Alexanders præbasesætning

Alexander Subbase Theorem [1] er en sætning om generel topologi , der etablerer et kriterium for kompaktheden af et topologisk rum.

Et rum kaldes kompakt, hvis det tillader en endelig underdækning fra hver af dens dækninger af åbne sæt. Alexanders teorem indsnævrer betydeligt klassen af belægninger, der kun skal overvejes for at etablere kompakthed.

Formuleringen af sætningen bruger begrebet en præbase af en topologi - en familie af åbne delmængder, hvis endelige skæringspunkter danner basis for en topologi .

Sætning (J. Alexander, 1939 [2] ). Et topologisk rum er kompakt, hvis og kun hvis udvælgelsen af et endeligt underdæksel tillader hvert dæksel, der er sammensat af elementer af en eller anden undergrund af dets topologi.

Bevis. Behovet for dette kompaktitetskriterium er indlysende, da alle elementer i præbasen er åbne sæt. Tilstrækkelighed bevises ved modsigelse. Lad rummet X være ikke-kompakt, selvom ethvert dæksel, der er sammensat af elementer fra dets topologis præbase, tillader et endeligt underdæksel. Lad være basis for topologien af rummet X dannet af denne præbase. Hvert af dets elementer er et endeligt skæringspunkt mellem elementerne i præbasen. ${\mathfrak {P}}$ ${\mathfrak {B}}$

Mættet af alle mulige dækninger af rummet X (det vil sige sammensat af basiselementer ), der ikke tillader et endeligt underdæksel, er induktivt ordnet og ikke-tomt, derfor gælder Zorns lemma for det . Der eksisterer derfor en maksimal (ikke-udvidelig) sådan dækning. Elementerne af præbasen , der er indeholdt i den, danner ikke en dækning af rummet X, derfor er et punkt dækket af elementet i basen , men dækslet indeholder ikke nogen af elementerne i præbasen . ${\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {P}}$ $P_{1}\cap P_{2}\cap \ldots \cap P_{n}$ $P_{1},P_{2},\ldots ,P_{n}$

Endvidere anvendes den maksimale dækning, der er tale om. Efter at have tilføjet sættet til det , kan vi udtrække det endelige undercover. Ved at kombinere alle disse undercovers, slippe sæt fra dem og tilføje sættet , opnår vi en endelig dækning af rummet X, som er en undercover af det originale dæksel. En selvmodsigelse (det originale omslag tillod ikke endelige underomslag) beviser teoremet. $P_{i}$ $P_{1},P_{2},\ldots ,P_{n}$ $P_{1}\cap P_{2}\cap \ldots \cap P_{n}$

Et let bevis for Alexanders sætning kan opnås ved at bruge følgende kompaktitetskriterium: et topologisk rum er kompakt, hvis og kun hvis hvert ultrafilter i sættet har mindst én grænse $x$ $x$ [3] .

Alexanders sætning er gitter-teoretisk (fordi den er formuleret ud fra egenskaberne af en familie af åbne delmængder af et topologisk rum, der er et komplet distributivt gitter) og tillader forskellige generaliseringer til særlige klasser af delvist ordnede mængder [4] [5] [6] .

Noter

↑ Ofte også kaldet Alexanders (før-base) lemma .
↑ Alexander JW bestilte sæt, komplekser og problemet med komprimeringer. — Proc. Nat. Acad. sci. USA 25 (1939), s. 296-298. ( original artikel ).
↑ Diagram over et sådant bevis. Lade være en undergrund af rummet, således at enhver dækning af rummet ved dets elementer indeholder en endelig underdækning. Lad være et ultrafilter på , som ikke har nogen grænser. Så har hvert punkt et kvarter, der tilhører familien og ikke hører til . Derfor er der en dækning af rummet af elementer fra familien , hvoraf ingen hører til ultrafilteret . Fra dette cover kan man vælge et endeligt subcover . Så , men intet element i den endelige familie tilhører filteret , hvilket modsiger dets maksimalitet. ${\mathfrak {P}}$ $x$ $x$ ${\mathcal {F}}$ $x$ $x\i X$ ${\mathfrak {P}}$ ${\mathcal {F}}$ $x$ ${\mathfrak {P}}$ ${\mathcal {F}}$ ${\mathfrak {A}}$ $X=\bigcup {\mathfrak {A}}\in {\mathcal {F}}$ ${\mathfrak {A}}$ ${\mathcal {F}}$
↑ Abian A. En partiel ordensgeneralisering af Alexanders subbase-sætning Arkiveret 19. januar 2022 på Wayback Machine . — Rand. Circ. Måtte. Palermo 38 (1989), s. 271-276.
↑ Erné M. Semidistributivity, prime ideals and the subbase lemma Arkiveret 19. januar 2022 på Wayback Machine . — Rand. Circ. Måtte. Palermo 41 (1991) nr. 2, s. 241-250.
↑ Roy og Mukherjee introducerede en speciel type kompakthed defineret i form af Choquet-gitter (grill) og beviste analoger til Alexanders præbase og Tikhonovs kompakthedsteoremer for den: se B. Roy, MN Mukherjee. På en type kompakthed via grill Arkiveret 19. februar 2014 på Wayback Machine . — Matem. Vesn. 59 (2007), nr. 3, s. 113-120.

Litteratur

Engelking, R. Generel topologi / Pr. fra engelsk. - M . : Mir, 1986. - Opgave 3.12.2 (s. 331)