den elektriske feltstyrke- vektor gennem enhver vilkårligt valgt lukket overflade er proportional med den elektriske ladning indesluttet inde i denne overflade .

GHS	SI
$\Phi _{{\mathbf {E}}}=4\pi Q,$	$\Phi _{{\mathbf {E}}}={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}},$

hvor

$\Phi _{{\mathbf {E}}}\equiv \oint \limits _{S}{\mathbf {E}}\cdot {\mathrm {d}}{\mathbf {S}}$ er strømmen af den elektriske feltstyrkevektor gennem en lukket overflade . $S$
$Q$ er den samlede ladning indeholdt i det rumfang, der afgrænser overfladen . $S$
$\varepsilon_{0}$ er den elektriske konstant .

Dette udtryk er Gauss-sætningen i integralform.

Bemærkning : Strømmen af spændingsvektoren gennem overfladen afhænger ikke af ladningsfordelingen (arrangement af ladninger) inde i overfladen.

I differentialform er Gauss' sætning udtrykt som følger:

GHS	SI
${\mathrm {div}}\,{\mathbf {E}}\equiv \nabla \cdot {\mathbf {E}}=4\pi \rho ,$	${\mathrm {div}}\,{\mathbf {E}}\equiv \nabla \cdot {\mathbf {E}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}.$

Her er volumenladningstætheden (i tilfælde af tilstedeværelse af et medium, den samlede tæthed af frie og bundne ladninger), og er nabla-operatoren . $\rho$ $\nabla$

Gauss' sætning kan bevises som en sætning i elektrostatik ud fra Coulombs lov og superpositionsprincippet ( se nedenfor ). Formlen er dog også rigtig inden for elektrodynamik, selvom den i den oftest ikke fungerer som en bevist sætning, men fungerer som en postuleret ligning (i denne forstand og sammenhæng er det mere logisk at kalde det Gauss-loven [2] ).

I buet rumtid udtrykkes strømmen af et elektromagnetisk felt gennem en lukket overflade som , hvor er lysets hastighed ; angiver tidskomponenterne af den elektromagnetiske felttensor ; er determinanten for den metriske tensor ; er et ortonormalt element af den todimensionelle overflade, der omgiver ladningen ; indekser og matcher ikke hinanden. [3] $\Phi _{\mathbf {E} }=c\oint \limits _{S}F^{\kappa 0}{\sqrt {-g}}\mathrm {d} S_{\kappa }$ $c$ $F^{\kappa 0}$ $g$ ${\displaystyle \mathrm {d} S_{\kappa}=\mathrm {d} S^{ij}=\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j))$ $Q$ $i,j,\kappa =1,2,3$

Gauss' teorem for elektrisk induktion (elektrisk forskydning)

For et felt i et dielektrisk medium kan Gauss elektrostatiske sætning skrives på en anden måde (på en alternativ måde) - gennem strømmen af den elektriske forskydningsvektor (elektrisk induktion). I dette tilfælde er formuleringen af sætningen som følger: strømmen af den elektriske forskydningsvektor gennem en lukket overflade er proportional med den frie elektriske ladning inde i denne overflade:

GHS	SI
$\Phi _{{\mathbf {D}}}\equiv \oint \limits _{S}{\mathbf {D}}\,{\mathbf {d}}{\mathbf {S}}=4\pi Q ,$	$\Phi _{{\mathbf {D}}}\equiv \oint \limits _{S}{\mathbf {D}}\,{\mathbf {d}}{\mathbf {S}}=Q,$

Vigtig kommentar

Q på højre side af denne ligning er ikke den samme som i den grundlæggende formulering ovenfor [4] i begyndelsen af artiklen. Sidstnævnte kaldes ofte "formuleringen for vakuumet", men dette navn er rent konventionelt, det er lige så anvendeligt til tilfældet med et dielektrisk medium, kun ved Q her er det nødvendigt at forstå summen af den frie ladning inde i overfladen og polarisationsladningen (induceret, bundet) af dielektrikumet, det vil sige, i ligningen for E skulle skrive et andet bogstav på højre side: $\Phi _{{\mathbf {E}}}\equiv \oint \limits _{S}{\mathbf {E}}\,{\mathbf {d}}{\mathbf {S}}=4\pi Q ,$

Q_{\Sigma }=Q+Q_{b},

hvor

$Q_{b}=\oint \limits _{S}{\mathbf {P}}\,{\mathrm {d}}{\mathbf {S}}$ - bundet ladning inde i overfladen [5] ,
${\mathbf {P}}$ er den dielektriske polarisationsvektor .

Vi har brugt det samme bogstav i højre side her, simpelthen fordi sådan en notation er mest almindelig, og da begge ligningsformer sjældent bruges sammen, så er der ingen forveksling.

I tilfælde af vakuum (fravær af et dielektrisk medium) falder begge ligninger simpelthen sammen, siden Q b \u003d 0, mens D \ u003d E (i SI -enhedssystemet - er proportionale.

I differentiel form:

GHS	SI
${\mathrm {div}}\,{\mathbf {D}}\equiv \nabla \cdot {\mathbf {D}}=4\pi \rho ,$	${\mathrm {div}}\,{\mathbf {D}}\equiv \nabla \cdot {\mathbf {D}}=\rho .$

Vigtig kommentar

Det er vigtigt at forstå, at Q og ρ i dette afsnit angiver andre størrelser end i det foregående: størrelsen af frie ladninger og tætheden af frie ladninger, det vil sige ladninger med undtagelse af dem, der induceres under polarisering af det dielektriske medium ( hvorimod i det foregående afsnit, den samlede ladning og den samlede densitetsladning (for flere detaljer, se kommentaren i dette afsnit lidt højere). Disse værdier falder kun sammen i tilfælde af vakuum (fravær af et dielektrisk medium), når ligningerne i dette afsnit bliver i det væsentlige ligningerne i det foregående afsnit.

Gauss' teorem for magnetisk induktion

Fluxen af den magnetiske induktionsvektor gennem enhver lukket overflade er nul:

\Phi _{{\mathbf {B}}}\equiv \oint \limits _{S}{\mathbf {B}}\cdot {\mathrm {d}}{\mathbf {S}}=0,

eller i differentiel form

\nabla \cdot {\mathbf {B}}=0.

Det svarer til, at der i naturen ikke er nogen "magnetiske ladninger" ( monopoler ), der ville skabe et magnetfelt, ligesom elektriske ladninger skaber et elektrisk felt [6] . Gauss' teorem for magnetisk induktion viser med andre ord, at magnetfeltet er (fuldt ud) hvirvel .

Gauss' teorem for Newtonsk tyngdekraft

For styrken af feltet for newtonsk tyngdekraft (acceleration af frit fald) falder Gauss-sætningen praktisk talt sammen med den i elektrostatik, bortset fra konstanter (de afhænger dog stadig af et vilkårligt valg af enhedssystemet) og, vigtigst af alt, tegnet [7] :

\Phi _{{\mathbf {g}}}\equiv \oint \limits _{S}{\mathbf {g}}\cdot {\mathrm {d}}{\mathbf {S}}=-4\pi gm,

\nabla \cdot {\mathbf {g}}=-4\pi G\rho ,

hvor g er tyngdefeltets styrke, M er tyngdeladningen (det vil sige massen) inde i overfladen S , ρ er massetætheden, G er den newtonske konstant .

Fortolkninger

Med hensyn til kraftlinjer

Gauss-sætningen kan fortolkes i form af feltlinjer [8] af feltet som følger:

Fluxen af et felt gennem en overflade er [9] antallet af kraftlinjer, der trænger igennem denne overflade. I dette tilfælde tages retningen i betragtning - kraftlinjerne, der trænger ind i overfladen i den modsatte retning, betragtes med et minustegn.
Feltlinjer begynder eller slutter kun på ladninger (begynder på positive ladninger, slutter på negative), eller de kan stadig gå til det uendelige. Antallet af kraftlinjer, der udgår fra ladningen (begynder i den) er lig med [10] værdien af denne ladning (dette er definitionen af ladning i denne model). For negative ladninger er alt det samme, kun ladningen er lig med minus antallet af linjer, der kommer ind i den (der slutter på den).
Baseret på disse to bestemmelser virker Gauss' sætning indlysende i formuleringen: antallet af linjer, der udgår fra en lukket overflade, er lig med det samlede antal ladninger inde i den - det vil sige antallet af linjer, der dukkede op inde i den . Selvfølgelig tages der hensyn til tegn, især en linje, der starter inde i overfladen på en positiv ladning, kan ende på en negativ ladning også inde i den (hvis der er en), så vil den ikke bidrage til strømmen gennem denne overflade , da eller endda før den ikke når eller forlader og derefter går tilbage (eller generelt krydser overfladen et lige antal gange lige i fremadgående og modsatte retninger), hvilket, når det summeres under hensyntagen til tegnet, vil give nul bidrag til flowet. Det samme kan siges for linjer, der starter og slutter uden for en given overflade - af samme grund vil de også bidrage med nul til flowet igennem den.

Med hensyn til flowet af en inkompressibel væske

Gauss-sætningen gælder for hastighedsfeltet for en inkompressibel væske. Denne kendsgerning giver os mulighed for at bruge strømmen af en inkompressibel væske som en analogi (formel model), som gør det muligt at afklare dens betydning og visualisere dens matematiske indhold. [elleve]

Selv selve terminologien for vektoranalyse brugt i elektrodynamik (og især i formuleringen af Gauss-sætningen) blev dannet næsten udelukkende under indflydelse af denne analogi. Det er tilstrækkeligt at påpege sådanne udtryk som feltets kilde (i forhold til ladningen) eller fluxen gennem overfladen, som fuldt ud og nøjagtigt svarer i den betragtede analogi til begreberne:

kilden til væsken (i betydningen det sted, hvor væsken forekommer, og det kvantitative mål for dets forekomst - det volumen, der forekommer pr. tidsenhed),
flow (i betydningen mængden af væske, der passerer gennem overfladen pr. tidsenhed).

Med hensyn til strømmen af en inkompressibel væske er Gauss' sætning formuleret som følger: Væskestrømmen, der udgår fra en lukket overflade, er lig med summen af kilderne inde i denne overflade . Eller mere formelt: Strømningen af væskehastighedsvektoren gennem en lukket overflade er lig med summen af kilderne inde i denne overflade . (I bund og grund er dette en integreret version af kontinuitetsligningen for en inkompressibel væske, der udtrykker bevarelsen af væskens masse under hensyntagen til dens densitets konstantitet).

I denne formelle analogi erstattes feltstyrken med væskestrømningshastigheden, og ladningen erstattes af væskekilden (negativ ladning er erstattet af en "negativ kilde" - "dræn").

Gauss' sætning som definition af ladning

Gauss-sætningen [12] kan betragtes som en definition af (størrelses)ladningen.

Så for en punktladning er det indlysende, at strømmen af feltstyrken gennem enhver overflade er lig med strømmen gennem en lille (uendeligt lille) kugle, der omgiver denne ladning. Så kan sidstnævnte (op til måske en konstant faktor, afhængig af vores vilkårlige valg af enheder) vælges som definition af størrelsen af denne ladning.

Nær ladningen (uendeligt tæt på den) yder dens eget felt naturligvis et overvældende bidrag til strømmen gennem en uendelig lille kugle (fordi feltet øges uendeligt med aftagende afstand). Det betyder, at de resterende felter (genereret af andre afgifter) kan negligeres. Så kan det ses, at denne definition stemmer overens med den sædvanlige (gennem Coulombs lov).

I moderne fysik antager man normalt, at definitionen gennem Gauss-loven er mere fundamental (samt selve Gauss-loven sammenlignet med Coulomb-loven - se nedenfor).

Gauss' sætning og Coulombs lov

Gauss-sætningen og Coulombs lov er nært beslægtede, både formelt og fysisk. Der er et forenklet udsagn om, at Gauss-sætningen er en integreret formulering af Coulomb-loven, eller omvendt, at Coulomb-loven er en konsekvens af Gauss-sætningen (loven).

Faktisk kan Gauss' lov ikke udledes af Coulombs lov alene, da Coulombs lov kun giver feltet for en punktladning. For at bevise Gauss-sætningen behøver man ikke kun Coulomb-loven, men også superpositionsprincippet [13] .

Coulombs lov kan ikke kun udledes af Gauss-loven, da Gauss-loven ikke indeholder information om det elektriske felts symmetri [14] . For at bevise Coulombs lov har man ikke kun brug for Gauss-loven, men også en yderligere udtalelse (for eksempel om feltets sfæriske symmetri eller om ligheden af feltkrøllen til nul).

Hvilken af dem, der betragtes som et postulat, og hvilken konsekvens, afhænger af, hvilken aksiomatisering for elektrodynamik (eller elektrostatik, hvis vi begrænser os til det), vi vælger; formelt set er det ene eller det andet valg praktisk talt ligeværdigt [15] , og i tilfælde af elektrostatik er det fuldstændig rigtigt. Valget af det ene eller det andet som grundlag for at konstruere en teori er således et spørgsmål om vores vilkårlige valg.

Den Gaussiske aksiomatisering har dog den fordel, at den Gaussiske lov ikke indeholder nogen vilkårlige parametre (såsom afstandsgraden −2 i Coulomb-loven), afstandsgraden i Coulomb-loven opstår automatisk fra rummets dimension.

Der skal dog tages forbehold. Hvis det er naivt at antage, at Coulombs lov og Gauss' sætning er ækvivalente, så kan vi argumentere som følger: Coulombs lov følger af Gauss' sætning, Maxwells ligninger for tilfældet med elektrostatik følger af Coulombs lov, dvs. Maxwells anden ligning (ca. nul elektrisk feltkrølle) følger af Gauss-sætningen og er redundant. Faktisk, når vi udleder Coulomb-loven fra Gauss-sætningen (se nedenfor), bruger vi desuden den sfæriske symmetri af feltet af en punktladning, og vi skal også introducere superpositionsprincippet, mens Maxwells ligninger er selvforsynende.

Historisk set blev Coulombs lov først empirisk opdaget. I denne (historiske) forstand er Gauss' sætning en konsekvens af den. Det er i forbindelse med dette, at det kaldes en sætning, da det oprindeligt opstod som en sætning.

Det er vist direkte nedenfor, hvordan Coulombs lov og Gauss lov kan opnås inden for rammerne af elektrostatik [16] fra hinanden.

Coulombs lov som en konsekvens af Gauss' lov

Vi går ud fra Gauss-sætningen og skriver det i SI- enheder [17] , "Fluxen af spændingsvektoren gennem overfladen er proportional med ladningen indeholdt i denne overflade": $\Phi _{{E,S}}$ $E$ $S$

\Phi _{{E,S}}={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}.

For at udlede Coulombs lov vil vi betragte en enkelt punktladning inden for en lukket overflade S , så Q her vil være størrelsen af denne ladning.

Vi beregner den samme flux ved direkte integration over overfladen. Vi vil antage, at udsagnet om den sfæriske symmetri af feltet af en punktladning i forhold til ladningens position er sand (Erfaring viser, at det kun er sandt for en ladning i hvile). Ud fra dette konkluderer vi, at det elektriske felt vil blive rettet direkte fra ladningen, og dets værdi vil være den samme for alle punkter placeret i samme afstand fra ladningen. Det følger heraf, at den samlede flux lettest beregnes, hvis vi vælger en kugle centreret i ladningen som overfladen S. Faktisk vil feltstyrken E da være ortogonal på dS overalt , og den absolutte værdi af vektoren E (vi vil betegne den med E ) vil være den samme overalt på denne sfære, og den kan tages ud af integraltegnet. Så:

\Phi _{{E,S}}=\oint \limits _{S}{\mathbf E}\cdot {\mathbf {dS}}=\oint \limits _{S}EdS=E\oint \limits _ {S}dS=ES.

Vi har:

{\begin{cases}\Phi _{{E,S}}={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}\\\Phi _{{E,S}}=ES\end{cases }}

Herfra:

ES={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}.

Det er tilbage at erstatte kuglens areal her og løse ligningen for E . $S=4\pi r^{2}$

Så får vi:

E={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{r^{2}}},

det vil sige Coulombs lov.

Gauss' sætning som en konsekvens af Coulombs lov

Elementært bevis

Et elementært bevis er bygget på to trin: at bevise sætningen for tilfældet med én punktladning ved hjælp af geometriske overvejelser, og derefter anvende superpositionsprincippet, som et resultat af hvilket sætningen viser sig at være bevist for et vilkårligt antal punktladninger ( og dermed i det generelle tilfælde).

Vi går ud fra Coulombs lov:

{\mathbf E}({\mathbf r})={\frac {q}{r^{2}}}{\mathbf e}_{r}

hvor er enhedsvektoren i retning af radiusvektoren trukket fra ladningen (hvor vi placerede origo) til det punkt, hvor feltstyrken måles , r er modulet af vektoren r , det vil sige afstanden fra ladningen til dette punkt. (I dette afsnit vil vi kun bruge CGS -systemet , det vil sige, at Coulomb-konstanten er lig med en. For at skifte til SI -systemet skal du blot tilføje en faktor. Tilsvarende vil overgangen til ethvert andet system af enheder kun adskille sig i Coulomb-konstanten.) ${\mathbf e}_{r}$ $\mathbf {r}$ ${\mathbf E}({\mathbf r})$

For en enkelt punktladning inde i en overflade

Lad os betegne overfladen, gennem hvilken flowet E skal beregnes , med bogstavet S . Vi antager, at vores ladning q er inde i denne overflade.

Lad os omgive ladningen med en anden overflade - en kugle S 0 med et centrum i ladningen og en radius R 0 så lille, at den er helt inde i overfladen S . Lad os beregne flowet gennem S 0 :

\Phi _{{S_{0}}}=4\pi R_{0}^{2}E.

Vi vælger en lille (uendelig lille, lille ikke kun i størrelse, men også "kompakt", det vil sige, så den kan være dækket af en cirkulær kegle med også lille rumvinkel), solid vinkel med et toppunkt i oplade. $\omega$

Lad os bevise, at strømmen gennem arealet af overfladen S , skåret ud af denne rumvinkel , er lig med strømmen gennem området , skåret ud af den fra kuglen S 0 . For at gøre dette vil vi vise det $\Phi _{{S,\omega }}\$ $\omega$ $\Phi _{{S_{0},\omega }}$ $S_{{0,\omega }}$

1. - strømmen gennem det område, der er skåret ud af en rumvinkel fra overfladen S, er lig med strømmen gennem det område, der er udskåret med en rumvinkel fra et hvilket som helst plan vinkelret på strålerne, der ligger indeni , som ved en uendelig lille rumvinkel , er næsten parallelle, adskiller sig i retning uendeligt lidt, hvilket betyder, at arealet samtidigt vil være vinkelret (strengere taget, næsten vinkelret) på dem alle samtidigt.

\Phi _{{S,\omega }}\ =\Phi _{{S_({\perp ,\omega }}}}\

S_{\omega }

\omega

S{\perp ,\omega },

\omega

\omega

2. - indenfor rumvinklen er strømmen gennem området vinkelret på strålerne lig med strømmen gennem kuglens areal .

\Phi _{{S\perp ,\omega }}=\Phi _{{S_{0},\omega }}.

\omega

S_{0}

Det første bevises af den observation , at strømmen gennem et lille område dS kan repræsenteres som Og i forhold til vores sag betyder det ligestillingen og . $d\Phi ={\mathbf E}\cdot {\mathbf {dS))$ $d\Phi =E(dS)_{\perp }$ $(dS)_{\perp }$ $\Phi _{{S\perp ,\omega }}$ $\Phi _{{S,\omega }}$

Den anden kan ses ud fra overvejelser om lighed og Coulombs lov (der angiver r afstanden fra ladningen til skæringspunktet c S , ser vi, at forholdet mellem arealer og er lig med , mens , det vil sige den reciproke af tallet, som et resultat, hvoraf deres produkter er de samme, og disse er flows og , hvis lighed skulle bevises. $\omega$ $S{\perp ,\omega }$ $S_{{0,\omega }}$ $r^{2}/R_{0}^{2}$ $E(r)/E(R_{0})=R_{0}^{2}/r^{2}$ $\Phi _{{S\perp ,\omega }}$ $\Phi _{{S_{0},\omega }}$

Hvis det skærer S gentagne gange (hvilket er muligt, hvis sidstnævnte er tilstrækkeligt kompliceret), bliver alle disse argumenter kort sagt gentaget lige så mange gange, som der er skæringspunkter, og lighed i absolut værdi af strømmen gennem hvert sådant element af overfladen S er bevist . Og under hensyntagen til skiltene under tilføjelsen (de skifter naturligvis; i alt skulle antallet af kryds vise sig at være ulige), viser det endelige svar sig at være det samme som for et enkelt kryds. $\omega$

Og da ligheden af disse strømme er opfyldt for enhver lille , det vil sige for hvert tilsvarende element S og S 0 , mellem hvilke der etableres en en-til-en overensstemmelse, og på denne måde er det muligt at opdele hele sfæren S 0 uden rest ind i sådanne elementer, så er ligheden også sand for strømninger gennem komplette overflader (som blot er summer af strømme gennem de beskrevne elementer af overfladerne S og S 0 ). (Da overfladen S er lukket, har hvert element på kuglen et tilsvarende element på S - eller et ulige antal elementer, som beskrevet ovenfor, som kan kombineres, da strømmen gennem dem alle tages i betragtning). $\omega$

Så vi har bevist, at for en ladning q inde i en lukket overflade S , strømningen gennem den

\Phi _{S}=\Phi _{{S_{0}}}=4\pi R_{0}^{2}E.

For en enkelt punktladning uden for overfladen

Ganske lignende ræsonnement, udført for det tilfælde, hvor q er uden for området afgrænset af overfladen S , under hensyntagen til tegnet ved beregning af flowet gennem hvert sted, resulterer i en strømning på nul. (den lille rumvinkel vil nu krydse S et lige antal gange, fluxene vil være ens i absolut værdi, men modsat i fortegn) [18] .

Summeringen af elementære strømme udføres på samme måde som i stk. 1, såvel som deres beregning.

Så for en ladning uden for en lukket overflade er fluxen gennem den nul .

For et hvilket som helst antal afgifter

Det sidste trin er enkelt. Det består i at anvende superpositionsprincippet.

Hvis for hver punktladning skaber feltet skabt af det (når ingen andre ladninger er til stede) et flow gennem overfladen, der opfylder Gauss-sætningen (det vil sige for hver ladning inde i overfladen og 0 for hver uden for overfladen), derefter flowet fra det samlede felt ${\mathbf E}_{i}$ $\Phi _{i}=4\pi q_{i}$

\Phi =\int \limits _{S}(\mathbf {E} _{1}+\mathbf {E} _{2}+\mathbf {E} _{3}+\dots )\cdot \mathbf {dS} =\int \limits _{S}\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {dS} +\int \limits _{S}\mathbf {E} _{2}\cdot \mathbf {dS} +\int \limits _{S}\mathbf {E} _{3}\cdot \mathbf {dS} +\dots =\Phi _{1}+\Phi _{2}+\Phi _{3}+\prikker

er lig med summen af strømme skabt af hver ladning i fravær af de andre, er simpelthen lig med

\Sigma \Phi _{i}=4\pi \Sigma q_{i},

hvor summeringen kun er over ladningerne inde i overfladen (hver af dem udenfor bidrager med 0).

Sætningen er blevet bevist.

Bevis gennem Gauss-Ostrogradsky-formlen

Dette bevis er mere formelt.

1. Vi fortsætter igen fra Coulomb-loven (i dette afsnit vil vi bruge CGS -systemet , og for en sikkerheds skyld vil vi tale om sætningsfeltet E og ikke D ):

{\mathbf E}({\mathbf r})={\frac {q}{r^{2}}}{\frac {{\mathbf r}}{r}}.

2. Coulomb-feltet opfylder differentialformen af Gauss-loven:

\nabla \cdot {\mathbf E}=4\pi \rho .

Dette kan verificeres [19] ved direkte substitution [20] af formel (1) til (2).

3. Baseret på superpositionsprincippet mener vi, at feltet skabt af mange ladninger også opfylder denne differentialligning (bemærk i forbifarten, at denne ligning er lineær, og derfor er superpositionsprincippet anvendeligt).

4. Ved at bruge Gauss-Ostrogradsky formlen får vi straks:

4\pi Q=\int \limits _{V}4\pi \rho dV=\int \limits _{V}\nabla \cdot {\mathbf E}dV=\oint \limits _{{\partial V} }{\mathbf E}\cdot {\mathbf {dS}}=\Phi _{E}

Sætningen er blevet bevist.

Anvendelse af Gauss' sætning

At være, sammen med ligningen for nulcirkulation af det elektriske felt, den grundlæggende feltligning for elektrostatik , Gauss-sætningen, sammen med udtrykket af vektorens elektriske felt i form af dets skalære potentiale, fører til Poisson-ligningen - hoved- og eneste differentialligning af den klassiske teori for det elektrostatiske potentiale .

I elektrodynamik forbliver Gauss-sætningen (Gauss' lov) også (fuldstændig i samme form) en af hovedligningerne - en af de fire Maxwell-ligninger .

I nogle situationer kan Gauss' sætning bruges til direkte og let at beregne det elektrostatiske felt direkte. Dette er situationer, hvor problemets symmetri giver os mulighed for at pålægge den elektriske feltstyrke sådanne yderligere betingelser, at dette sammen med Gauss-sætningen er nok til en direkte elementær beregning (uden at bruge de to sædvanlige generelle metoder - løsning af en partiel differential ligning eller frontal integration af Coulomb-felter for elementære punktladninger).

Det er på denne måde, ved hjælp af Gauss-sætningen, at selve Coulomb-loven kan udledes ( se ovenfor ).

Specifikke eksempler på en sådan anvendelse af Gauss-sætningen diskuteres nedenfor.

De bruger følgende mængder og notation:

Bulk ladningstæthed

\rho ={\frac {dq}{dV}},

hvor er det (uendeligt lille) volumenelement, $dV$

Overfladeladningstæthed

\sigma ={\frac {dq}{dS}},

hvor er et (uendeligt lille) overfladeelement. $dS$

Lineær ladningstæthed

\lambda ={\frac {dq}{dl}},

hvor er længden af et infinitesimalt segment. (Den første bruges til ladninger, der kontinuerligt er fordelt over volumenet, den anden til dem, der er fordelt over overfladen, den tredje til dem, der er fordelt langs en endimensionel linje (kurve, ret linje). $dl$

Beregning af feltstyrken af en sfærisk symmetrisk ladningsfordeling

Måden at beregne ved hjælp af Gauss-sætningen for enhver sfærisk symmetrisk ladningsfordeling generelt er, hvad der er beskrevet ovenfor for tilfældet med en punktladning (se afsnittet om Coulombs lov ).

Vi bemærker her kun i forhold til ikke-punktkilder med sfærisk symmetri, at (alt dette er en konsekvens af anvendelsen af metoden beskrevet der):

En sfærisk symmetrisk ladning med et koncentrisk sfærisk hulrum (eller uladet område) i midten skaber ikke et felt inde i dette hulrum (feltstyrken der er nul).
Generelt er feltet i en afstand r fra midten kun skabt af de ladninger, der er dybere til midten. Dette felt kan beregnes i henhold til Coulomb-loven: , kun her skal Q forstås som den samlede ladning af et sfærisk område med radius r (hvilket betyder, at afhængigheden af r i sidste ende adskiller sig fra Coulomb-en, da Q vokser med stigende r , i det mindste indtil r ikke er større end radius af hele det ladede område - hvis bare det er endeligt igen). $E=KQ/r^{2}$
For r , større end radius af det ladede område (hvis det er endeligt), er den mest almindelige Coulombs lov opfyldt (som for en punktladning). Dette forklarer for eksempel, hvorfor den sædvanlige Coulomb-lov virker for ensartet ladede kugler, kugler, planeter med en struktur tæt på sfærisk symmetrisk selv nær deres overflade (for eksempel hvorfor nær Jordens overflade er gravitationsfeltet tæt nok på feltet af en punktmasse koncentreret i jordens centrum).
I et interessant specialtilfælde af en ensartet ladet kugle viser dens elektriske (eller gravitations-) felt sig at være proportional med afstanden til midten inde i bolden. [21]

Beregning af feltstyrken af et uendeligt plan

Overvej feltet skabt af et uendeligt ensartet ladet plan med den samme overfladeladningstæthed overalt . Forestil dig mentalt en cylinder med generatorer vinkelret på det ladede plan og baser ( hvert område) placeret symmetrisk i forhold til planet (se figur). $\sigma$ $\Delta S$

På grund af symmetri:

Alle feltstyrkevektorer (inklusive og ) er vinkelrette på det ladede plan: På grund af problemets rotationssymmetri skal feltstyrkevektoren faktisk transformere ind i sig selv for enhver rotation omkring aksen vinkelret på planet, og dette er muligt for en ikke-nul vektor kun hvis den er vinkelret på planet. Heraf følger (blandt andet), at fluxen af feltstyrken gennem cylinderens sideflade er lig med nul (da feltet er rettet overalt tangentielt til denne overflade). $E'$ $E''$
$E'=E''=E$ .

Strømmen af spændingsvektoren er lig (på grund af (1)) med strømningen kun gennem cylinderens baser, og den er simpelthen . $E'$ $E''$ $2E\Delta S$

Ved at anvende Gauss-sætningen, og under hensyntagen til , får vi (i SI -systemet ): $Q=\sigma \Delta S$

2E\Delta S={\frac {\sigma \Delta S}{\varepsilon _{0}}},

Af hvad

E={\frac {\sigma }{2\varepsilon _{0}}},

I CGSE -systemet er alle argumenter fuldstændig analoge (op til konstante koefficienter), og svaret skrives som $E=2\pi \sigma .$

Beregning af feltstyrken af en uendelig filament

Lad os overveje feltet skabt af en uendelig retlinet filament med en lineær ladningstæthed lig med . Lad det være nødvendigt at bestemme intensiteten skabt af dette felt i en afstand fra tråden. Lad os tage som en gaussisk overflade en cylinder med en akse, der falder sammen med gevindet, radius og højde . Så er spændingsstrømmen gennem denne overflade, ifølge Gauss-sætningen, som følger (i SI- enheder ): $\lambda$ $R$ $R$ $\Delta l$

\Phi _{{\mathbf {E}}}={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}={\frac {\lambda \Delta l}{\varepsilon _{0}}}.

På grund af symmetrien

feltstyrkevektoren er rettet vinkelret på filamentet, direkte væk fra det (eller direkte mod det).
modulet af denne vektor er det samme på ethvert punkt på cylinderens overflade.

Derefter kan intensitetsfluxen gennem denne overflade beregnes som følger:

\Phi _{{\mathbf {E}}}=\sum _{i}\Delta S_{i}E_{i}=E\sum _{i}\Delta S_{i}=ES=E2\pi R \Delta l.

Kun arealet af cylinderens laterale overflade tages i betragtning, da strømmen gennem cylinderens baser er nul (på grund af retningen af E tangentielt til dem). Ved at sidestille de to opnåede udtryk for , har vi: $\Phi _{{{\mathbf E}}}$

{\frac {\lambda \Delta l}{\varepsilon _{0))}=E2\pi R\Delta l,

E={\frac {\lambda }{2\pi \varepsilon _{0}R}}.

(I GHS -systemet er svaret: ). $E=2\lambda/R$

Andre opgaver

Den beskrevne metode er også anvendelig til at løse nogle andre problemer.

Først og fremmest, ligesom for den sfæriske symmetri af problemet er det muligt at beregne ikke kun feltet af en punktladning, men også andre kilder til en sådan symmetri, så gælder det også for kilder til cylindrisk symmetri (man kan nemt beregne feltet ikke kun af en uendelig tråd, men også af en uendelig cylinder - både udenfor og indeni den, rør osv.), såvel som for kilder til todimensionel translationel symmetri (det er muligt at beregne ikke kun feltet af et tyndt plan, men også for eksempel feltet af et tykt fladt lag).

Yderligere kan lignende problemer løses ikke kun for en rumdimension lig med tre, men også for en større eller mindre (i princippet enhver) rumdimension. Dette kan være vigtigt i teoretisk henseende. For eksempel er det åbenlyse resultat af en sådan tilgang påstanden om, at i Coulombs lov i n -dimensionelt ikke-buet rum kommer r ind i potenser af -(n-1), og lokalt (for lille r ) gælder dette også for buede rum.

Desuden gør Gauss-sætningen det muligt i nogle tilfælde nemt at beregne det elektrostatiske (eller lignende) felt ikke kun i fladt rum, men også i rum med krumning. Et eksempel er problemet med at finde en analog til Coulombs lov for et todimensionelt rum, som er overfladen af en kugle (løsningen er let at finde og adskiller sig naturligvis fra den sædvanlige Coulombs lov) [22] .

Konsekvenser af Gauss' sætning

En konsekvens af Gauss' sætning er Earnshaw 's sætning .
En anden konsekvens af Gauss-sætningen er det faktum, at i det statiske tilfælde er tætheden af overskydende (det vil sige ukompenserede) ladninger inde i lederen nul. Overskydende ladninger kan kun forekomme på overfladen af lederen i et tyndt lag (faktisk er dens tykkelse ca. en eller to interatomare afstande) [23] . Strengt taget gælder dette i fravær af andre (ikke-elektrostatiske) kræfter, der virker på ladningerne. Hvis disse kræfter (normalt kaldes de ydre kræfter) tages i betragtning, kan der selv inde i lederne være et elektrisk felt. For eksempel i et gravitationsfelt vil tungere ioner i en opløsning have en højere koncentration i bunden af opløsningen, mens lettere vil have tendens til at stige (på grund af Archimedes-kraften ). Det resulterende ekstremt lille elektriske felt vil forhindre en sådan gravitationsadskillelse af ladninger. Denne effekt kan være signifikant for kolloide systemer , hvor der er en lille ladning på én massiv partikel sammenlignet med opløsningen, og andre partikler med samme ladningstegn som kolloide partikler er fraværende. Også denne konsekvens er fuldstændig falsk for mikrokosmos, hvor kvantemekaniske kræfter virker på elektroner. For eksempel er det i halvledersolfotoceller det elektriske felt, der adskiller elektronerne og "hullerne", der optræder parvis under absorptionen af lys ( fotodissociation ). Peltier-effekten , som virkningen af termoelementer er baseret på, er et levende eksempel på tilstedeværelsen af et elektrostatisk felt inde i en leder (i kontaktzonen af to forskellige metaller) .

Se også

Ostrogradsky formel

Noter

↑ Og det giver dig mulighed for at gøre dette ikke kun for tredimensionelt rum, men også for enhver dimension af rummet, der kan stødes på i teorien.
↑ Selvom der i praksis, især i daglig tale, skelnes i brugen af disse udtryk ofte ikke.
↑ Fedosin, SG Om den kovariante repræsentation af integralligninger af det elektromagnetiske felt // Progress In Electromagnetics Research C : tidsskrift. - 2019. - Bd. 96 . - S. 109-122 . - doi : 10.2528/PIERC19062902 . - . - arXiv : 1911.11138 . // Om den kovariante repræsentation af integralligningerne for det elektromagnetiske felt Arkiveret 22. maj 2021 på Wayback Machine .
↑ Her giver vi for kortheds skyld kun igen i GHS .
↑ Dens tilstedeværelse forklares kvalitativt af det faktum, at når det dielektriske medium er polariseret, er dipolerne, der udgør det, orienteret således, at nogle af dem skærer overfladen, og inde i den er enderne af dipolerne af det samme tegn, som skaber en yderligere "bundet" ladning Qb inde i den .
↑ Hvis der eksisterede magnetiske monopoler (eller hvis de faktisk eksisterer og vil blive opdaget), ville de angivne ligninger være (eller burde være): $\Phi _{{\mathbf {B}}}\equiv \oint \limits _{S}{\mathbf {B}}\cdot {\mathrm {d}}{\mathbf {S}}=Q_{m} ,$ $\nabla \cdot {\mathbf {B}}=\rho _{m},$ hvor er den magnetiske ladning (ladningen af magnetiske monopoler) og den magnetiske ladningstæthed. Blandt andet er der intet, der forbyder at overveje magnetiske ladninger rent formelt, i ånden i Amperes magnetiske arksætning , når det er praktisk til at løse et eller andet problem; i dette tilfælde opfylder fluxen skabt af de formelt indførte magnetiske ladninger også de her angivne ligninger. I dette tilfælde vil Maxwells ligning om loven om elektromagnetisk induktion også ændre sig. (Formen af ligninger i et fuldstændigt rationaliseret enhedssystem er givet; afhængigt af valget af et bestemt enhedssystem kan en konstant faktor vises på højre side, for eksempel i det sædvanlige gaussiske enhedssystem, den sædvanlige faktor for det vil dukke op der ). $Q_{m},\rho _{m}$ $4\pi$
↑ Minustegnet vises på grund af det faktum, at det er tegnet i loven om universel gravitation , en analog til Coulombs lov i Newtons tyngdekraftsteori.
↑ En sådan fortolkning går historisk tilbage, tilsyneladende, til Faraday.
↑ Eller proportional med den med en konstant koefficient (som er den samme, da den kun afhænger af modellens betingede specifikation).
↑ Eller proportionalt, afhængigt af de anvendte måleenheder og den betingede konvention for modelimplementeringen.
↑ Historisk set var denne analogi af væsentlig betydning for Maxwell og blev intensivt anvendt i løbet af den efterfølgende udvikling af elektrodynamik.
↑ For de teorier og felter, når det er opfyldt, det vil sige for eksempel for elektrodynamik.
↑ "... en kraftfuld "integral" sætning - en konsekvens af Coulombs lov og superpositionsprincippet - Gauss sætning." A.V. Zoteev, A.A. Sklyankin. Forelæsninger om kurset i almen fysik. Mekanik. elektricitet og magnetisme. Tutorial. - Forlag ved Moscow State University. M.V. Lomonosov, afdeling af Moscow State University i Baku, 2014. - 242 s. Citat på s.99
↑ "Med andre ord, Gauss' lov alene er ikke en tilstrækkelig betingelse for symmetrien af punktkildefeltet impliceret i Coulombs lov" Purcell E. Berkeley Course in Physics (i 5 bind). T.2: Elektricitet og magnetisme. Om. fra engelsk. T.2. 1971. 448 s. Bemærk på s.42
↑ Aksiomatiseringen af elektrodynamikken, hvor Coulombs lov er primær, gør det muligt at opnå en konklusion om gyldigheden af Maxwells ligninger - inklusive Gauss' sætning - for ensartede ladningers bevægelser, men kræver et yderligere postulat om udvidelsen af disse ligninger til tilfælde af accelererede bevægelser, mens den omvendte overgang fra Maxwells ligninger til Coulombs lov ikke kræver yderligere antagelser. I denne forstand er disse to typer af aksiomatiseringer ikke helt symmetriske (og Coulombs lov optræder i forbindelse med flere yderligere postulater), hvilket dog ikke gør disse aksiomatiseringer ikke-ækvivalente.
↑ Her må vi begrænse os til elektrostatikkens rammer af den grund, at Coulombs lov som sådan kun finder sted inden for dens rammer.
↑ Dette ser ud til at være metodisk mere passende for dette afsnit for dette afsnit end f.eks. at bruge en ikke-rationaliseret GHS .
↑ Som et resultat er kuglen S 0 ikke engang nødvendig i dette tilfælde.
↑ Du kan gætte på, at ligningen skulle være nøjagtig sådan, for eksempel ud fra analogien med en væskes strømning. Sandt nok beviser en sådan analogi straks hele sætningen, men dette bevis mister de matematiske detaljer, som vi gerne vil spore, så vi begrænser os til kun at bruge denne analogi som et heuristisk hint (hvis vi overhovedet er interesserede i dette spørgsmål; ellers , en simpel beregningskontrol om, hvad der står i hovedteksten).
↑ For eksempel ved at skrive udtrykket (1) for Coulombs lov eksplicit i kartesiske koordinater, hvorefter det kun er tilbage at tage de afledte med hensyn til x , y og z og lægge dem sammen.
↑ Dette felt kan måles hvis det ønskes, hvis der er en tynd brønd i bolden eller hvis bolden er flydende, så er den let at trænge ind i den. Således virker en kraft på kroppen inde i en sådan bold som i en harmonisk oscillator , og hvis bolden er flydende, det vil sige, at den ikke forstyrrer testlegemets frie bevægelse i nogen retning, så har vi en tre- dimensionel harmonisk oscillator.
↑ Det kan se ud til, at den sidste opgave er rent abstrakt, men faktisk er den let implementeret i praksis: det er nok at tage et tyndt sfærisk lag af en ledende væske - for eksempel mellem isolerende sfæriske vægge - eller bare en sæbeboble; det elektriske felt i et sådant lag vil svare til den beskrevne situation. Det er også muligt at betragte et magnetfelt i et tyndt sfærisk tomt lag indesluttet mellem koncentriske superledende vægge; et sådant system implementerer det beskrevne problem selv for et magnetfelt.
↑ I. E. Herodov. Elektromagnetisme: grundlæggende love. - 7. udg. - M . : Binom. Videnlaboratoriet., 2009. - S. 46-47.

Litteratur

Matveev A. N. Elektricitet og Magnetisme: Lærebog. - M .: Højere skole, 1983. - 463 s., ill. og senere udgaver.
Sivukhin DV Almen kursus i fysik. — M. . - T. III. Elektricitet. - §§ 5 - 8, 13, 53.

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk Britannica (online)