Bloch sfære

Bloch-sfæren er en måde at repræsentere de rene tilstande af en qubit som punkter på en kugle .

Beskrivelse

Bølgefunktionen, der beskriver den rene tilstand af en qubit, kan repræsenteres som en superposition af dens to grundlæggende tilstande og [1] : $|\mathbf {\psi } \rangle$ $|\mathbf {0} \rangle ={\bigl [}{\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}{\bigr ]}$ $|\mathbf {1} \rangle ={\bigl [}{\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}}{\bigr ]}$

|\mathbf {\psi } \rangle =c_{0}|\mathbf {0} \rangle +c_{1}|\mathbf {1} \rangle ,\qquad c_{0},c_{1} \i \mathbb {C} ,\quad |c_{0}|^{2}+|c_{1}|^{2}=1

Denne repræsentation består af 4 reelle parametre. På grund af begrænsninger kan antallet af parametre dog reduceres.

Da koefficienterne og er komplekse tal , kan de repræsenteres i det polære koordinatsystem : $c_{0}$ $c_{{1}}$

c_{0}=r_{0}e^{i\phi _{0}}\qquad c_{1}=r_{1}e^{i\phi _{1}}

hvor og er de absolutte værdier af , og og er vinklerne. ${\displaystyle r_{0))$ $r_{1}$ $\phi _{0}$ $\phi _{{1}}$

Når vi erstatter den polære repræsentation af koefficienterne i det oprindelige udtryk for , får vi: $|\mathbf {\psi } \rangle$

|\mathbf {\psi } \rangle =r_{0}e^{i\phi _{0))|\mathbf {0} \rangle +r_{1}e^{i\phi _{1 }}|\mathbf {1} \rangle

Bølgefunktioner, der adskiller sig fra hinanden ved at gange med et komplekst tal , kan ikke skelnes. Derfor, hvis vi accepterer , kan tilstanden af den betragtede qubit repræsenteres som ${\displaystyle e^{i\xi ))$ $\xi =-\phi _{0}$

|\mathbf {\psi } \rangle =e^{-i\phi _{0))|\mathbf {\psi } \rangle =e^{-i\phi _{0))\left( r_{0}e^{i\phi _{0}}|\mathbf {0} \rangle +r_{1}e^{i\phi _{1}}|\mathbf {1} \rangle \right) =r_{0}|\mathbf {0} \rangle +r_{1}e^{i(\phi _{1}-\phi _{0})}|\mathbf {1} \rangle

Således kan antallet af uafhængige reelle parametre, der kræves for at beskrive et system med en qubit, reduceres til tre: de absolutte værdier og , såvel som vinkelforskellen . ${\displaystyle r_{0))$ $r_{1}$ $\phi =\phi _{1}-\phi _{0};\;\phi \i [0,2\pi )$

Af den ovenfor nævnte begrænsning følger det, at . Således kan de absolutte værdier også repræsenteres som $|c_{0}|^{2}+|c_{1}|^{2}=1$ $r_{0}^{2}+r_{1}^{2}=1$

r_{0}=\cos {\tfrac {\theta }{2}}\qquad r_{1}=\sin {\tfrac {\theta }{2}}

hvor er en eller anden vinkel. $\theta \i [0,\pi ]$

Således kan starttilstanden af et kvantesystem bestående af en enkelt qubit beskrives ækvivalent ved brug af kun to reelle parametre, vinkler og : $\phi$ $\theta$

|\mathbf {\psi } \rangle =\cos {\tfrac {\theta }{2))|\mathbf {0} \rangle +e^{i\phi}\sin {\tfrac {\theta }{2}}|\mathbf {1} \rangle

Da vinklerne og er uafhængige, kan de betragtes som henholdsvis længde- og breddegrad på en bestemt sfære kaldet Bloch-sfæren (se illustration). $\phi$ $\theta$

Kvantemekanikkens matematiske apparat bruger Hilbert , mere præcist, komplekse projektive Hilbert-rum til at beskrive fysiske systemer. Rummet af rene tilstande i et kvantesystem er givet af Hilbertrummets rette linjer (eller af punkterne i det projektive Hilbertrum). I tilfælde af et todimensionelt Hilbert-rum er dette simpelthen den komplekse projektive linje , som kan identificeres med en kugle . $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}=\mathbb {S} ^{3}/\mathbb {S} ^{1))$

Bloch-sfæren er en enkelt todimensionel kugle, hvor hvert par af diametralt modsatte punkter svarer til indbyrdes ortogonale tilstandsvektorer. Normalt antages det, at Bloch-sfærens nord- og sydpol svarer til basisvektorerne og , som igen kan svare til f.eks. to elektronspintilstande (" spin op" og "spin ned"). Dette valg af point er dog vilkårligt. Punkter på kuglens overflade svarer til rene tilstande i kvantesystemet, mens punkter inde i kuglen repræsenterer blandede tilstande. $|0\rangle$ $|1\rangle$

Se også

Litteratur

Nielsen M., Chang I. Kvanteberegning og kvanteinformation: Pr. fra engelsk - M .: Mir, 2006. 824 s. ISBN 5-03-003524-9

Noter

↑ Anastasios Kyrillidis. Introduktion til kvanteberegning: Bloch-sfære. (engelsk) . http://akyrillidis.github.io _ http://akyrillidis.github.io+ (14. januar 2018). Hentet 28. februar 2019. Arkiveret fra originalen 28. februar 2019.