Sti (topologi)

I matematik er en sti i et topologisk rum X en kontinuerlig afbildning f fra enhedsintervallet I = [0,1] til X

f : I → X. _

Stiens startpunkt er f (0), og slutpunktet er f (1). Vi taler ofte om "stien fra x til y ", hvor x og y er stiens start- og slutpunkter. Bemærk, at en sti ikke kun er en delmængde af X , der "ligner" en kurve , den inkluderer også en parametrisering . For eksempel repræsenterer afbildningen f ( x ) = x og g ( x ) = x 2 to forskellige stier fra 0 til 1 på den reelle linje.

En sløjfe i rummet X med basispunktet x ∈ X er en bane fra x til x . En sløjfe kan også defineres som en afbildning f : I → X med f (0) = f (1) eller som en kontinuerlig afbildning fra enhedscirklen S 1 til X

f : S 1 → X .

Det sidste følger af, at S 1 kan betragtes som et kvotientrum af I , når 0 er identificeret med 1. Mængden af alle sløjfer i X danner et rum, der kaldes sløjferummet i rummet X [1] .

Et topologisk rum, hvor der findes en sti, der forbinder to vilkårlige punkter, kaldes stiforbundet . Ethvert rum kan opdeles i et sæt lineært forbundne komponenter . Sættet af lineært forbundne komponenter i rummet X er ofte betegnet med π 0 ( X );.

Man kan også definere stier og sløjfer i spidse rum , som er vigtige i homotopi-teori . Hvis X er et topologisk rum med et fornemt punkt x 0 , så er en sti i X en sti, hvis startpunkt er x 0 . På samme måde er en løkke i X en løkke ved x 0 .

Stihomotopi

Stier og sløjfer er centrale genstande for undersøgelse i den gren af algebraisk topologi kaldet homotopi teori . Homotopien af stier præciserer forestillingen om en kontinuerlig deformation af en sti, mens stiens ender bevares.

Især en homotopi af stier i X er en familie af stier f t : I → X indekseret af I således, at

f t (0) = x 0 og f t (1) = x 1 er faste.
afbildningen F : I × I → X givet ved F ( s , t ) = f t ( s ) er kontinuert.

Stierne f 0 og f 1 siges at være homotopiske (eller mere præcist lineært homotopiske ), hvis de er forbundet med en homotopi. Man kan på samme måde definere en loop-homotopi, der bevarer basispunktet.

Homotopi-relationen er en ækvivalensrelation for stier i et topologisk rum. Ækvivalensklassen for en sti f under denne relation kaldes homotopiklassen af f , og betegnes ofte [ f ].

Sammensætning af stier

Det er muligt at danne en sammensætning af stier i et topologisk rum på en indlysende måde. Lad f være en sti fra x til y og g være en sti fra y til z . Stien fg er defineret som stien opnået først ved at passere f og derefter g :

fg(s)={\begin{cases}f(2s)&0\leq s\leq {\frac {1}{2}}\\g(2s-1)&{\frac {1}{2}} \leq s\leq 1.\end{cases}}

Det er klart, at stisammensætning kun defineres, hvis slutpunktet f falder sammen med startpunktet g . Hvis vi betragter sløjfer ved punktet x 0 , så er stisammensætning en binær operation .

Stisammensætning, hvis den er defineret, er ikke en associativ operation på grund af forskellen i parameterisering. Det er dog associativt op til homotopi. Det vil sige [( fg ) h ] = [ f ( gh )]. Stisammensætning definerer strukturen af en gruppe på sættet af homotopiske sløjfeklasser i X med basispunkt x 0 . Den resulterende gruppe kaldes den fundamentale gruppe af X med punktet x 0 markeret og betegnes normalt π 1 ( X , x 0 ).

Man kan definere en sti i X som en kontinuerlig afbildning af intervallet [0, a ] til X for enhver reel a ≥ 0. En sti f af denne form har længde | f | defineret som en . Stisammensætning defineres derefter som før, med følgende ændring:

fg(s)={\begin{cases}f(s)&0\leq s\leq |f|\\g(s-|f|)&|f|\leq s\leq |f|+|g| \end{sager}}

Mens f , g og fg i den foregående definition har længde 1, giver denne definition | fg | = | f | + | g |. Det, der i den tidligere definition førte til krænkelsen af associativiteten var, at selvom ( fg ) h og f ( gh ) havde samme længde, nemlig 1, havnede midtpunktet af ( fg ) h mellem g og h , mens midtpunktet af f . ( gh ) kom mellem f og g . I den ændrede definition af ( fg ) har h og f ( gh ) samme længde, nemlig | f |+| g |+| h |, og de samme midtpunkter fundet i (| f |+| g |+| h |)/2 for både ( fg ) h og f ( gh ). Og selv de har den samme parameterisering.

Fundamental groupoid

Ethvert topologisk rum X giver anledning til en kategori, hvis objekter er punkterne i X , og hvis morfismer er stihomotopiklasserne. Da enhver morfisme i denne kategori er en isomorfisme , er denne kategori en groupoid , kaldet den fundamentale groupoid af X. Sløjfer i denne kategori er endomorfier (de er faktisk alle automorfier ). Automorfigruppen i punktet x 0 i X er simpelthen den fundamentale gruppe i X . Man kan definere en fundamental groupoid på enhver delmængde A af X ved at bruge homotopiklasserne af stier, der forbinder punkter i A .

Litteratur

Ronald Brown. Topologi og groupoider. - Deganwy, Storbritannien, 2006. - ISBN 1-4196-2722-8 .

Peter May. Et kortfattet kursus i algebraisk topologi. - Chicago, IL: University of Chicago Press, 1999. - ISBN 10: 0226511820 13: 9780226511825.

James R. Munkres. topologi. — 2ed. - NJ: Prentice Hall, 2000. - ISBN 0-13-181629-2 .
John Frank Adams. Uendelige sløjferum. - Princeton University Press, 1978. - T. 90. - (Annals of Mathematics Studies). — ISBN 9780691082066 .
O.Ja. Viro, O.A. Ivanov, N.Yu. Netsvetaev, V.M. Kharlamov. Elementær topologi. - M. : MTSNMO, 2010. - ISBN 978-5-94057-587-0 .

↑ Adams, 1978 , s. 3.