Groupoid (kategoriteori)

En gruppeoid i kategoriteori er en kategori, hvor alle morfismer er isomorfier. Groupoids kan ses som en generalisering af grupper : den kategori, der svarer til gruppen, har præcis et objekt og en pil for hvert element fra , sammensætningen af pilene er givet som multiplikationen af de tilsvarende elementer i gruppen, hvor hver pil er en isomorfisme; således kan sættet af pile af en groupoid betragtes som et sæt med en delvist defineret binær multiplikationsoperation, således at der for hvert element er en venstre og højre invers, samt en venstre og højre enhed ved multiplikation. $G$ $g$ $G$

Groupoider erstatter naturligt symmetrigrupper i kategoriteori og opstår i klassificeringen af klasser af isomorfe objekter.

Enhver kategori, der er en gruppe, er en groupoid. For en vilkårlig kategori er en groupoid en underkategori , hvis objekter falder sammen med objekterne , og morfismer er alle mulige isomorfismer i . $C$ $D\kroghøjrepil C$ $C$ $C$

For et stiforbundet topologisk rum er dets fundamentale groupoid defineret som en 2-kategori , hvis objekter alle er punkter fra , og pilene fra til svarer til alle mulige (geometriske) stier fra til : $x$ $\Pi _{1}(X)$ $x$ $x\i X$ $y\i X$ $x$ $y$

f\kolon [0;1]\til X,~f(0)=x,\;f(1)=y

De to funktioner og giver den samme sti, hvis der findes , så eller . Sammensætningen af pilene er givet af sammensætningen af stierne: $f$ $g$ $s:[0;1]\til [0;1]$ $f=g\cirkler$ $g=f\cirkler$

fg(t)={\begin{cases}f(2t),\;0\leqslant t\leqslant 1/2\\g(2t-1),\;1/2\leqslant t\leqslant 1\end{ sager}}

En 2-morfi fra til er en homotopi fra til . En fundamental groupoid er en kategorisering af den fundamentale gruppe . Dens fordel er, at valget af et markeret punkt ikke er påkrævet i rummet, så der er ingen problemer med den ikke-kanoniske isomorfi af grundlæggende grupper på forskellige punkter eller med rum, der har flere forbundne komponenter. Den fundamentale sløjfegruppe fra et punkt opstår som gruppen af 2-isomorfe automorfier af objektet . $f$ $g$ $f$ $g$ $x\i X$ $x\in \Pi _{1}(X)$

Kategorien af vektorbundter af rang over et sammentrækbart rum med ikke-degenererede afbildninger danner naturligt en groupoid; I denne forbindelse introduceres begrebet en djerba (som er et særligt tilfælde af en stak ), som er en struktur på kategorien af skiver af en given type. Gerbs er geometriske objekter klassificeret efter kohomologigrupper , hvor der er en bunke af grupper på . Konceptet er især vigtigt i tilfælde af ikke-abiske grupper . $n$ $H^{2}(X,{\mathcal {G}})$ ${\mathcal {G}}$ $x$ ${\mathcal {G}}$

Litteratur

McLane S. Kapitel 1. Kategorier, funktorer og naturlige transformationer // Kategorier for den arbejdende matematiker / Pr. fra engelsk. udg. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 17-42. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .