Ensartet kontinuitet

Ensartet kontinuitet er en funktions egenskab til at være lige kontinuerlig på alle punkter i definitionsdomænet. I matematisk analyse introduceres dette koncept for numeriske funktioner , i funktionel analyse er det generaliseret til vilkårlige metriske rum .

Kontinuitetsbegrebet betyder helt klart, at små ændringer i argumentationen fører til små ændringer i funktionens værdi. Egenskaben om ensartet kontinuitet pålægger en yderligere betingelse: værdien, der begrænser afvigelsen af argumentets værdi, må kun afhænge af værdien af funktionens afvigelse, men ikke af værdien af argumentet, dvs. velegnet til hele funktionens domæne.

Ensartet kontinuitet af numeriske funktioner

Definition

En numerisk funktion af en reel variabel er ensartet kontinuerlig, hvis [1] : $f\colon M\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R}$

\forall \varepsilon >0\colon ~\eksisterer \delta =\delta (\varepsilon )>0\colon ~\forall x_{1},x_{2}\in M\colon ~{\bigl (} |x_{1}-x_{2}|<\delta {\bigr )}\Højrepil {\bigl (}|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon {\bigr ) },

hvor er henholdsvis universaliteten og eksistenskvantifikatoren , og er implikationen . $\forall ,\eksisterer$ $\Højre pil$

Noter

Det er vigtigt, at valget kun afhænger af størrelsen og er egnet til enhver - dette adskiller ensartet kontinuitet fra almindelig kontinuitet. $\delta$ $\varepsilon$ $x_{1},x_{2}$

Ovenstående definition er let generaliseret til tilfældet med funktioner af flere variable [2] .

Eksempler

Fungere

f(x)={\frac {1}{x)),\;x\in (0,1)

er kontinuert over hele definitionsdomænet, men er ikke ensartet kontinuert, da man for enhver (vilkårligt lille) kan specificere et sådant segment af værdierne af argumentet , at værdierne af funktionen ved dens ender vil afvige mere end ved. Dette skyldes, at hældningen af grafen for funktionen omkring nul vokser uendeligt. $\varepsilon >0$ $x$ $\varepsilon.$

Et andet eksempel: funktion

f(x)=x^{2},\;x\in (-\infty ,+\infty )

er kontinuert langs hele tallinjen, men er ikke ensartet kontinuerlig, da

\lim _{x\to \infty }{\Big (}f{\big (}x+{\frac {a}{x}}{\big )}-f(x){\Big )} =\lim _{x\to \infty }(x^{2}+2a+a^{2}x^{-2}-x^{2})=2a.

Det er altid muligt at vælge en værdi for ethvert segment af vilkårligt lille længde - sådan at forskellen i værdierne af funktionen i enderne af segmentet bliver større . Især på segmentet er forskellen i værdierne af funktionen har tendens til $\varepsilon >0$ $\varepsilon /x$ $f(x)=x^{2}$ $\varepsilon.$ $\left[x,x+{\frac {\varepsilon }{x}}\right]$ $2\varepsilon .$

Egenskaber

Tre egenskaber følger umiddelbart af definitionen:

En funktion ensartet kontinuerlig på et sæt er kontinuerlig på det. $M$
- Det omvendte er sandt, hvis den er
kompakt . $M$

En funktion, der er ensartet kontinuerlig på en mængde, vil være ensartet kontinuerlig på enhver delmængde af den.

En funktion, der er ensartet kontinuerlig på et afgrænset interval, er altid afgrænset på dette interval [3] . På et uendeligt interval er en ensartet kontinuerlig funktion muligvis ikke afgrænset (f.eks. på et interval ).

\ln x

x\in (1;+\infty )

Nogle kriterier for ensartet kontinuitet af en funktion

Ensartet kontinuitetssætning ( Cantor - Heine ): en funktion, der er kontinuert på et lukket endeligt interval (eller på et hvilket som helst kompakt sæt) er ensartet kontinuerligt på det. Desuden, hvis det lukkede endelige interval erstattes af et åbent , er funktionen muligvis ikke ensartet kontinuerlig.
Summen, forskellen og sammensætningen af ensartede kontinuerte funktioner er ensartet kontinuerte [4] . Imidlertid er produktet af ensartet kontinuerlige funktioner muligvis ikke ensartet kontinuerligt. Lad for eksempel [5] Begge funktioner være ensartet kontinuerlige ved , men deres produkt er ikke ensartet kontinuerligt på . For et afgrænset interval er produktet af ensartet kontinuerte funktioner altid ensartet kontinuert [3] . $f(x)=x;\g(x)=\ln(x).$ $x\geqslant 1$ $[1,+\infty )$
Hvis en funktion er defineret og kontinuerlig tændt, og der findes en endelig grænse , så er funktionen ensartet kontinuerlig på . Med andre ord er en funktion defineret på et uendeligt halvinterval muligvis ikke ensartet kontinuerlig, hvis dens grænse ved uendelig ikke eksisterer eller er uendelig [6] . $f(x)$ $[a,+\infty)$ $\lim _{x\to +\infty }f(x)$ $[a,+\infty)$
En afgrænset monoton funktion , kontinuert på intervallet (eller på hele den reelle linje), er ensartet kontinuerlig på dette interval [7] .
En funktion, der er kontinuert på hele tallinjen og periodisk er ensartet kontinuerlig på hele tallinjen [8] .
En funktion, der har en afgrænset afledet på et interval, er ensartet kontinuerlig på dette interval [9] .