Riemann sfære

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 19. februar 2022; verifikation kræver 1 redigering .

Riemann-sfæren er en visuel repræsentation af et sæt i form af en kugle, ligesom mængden af reelle tal er afbildet i form af en ret linje, og hvordan mængden af komplekse tal er afbildet i form af en plan . Af denne grund bruges udtrykket "Riemann-sfære" ofte som et synonym for udtrykket " sæt af komplekse tal suppleret med et punkt i det uendelige ", sammen med udtrykket " udvidet komplekst plan ". [en] ${\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$

I en mere formel tilgang forstås Riemann-sfæren som en kugle i rummet givet af ligningen , med en stereografisk projektion ind i planet , identificeret med det komplekse plan. Det er denne formelt definerede konstruktion, der vil blive diskuteret nedenfor. [en] $\mathbb {R} ^{3}$ $x^{2}+y^{2}+z^{2}=z$ $Oxy$

Beskrivelse

Overvej et tredimensionelt euklidisk rum . Koordinaterne for punkter i det tredimensionelle rum vil blive betegnet med . I overveje en kugle, der tangerer planet i et punkt med diameter . En sådan kugle er givet af ligningen $\mathbb {R} ^{3}$ ${\displaystyle (\xi ,\eta ,\zeta )\in \mathbb {R} ^{3))$ $\mathbb {R} ^{3}$ $S$ $O\xi \eta$ $(0;0;0)$ $en$

S\colon \xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=\zeta

Hvert punkt i planet kan associeres med et punkt på kuglen som følger. Lad os tegne gennem et punkt og en linje; denne linje vil skære kuglen ved endnu et punkt, som vi vil betragte som svarende til punktet . En sådan korrespondance kaldes en stereografisk projektion centreret ved . Til hvert punkt i planet forbinder det unikt et punkt i kuglen. Men ikke hvert punkt på kuglen svarer til et punkt på planet: intet punkt på planet svarer til et punkt. Således har vi en en-til-en-korrespondance mellem flyet og . $(\xi ;\eta ;0)\in O\xi \eta$ $M\in S$ $N=(0;0;1)$ $(\xi ;\eta ;0)$ $(\xi ;\eta ;0)$ $N$ $N$ $O\xi \eta$ ${\displaystyle S\setminus \{N\))$

Flyet kan identificeres med det komplekse plan , . Derefter definerer korrespondancen defineret ovenfor en kontinuerlig en-til-en-mapping . For at fuldføre denne kortlægning til en bijektion til hele kuglen, supplerer vi sættet med endnu et punkt, som vi vil betragte det omvendte billede af punktet . Vi vil kalde dette punkt for punktet ved uendelighed og betegne det med . Vi har en bijektion . Mængden kaldes det udvidede sæt af komplekse tal , kuglen kaldes Riemann-sfæren . [en] $O\xi \eta$ $\mathbb {C}$ $x+iy=(\xi ,\eta ,0)$ ${\displaystyle \tau \colon \mathbb {C} \rightarrow S\setminus \{N\))$ $\mathbb {C}$ $N$ $\infty$ $\pi \colon \mathbb {C} \cup \{\infty \}\rightarrow S$ ${\mathbb C}\kop \{\infty \}$ $S$

Den beskrevne konstruktion bruges ofte i mange lærebøger til visuelt at definere det udvidede sæt af komplekse tal. Faktisk kan topologien på dette sæt defineres ved at indstille de åbne sæt som forbilleder af åbne sæt med hensyn til , og operationer til det uendelige udvides med kontinuitet. Definitionen, der bruger Riemann-sfæren, beskriver fuldt ud essensen af udvidelsen af sættet af komplekse tal, og den repræsenterer desuden dens visuelle fortolkning. $\pi$

Formel definition

Kugle givet i rummet af ligningen $S$ $R^{3}$

S\colon \xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=\zeta

sammen med kortlægningen givet som ${\displaystyle \pi \colon S\rightarrow \mathbb {C} \cup \{\infty \))$

\pi (\xi ,\eta ,\zeta )={\frac {\xi +i\eta }{1-\zeta }}

kaldet Riemann-sfæren .

Kortlægningen i definitionen kan vendes, betydningen af dette vil ikke ændre sig.

Koordinater

Numeriske koordinater på det udvidede sæt af komplekse tal introduceres på tre måder:

affin kompleks koordinat , der er i stand til at påtage sig værdien ; $z$ $\infty$
projektive homogene komplekse koordinater ; $[z_{0}:z_{1}]$
tredimensionelle reelle koordinater relateret af ligningen: $\xi ,\eta ,\zeta$

\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=\zeta

Overgangen fra en koordinat til en anden er givet ved formlerne:

z={\frac {z_{1}}{z_{0}}}

z_{0}:z_{1}=\venstre[{\begin{matrix}\zeta :(\xi +i\eta )&\Leftarrow \zeta >0\\0:1&\Leftarrow \zeta =0\end {matrix}}\right.

\left\{{\begin{matrix}\xi +i\eta ={\dfrac {z}{1+|z|^{2}}}\\\zeta ={\dfrac {|z| ^{2}}{1+|z|^{2}}}\end{matrix}}\right.

z={\frac {\xi +i\eta }{1-\zeta ))

[en]

Sfærisk metrisk

Riemann-sfæren giver os mulighed for at introducere en anden metrik på sættet, forskellig fra den euklidiske. Denne metrik kaldes den sfæriske metrik . Det er defineret som den euklidiske metrik mellem tilsvarende punkter på Riemann-sfæren. Altså for to numre $\mathbb {C}$ $z_{1},z_{2}\in \mathbb {C}$

\rho (z_{1},z_{2})={\sqrt {(\xi _{1}-\xi _{2})^{2}+(\eta _{1}-\ eta _{2})^{2}+(\zeta ^{2}-\zeta ^{2})}}

Det er ikke svært at få et direkte udtryk for sådan en afstand.

\rho (z_{1},z_{2})={\frac {|z_{2}-z_{1}|}{{\sqrt {1+|z_{1}|^{2} }}{\sqrt {1+|z_{2}|^{2}}}}}

Euklidiske og sfæriske metrikker er ækvivalente på . Det særlige ved den sfæriske metrik er, at den kan udvides til et udvidet sæt komplekse tal i modsætning til det euklidiske. En sådan fortsættelse er defineret på nøjagtig samme måde. For to elementer $\mathbb {C}$ ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} \cup \{\infty \))$

\rho (z_{1},z_{2})={\sqrt {(\xi _{1}-\xi _{2})^{2}+(\eta _{1}-\ eta _{2})^{2}+(\zeta ^{2}-\zeta ^{2})}}

Det direkte udtryk for en sådan afstand, når et af punkterne er uendelig, er skrevet anderledes.

\rho (z,\infty )={\frac {1}{\sqrt {1+|z|^{2))))

[en]

Automorfismer

Automorfier af et domæne kaldes holomorfe bijektive afbildninger af dette domæne i sig selv. I tilfælde af automorfier af hele det udvidede sæt af komplekse tal, bruges udtrykket "automorfier af Riemann-sfæren" normalt - et eksempel på, hvordan udtrykket "Riemann-sfære" bruges som et synonym for udtrykket "udvidet sæt af komplekse tal". Automorfier af Riemann-sfæren er fraktionelle lineære transformationer (eller Möbius-transformationer ). Lade $U\subset \mathbb {C} \cup \infty$

\left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right|\neq 0

Den fraktionelle lineære transformation er defineret som $f\colon \mathbb {C} \cup \infty \rightarrow \mathbb {C} \cup \infty$

f(z)={\frac {az+c}{bz+d))

udvidet til kontinuitet på alle punkter, hvor dette udtryk ikke er direkte defineret.

Lineære fraktionerede kortlægninger på Riemann-sfæren omdanner cirkler til cirkler. [2]

Ansøgninger

Bortset fra matematik er Riemann-sfæren berømt i teoretisk fysik .

I den særlige relativitetsteori er Riemann-sfæren en model af himmelsfæren . Möbius-transformationerne er relateret til Lorentz-transformationerne og beskriver forvrængning af himmelsfæren for en observatør, der bevæger sig med nærlyshastighed.

Möbius- og Lorentz-transformationerne er også relateret til spinorer . I kvantemekanikken parametriserer Riemann-sfæren systemtilstandene beskrevet af et 2-dimensionelt rum (se q-bit ), især spindet af massive partikler med spin 1/2, såsom elektronen . I denne sammenhæng kaldes Riemann-kuglen Bloch-kuglen og bredde-længde-koordinaterne bruges på den næsten som på en almindelig kugle, kun breddegraden tælles fra polen og vinklen divideres med 2, inklusive (se fig. ) $\theta$ $0<\theta <\pi /2$

I dette tilfælde er følgende forhold sande:

z_{0}:z_{1}=\cos \theta :e^{i\varphi }\sin \theta

\venstre\{{\begin{matrix}\xi +i\eta =e^{i\varphi }\sin {2\theta }\\\zeta -1=\cos {2\theta}\end{matrix} }\ret.

I polarisationsoptikken kaldes Riemann-sfæren Poincaré-sfæren , og koordinatakserne kaldes Stokes-parametrene .

Det indre af kuglen

Det indre af kuglen ( kuglen ) giver mulighed for semantisk fortolkning i begge ovenstående applikationer. Da himmelkuglen er et sæt lyslignende retninger af rum-tid, svarer dens indre til tidslignende retninger, det vil sige i virkeligheden relativistiske underlyshastigheder . Dette rum er hyperbolsk (har en konstant negativ krumning som Lobachevsky-planet , kun med dimension 3, ikke 2); det er naturligvis underlagt Möbius -transformationerne.

Bloch-kuglens indre svarer til q-bittens såkaldte blandede tilstande og er geometrisk arrangeret som en almindelig kugle.

Begge er dog beskrevet af positiv-definite 2×2 hermitiske matricer , betragtet op til multiplikation med et positivt tal.

Litteratur

Shabat BV Introduktion til kompleks analyse. — M .: Nauka , 1969 . — 577 s.