Relativistisk ensartet accelereret bevægelse

Relativistisk ensartet accelereret bevægelse (eller relativistisk ensartet accelereret bevægelse ) er bevægelsen af et objekt, hvor dets egen acceleration er konstant. Egen acceleration er accelerationen af et objekt i den medfølgende (egen) referenceramme , det vil sige i en inertiereferenceramme, hvor objektets aktuelle øjeblikkelige hastighed er nul (i dette tilfælde ændres referencerammen fra punkt til punkt). Et eksempel på en relativistisk ensartet accelereret bevægelse kan være bevægelsen af et legeme med konstant masse under påvirkning af en konstant (i den kommende referenceramme) kraft . Accelerometer placeret på en ensartet accelererende krop vil ikke ændre sine aflæsninger.

I modsætning til klassisk mekanik kan et fysisk legeme ikke altid bevæge sig med konstant (i en fast inerti-referenceramme ) acceleration , da dens hastighed i dette tilfælde før eller siden vil overstige lysets hastighed . Dog kan egen acceleration være konstant i vilkårligt lang tid; i dette tilfælde vil hastigheden af et objekt i en fast inertiereferenceramme asymptotisk nærme sig lysets hastighed, men vil aldrig overstige den.

I relativistisk mekanik ændrer en konstant kraft, der virker på et objekt, konstant dets hastighed, og efterlader det ikke desto mindre mindre end lysets hastighed. Det enkleste eksempel på en relativistisk ensartet accelereret bevægelse er den endimensionelle bevægelse af en ladet partikel i et ensartet elektrisk felt rettet langs hastigheden [1] .

For en observatør, der bevæger sig med konstant acceleration i Minkowski-rummet , er der to begivenhedshorisonter , de såkaldte Rindler-horisonter (se Rindler-koordinater ).

Hastighed kontra tid

Når en kraft [2] virker på et objekt med en konstant masse, ændres dets momentum som følger [3] : $\textstyle \mathbf {f}$ $\textstyle m$

\mathbf {f} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d}{dt}}{\frac {m\mathbf {u} }{\sqrt { 1-\mathbf {u} ^{2}/c^{2}}}}.

Hvis kraften er konstant, integreres denne ligning let:

{\frac {\mathbf {u} }{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}/c^{2))))=\mathbf {w} _{0}+\mathbf {a} \,t,

hvor er en konstant vektor i kraftens retning, og er en integrationskonstant udtrykt i form af objektets begyndelseshastighed til tiden : $\textstyle \mathbf {a} =\mathbf {f} /m$ ${\displaystyle \textstyle \mathbf {w} _{0))$ ${\displaystyle \textstyle \mathbf {u} _{0))$ $\tekststil t=0$

\mathbf {w} _{0}={\frac {\mathbf {u} _{0}}{\sqrt {1-\mathbf {u} _{0}^{2}/c^{ 2}}}}.

Det eksplicitte udtryk for hastigheden i form af tid har formen:

\mathbf {u} (t)={\frac {\mathbf {w} _{0}+\mathbf {a} \,t}{\sqrt {1+(\mathbf {w} _{0 }+\mathbf {a} \,t)^{2}/c^{2}}}}.

En partikels hastighed under påvirkning af en konstant kraft har tendens til lysets hastighed , men overskrider den aldrig. I den ikke-relativistiske grænse for lave hastigheder tager hastighedens afhængighed af tid formen

\mathbf {u} \approx \mathbf {u} _{0}+\mathbf {a} \,t

svarende til den klassiske ensartet accelererede bevægelse .

Bevægelsesbane

Banen for ensartet accelereret bevægelse i det generelle tilfælde afhænger af orienteringen af de konstante vektorer og efter integration af ligningen opnås følgende udtryk: $\textstyle \mathbf {a}$ $\textstyle \mathbf {w} _{0}.$ $\textstyle \mathbf {u} (t)=d\mathbf {r} /dt$

\mathbf {r} (t)=\mathbf {r} _{0}+{\frac {\displaystyle \mathbf {a} \,c}{\displaystyle a^{2))}\,\ venstre({\sqrt {c^{2}+(\mathbf {w} _{0}+\mathbf {a} \,t)^{2}}}-{\sqrt {c^{2}+\ mathbf {w} _{0}^{2))}\right)+{\frac {[\mathbf {a} \times [\mathbf {w} _{0}\times \mathbf {a} ]]} {a^{2}}}\cdot \tau _{0},

hvor er radiusvektoren for kroppens position i tidspunktet og er objektets korrekte tidspunkt [4] : $\textstyle \mathbf {r} _{0}$ $\textstyle t=0,$ $\textstyle \tau _{0}$

\tau _{0}={\frac {c}{a}}\cdot \ln {\frac {\displaystyle {\sqrt {c^{2}+(\mathbf {w} _{0} +\mathbf {a} t)^{2}}}+at+(\mathbf {w} _{0}\mathbf {a} )/a}{\displaystyle {\sqrt {c^{2}+\mathbf {w} _{0}^{2}}}+(\mathbf {w} _{0}\mathbf {a} )/a}}.

Hvis korrekt acceleration og begyndelseshastighed er parallelle med hinanden, så er vektorproduktet lig med nul, og udtrykket for banen er mærkbart forenklet. $\textstyle \mathbf {a}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbf {u} _{0))$ $\textstyle [\mathbf {a} \times [\mathbf {w} _{0}\times \mathbf {a} ]]$

I dette tilfælde, hvis objektet bevæger sig langs x - aksen , så er dets verdenslinje på planet ( x, t ) en hyperbel . Derfor kaldes en-dimensionel ensartet accelereret relativistisk bevægelse undertiden hyperbolsk. $x(t)=\mathrm {const} +{\sqrt {c^{2}t^{2}+c^{4}/a^{2))}.$

Korrekt tid er lig med den tid, der er forløbet på uret, der er knyttet til objektet, fra det første øjeblik til tidspunktet i en fast referenceramme, i forhold til hvilken bevægelsen observeres. Som et resultat af tidsudvidelse altid $\textstyle \tau _{0}$ $\tekststil t=0$ $\tekststil t$ $\textstyle \tau _{0}<t.$

I den ikke-relativistiske grænse (små hastigheder) opnås ligningen for klassisk ensartet accelereret bevægelse : $\textstyle c\to \infty$

\mathbf {r} (t)\approx \mathbf {r} _{0}+\mathbf {u} _{0}\,t+{\frac {\mathbf {a} \,t^{2 }}{2}}.

Egen acceleration

Den konstante vektor har betydningen af almindelig acceleration i den øjeblikkelige referenceramme forbundet med det accelererende legeme. Hvis kroppen ændrer hastighed i forhold til sin tidligere position med et sted i en fast referenceramme, vil en sådan bevægelse blive relativistisk ensartet accelereret. Af denne grund kaldes parameteren intrinsic acceleration . Ved at acceptere en sådan definition af bevægelse kan man opnå hastighedens afhængighed af tid uden at henvise til dynamikken, idet man kun forbliver inden for rammerne af relativitetsteoriens kinematik [5] . $\textstyle \mathbf {a}$ $\textstyle a\,dt',$ $\textstyle a={\textrm {const)),$ $\tekststil a$

Det iboende accelerationsmodul a i det endimensionelle tilfælde er relateret til 3-accelerationsmodulet a′ = d u /d t , observeret i en fast inertiramme Λ med koordinattiden t , som følger:

a=a^{\prime }\gamma ^{3}={\frac {1}{\left(1-u^{2}/c^{2}\right)^{3/2} }}{\frac {{\textrm {d}}u}{{\textrm {d}}t)),

hvor γ er Lorentz-faktoren for objektet, u er dets hastighed i Λ . Hvis startværdierne for koordinaten og hastigheden tages lig med nul, så kan vi ved at integrere ovenstående ligning opnå afhængighederne af hastigheden og objektets position i systemet Λ på koordinattiden:

u(t)={\frac {at}{\sqrt {1+\left({\frac {at}{c}}\right)^{2}}}}=c\operatørnavn {th} \left(\operatørnavn {Arsh} {\frac {at}{c}}\right);

x(t)={\frac {c^{2}}{a}}\left({\sqrt {1+\left({\frac {at}{c}}\right)^{2 ))}-1\right)={\frac {c^{2}}{a}}\left(\operatørnavn {ch} \left(\operatørnavn {Arsh} {\frac {at}{c}}\ højre)-1\højre).

Afhængigheden af de samme mængder af objektets korrekte tid:

u(\tau )=c\operatørnavn {th} {\frac {a\tau}{c));

x(\tau )={\frac {c^{2}}{a}}\left(\operatørnavn {ch} {\frac {a\tau}{c}}-1\right).

Afhængighed af korrekt tid af koordinattid:

\tau (t)={\frac {c}{a}}\ln \left({\sqrt {1+\left({\frac {at}{c}}\right)^{2} ))+{\frac {at}{c}}\right)={\frac {c}{a}}\operatørnavn {Arsh} {\frac {at}{c}}.

Afhængighed af koordinattid af korrekt tid:

t(\tau )={\frac {c}{a}}\operatørnavn {sh} {\frac {a\tau }{c}}.

Udstråling af en ensartet accelereret ladning

En ladning e , der bevæger sig med konstant egen acceleration a , udsender elektromagnetiske bølger med kraft (i det Gaussiske system ). I dette tilfælde er der ingen strålingsfriktion [6] . $P={\frac {2e^{2}a^{2}}{3c^{3}}}$

Se også

Noter

↑ Bevægelsen af en ladet partikel i en vinkel ikke lig med 0 eller 180° til et ensartet elektrisk felt accelereres ikke ensartet, da det elektromagnetiske felt generelt ændres under Lorentz-transformationen , hvilket fører til en ændring i kraften virker på kroppen i den kommende referenceramme. Den eneste undtagelse er den Lorentziske transformation langs et homogent elektrisk felt; i dette tilfælde ændres feltet ikke.
↑ I denne artikel er 3-vektorer angivet med direkte fed skrift, og deres længder (i en eller anden inerti-referenceramme) er i normal kursiv.
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Felteori. - 7. udgave, revideret. — M .: Nauka , 1988. — 512 s. - (" Teoretisk fysik ", bind II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Logunov A. A. Forelæsninger om relativitetsteorien og tyngdekraften: Moderne analyse af problemet. - M .: "Nauka", 1987.
↑ Accelerated Motion Arkiveret 9. august 2010 på Wayback Machine in Relativity
↑ Ginzburg V. L. Om stråling og kraften af strålingsfriktion med en ensartet accelereret bevægelse af en ladning // Uspekhi fizicheskikh nauk . - Det Russiske Videnskabsakademi , 1969. - T. 98 . - S. 569-585 . (Russisk)