Ligebenet trapez

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 12. december 2021; checks kræver 3 redigeringer .

Ligebenet trapez

Type	firkantet , trapezformet
ribben	fire
En slags symmetri	Dih 2 , [ ], (*), rækkefølge 2
Dobbelt polygon	deltoid
Ejendomme
konveks , indskrevet

I euklidisk geometri er en ligebenet trapez en konveks firkant med en symmetriakse , der går gennem midtpunkterne på to modsatte sider. Denne firkant er et specialtilfælde af trapezoider . I enhver ligebenet trapezoid er de to modstående sider (baser) parallelle , og de to andre sider (sider) har samme længde (en egenskab, der også opfyldes af et parallelogram ). Diagonalerne har også samme længde. Vinklerne ved hver base er ens, og vinklerne ved forskellige baser støder op til hinanden (tillægges 180º).

Særlige lejligheder

Rektangler og firkanter behandles normalt som særlige tilfælde af ligebenede trapezoider, selvom nogle kilder ikke betragter dem som sådan.

Et andet specialtilfælde er en trapez med 3 lige sider. I engelsk litteratur kaldes det trilateral trapezoid (tresidet trapezoid) [1] , trisosceles trapezoid (triisosceles trapezoid) [2] eller, mindre almindeligt, symtra [3] . En sådan trapez kan tænkes at afskære 4 på hinanden følgende hjørner fra en regulær polygon med 5 eller flere sider.

Selvkryds

Enhver ikke-selvskærende firkant med en enkelt symmetriakse skal enten være en ligebenet trapez eller en deltoideus [3] . Men hvis selvskæring er tilladt, skal sættet af symmetriske firkanter udvides til at omfatte selvskærende ligebenede trapezoider, hvor de skærende sider er lige store, og de to andre sider er parallelle, og antiparallelogrammer , hvor modsatte sider er lige store længde.

For ethvert antiparallelogram er det konvekse skrog et ligebenet trapez, og et antiparallelogram kan fås fra diagonalerne af en ligebenet trapez [4] .

Konveks ligebenet trapez	Selvskærende ligebenet trapez	Antiparallelogram

Beskrivelser

Hvis firkanten er en trapez , er det ikke nødvendigt at kontrollere, om siderne er ens (og ikke nok, da romber er specielle tilfælde af trapez med sider af lige længde, men det har ikke aksial symmetri gennem midtpunkterne af baserne) . Enhver af følgende egenskaber adskiller en ligebenet trapez fra andre trapezoider:

Diagonalerne er lige lange.
Grundvinklerne er lige store.
Linjesegmentet, der forbinder midtpunkterne på parallelle sider, er vinkelret på dem.
Modsatte vinkler er komplementære (op til 180º), hvilket igen indebærer, at ligebenede trapezoider er indskrevet firkantede .
Diagonalerne er opdelt af skæringspunktet i parvis lige store segmenter. I forhold til nedenstående figur er AE = DE , BE = CE (og AE ≠ CE , hvis rektangler skal udelukkes).

Hvis rektangler indgår i klassen af trapez, så kan man definere et ligebenet trapez som "en indskrevet firkant med lige diagonaler" [5] , som "en indskrevet firkant med et par parallelle sider", eller som "en konveks firkant med en symmetriakse, der går gennem midtpunkterne på modsatte sider".

Vinkler

I en ligebenet trapez er vinklerne ved baserne parvis lige store. På figuren nedenfor er vinklerne ∠ABC og ∠DCB de samme stumpe vinkler, og vinklerne ∠BAD og ∠CDA er de samme spidse vinkler.

Da linjerne AD og BC er parallelle, er vinklerne tilhørende modstående baser komplementære, det vil sige ∠ ABC + ∠ BAD = 180°.

Diagonaler og højde

Diagonalerne af en ligebenet trapez er ens. Det vil sige, at enhver ligebenet trapezoid er en ligediagonal firkant . Imidlertid er diagonalerne af en ligebenet trapez opdelt i samme forhold. På figuren har diagonalerne AC og BD samme længde ( AC = BD ) og deler hinanden i segmenter af samme længde ( AE = DE og BE = CE ).

Forholdet , hvori diagonalerne er opdelt, er lig med forholdet mellem længderne af de parallelle sider, dvs.

{\frac {AE}{EC}}={\frac {DE}{EB}}={\frac {AD}{BC}}.

Længden af hver diagonal, ifølge konsekvensen af Ptolemæus' sætning , er givet ved formlen

{\displaystyle p={\sqrt {ab+c^{2))))

hvor a og b er længderne af de parallelle sider AD og BC og c er længden af hver side af AB og CD .

Højden, ifølge Pythagoras sætning , er givet af formlen

h={\sqrt {p^{2}-\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}}}={\tfrac {1}{2}} {\sqrt {4c^{2}-(ab)^{2}}}.

Afstanden fra punkt E til basis AD er givet ved formlen

d={\frac {ah}{a+b))

hvor a og b er længderne af baserne AD og BC , og h er højden af trapez.

Område

Arealet af en ligebenet (såvel som enhver) trapez er lig med halvdelen af produktet af summen af baserne og højden. I figuren, hvis vi tager AD \ u003d a , BC \ u003d b , og højden h er lig med længden af segmentet mellem linjerne AD og BC (vinkelret på dem), så er arealet K givet af formlen :

K={\frac {h}{2}}\left(a+b\right).

Hvis man i stedet for højden af trapezoiden kender længderne af siderne AB = CD = c , så kan arealet beregnes ved hjælp af Brahmagupta-formlen for arealet af de indskrevne firkanter. Ligestillingen mellem de to sider forenkler formlen til

K={\sqrt {(sa)(sb)(sc)^{2))},

hvor er trapezets halvperimeter. Denne formel ligner Herons formel til beregning af arealet af en trekant. Den samme formel kan omskrives som $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+2c)$

K={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b)^{2}(a-b+2c)(b-a+2c))).

Radius af den omskrevne cirkel

Radius af den omskrevne cirkel er givet ved formlen [6]

R=c{\sqrt {\frac {ab+c^{2}}{4c^{2}-(ab)^{2}}}}.

For et rektangel , hvor a = b , forenkles formlen til . $R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}$

Se også

Ligebenet omskrevet trapez

Litteratur

George Bruce Halsted. Elementær syntetisk geometri. - J. Wiley & sønner, 1896. .
William Dwight Whitney, Benjamin Eli Smith. Century Dictionary and Cyclopedia. — Century co., 1911. .

Noter

↑ Michael de Villiers, Hierarchical Quadrilateral Tree [1] Arkiveret 22. december 2014 på Wayback Machine
↑ ligebenet trapez . Hentet 25. september 2016. Arkiveret fra originalen 26. august 2016. (ubestemt)
↑ 12 Halsted , 1896 , s. 49-53.
↑ Whitney og Smith, 1911 , s. 1547.
↑ Mzone.mweb.co.za . Hentet 25. september 2016. Arkiveret fra originalen 19. juli 2011. (ubestemt)
↑ Trapezoid på Math24.net: Formulas and Tables [2] Arkiveret 28. juni 2018 på Wayback Machine Tilgået 1. juli 2014.