Stabiliseret bikonjugat gradientmetode

Biconjugate gradient stabilized method (BiCGStab ) er en iterativ metode til at løse Krylov-type SLAE'er . Udviklet af Van der Worst (engelsk) til at løse systemer med ikke -symmetriske matricer . Konvergerer hurtigere end den konventionelle bikonjugat-gradientmetode , som er ustabil [1] og derfor mere almindeligt anvendt [2] .

Notation

For komplekse SLAE'er bruger metoden to typer skalarprodukter , i tilfælde af rigtige matricer og højre side falder de sammen.

$(u, v) = \sum_{i=1}^n \overline{u}_i v_i$
$[u, v] = \sum_{i=1}^n u_i v_i$

Metodealgoritme

For at løse SLAE af formen , hvor er en kompleks matrix, kan følgende algoritme [1] [3] bruges ved den stabiliserede metode med bikonjugerede gradienter : $økse = b$ $EN$

Forberedelse før den iterative proces

Vi vælger en indledende tilnærmelse $x^0$
$r^0 = b - Ax^0$
$\tilde{r} = r^0$
$\rho^0 = \alpha^0 = \omega^0 = 1$
$v^0 = p^0 = 0$

k

-th metode iteration

$\rho^k = (\tilde{r}, r^{k-1})$
$\beta^k = \frac{\rho^{k}}{\rho^{k-1}} \frac{\alpha^{k-1}}{\omega^{k-1}}$
$p^{k}=r^{k-1}+\beta ^{k}(p^{k-1}-\omega ^{k-1}v^{k-1})$
$v^k = Ap^k$
$\alpha^k = \frac{\rho^k}{(\tilde{r}, v^k)}$
${\displaystyle s^{k}=r^{k-1}-\alpha ^{k}v^{k))$
$t^k = A s^k$
$\omega^k = \frac{[t^k, s^k]} {[t^k, t^k]}$
$x^k = x^{k-1} + \omega^ks^k + \alpha^kp^k$
$r^k = s^k - \omega^kt^k$

Kriterium for at stoppe den iterative proces

Ud over de traditionelle stopkriterier, såsom antallet af iterationer ( ) og det angivne residual ( ), kan metoden også stoppes, når værdien er blevet mindre end et forudbestemt tal . $k \le k_{max}$ $\||r^k|| /||b|| < \varepsilon$ $|\omega^k|$ $\varepsilon_{\omega}$

Se også

Konjugeret gradientmetode

Noter

↑ 1 2 Henk A. van der Vorst. Iterative Krylov-metoder for stort lineært system. - Cambridge University Press, 2003. - 221 s. — ISBN 9780521818285 .
↑ T. Huttunen, M. Malinen, P. Munk. Løsning af Maxwells ligninger ved hjælp af ultrasvag variationsformulering . – 2006.
↑ A. Formmer , V. Hannemann , B. Nokel , Th. Lippert , K. Schilling. Accelerering af Wilson Fermion Matrix Invesion ved hjælp af Stibilized Biconjugate Cgadient Agorithm . - 1994.

Metoder til løsning af SLAE
Direkte metoder	Matrix metode Gauss metode Gauss-Jordan metode Cramer metode LU nedbrydning Kolesky nedbrydning Feje metode
Iterative metoder	Jacobi metode Gauss-Seidel metode Iterationsmetode Afslapningsmetode Konjugeret gradientmetode Bikonjugeret gradientmetode Stabiliseret bikonjugat gradientmetode
Generel	omvendt matrix Projektionsmetoder til løsning af SLAE Forkonditionering