Produkt af topologiske rum

Et produkt af topologiske rum er et topologisk rum opnået som et sæt af det kartesiske produkt af de oprindelige topologiske rum, og udstyret med en naturlig topologi kaldet produkttopologien [1] [2] eller Tikhonov-topologien . Ordet "naturlig" bruges her i betydningen kategoriteori og betyder, at denne topologi opfylder nogle universelle egenskaber .

Denne topologi blev først undersøgt af den sovjetiske matematiker Andrei Tikhonov i 1926 .

Definitioner

Lade:

\{X_{\alpha }:\alpha \i A\}

er en familie af topologiske rum,

X=\prod \limits _{\alpha \in A}X_{\alpha }

er deres kartesiske produkt (som sæt),

p_{\alpha }:X\til X_{\alpha }

er projiceringen af produktet på den tilsvarende faktor.

Tikhonov-topologien på er den groveste topologi (det vil sige topologien med færrest åbne sæt ), for hvilken alle projektioner er kontinuerlige . Åbne sæt af denne topologi er alle mulige foreninger af sæt af formen , hvor hver er en åben delmængde og kun for et endeligt antal indekser. Især de åbne mængder af produktet af et endeligt antal rum er simpelthen foreningerne af produkterne af de åbne delmængder af de oprindelige rum. $x$ $p_{\alpha }$ $\prod _{i\in I}U_{i}$ $U_{i}$ $X_{i}$ $U_{i}\neq X_{i}$

Tikhonov-topologien kan også beskrives som følger: en familie af sæt tages som præbasen for topologien . Topologiens basis er alle mulige endelige skæringspunkter af sæt fra , og topologien er alle mulige foreninger af mængder fra basen. $x$ ${\mathfrak {P}}=\{p_{\alpha }^{-1}(U):\alpha \i A,\,U\i {\mathfrak {T}}_{\alpha }\}$ ${\mathfrak {P}}$

Tikhonov-topologien er svagere end den såkaldte "boks"-topologi, for hvilken topologiens base er dannet af alle mulige produkter af åbne delmængder af multiplicerende rum. En sådan topologi har ikke ovenstående universelle egenskab, og Tikhonovs sætning er ikke sandt for den .

Eksempler

Den sædvanlige topologi på (topologien induceret af metrikken ) er topologien af produktet på den kartesiske grad $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} .$

Cantor-sættet er homøomorft til produktet af et tælleligt antal kopier af det diskrete rum {0,1}, og rummet af irrationelle tal er homøomorft til produktet af et tælligt antal rum af naturlige tal (med diskret topologi).

Egenskaber

Det topologiske rum , sammen med projektioner til hver komponent , kan defineres ved hjælp af den universelle egenskab : hvis er et vilkårligt topologisk rum, og der er givet en kontinuerlig afbildning for hver, så er der en unik afbildning , således at følgende diagram for hver er kommutativt: $x$ $X_{i}$ $Y$ $i\i I$ $Y\til X_{i},$ $Y\ til X,$ $i\i I$

Dette viser, at Tikhonov-produktet er et produkt i kategorien topologiske rum . Det følger af den universelle egenskab, at en kortlægning er kontinuert, hvis og kun hvis hver kortlægning er kontinuerlig.I mange situationer er kontinuitet lettere at kontrollere. $f:Y\til X$ $f_{i}=p_{i}\cirkel f,$ $f_{i}$

Projektioner er ikke kun kontinuerlige, men også åbne kortlægninger (det vil sige, at hvert åbent sæt af produktet, når det projiceres på en komponent, går ind i et åbent sæt). Det omvendte er generelt set ikke sandt (et modeksempel er en delmængde, der er komplementet til en åben cirkel). Projektioner er heller ikke nødvendigvis lukkede afbildninger (et modeksempel er, at billederne af projektioner af et lukket sæt på koordinatakserne ikke er lukkede delmængder af linjen). $p_{i}$ $\mathbb {R} ^{2},$ $\{(x,y)\i \mathbb {R} ^{2}\midt xy=1\},$

Topologien af et produkt kaldes nogle gange topologien for punktvis konvergens. Årsagen til dette er som følger: en sekvens af elementer fra et produkt konvergerer, hvis og kun hvis dets billede konvergerer, når det projiceres på hver komponent. For eksempel er topologien af et produkt på rummet af reelt værdifulde funktioner på en topologi, hvor en sekvens af funktioner konvergerer, når den konvergerer punktvis. $\mathbb {R} ^{I},$ $jeg$

Forholdet til andre topologiske begreber

Separabilitetsaksiomer :

Produktet af -rum har egenskaben . $T_{0}$ $T_{0}$
Produktet af -rum har egenskaben . $T_{1}$ $T_{1}$
Produktet af Hausdorff spaces er Hausdorff.
Produktet af regelmæssige mellemrum er regelmæssigt.
Produktet af helt regulære rum er helt regulære.
Produktet af normale rum er ikke altid normalt .

Kompakthed :

Produktet af kompakte rum er kompakt .
Produktet af lokalt kompakte rum er ikke altid lokalt kompakt. Imidlertid er produktet af en familie af lokalt kompakte rum, hvor alle undtagen et begrænset antal komponenter er kompakte, lokalt kompakte.

Forbindelse :

Produktet af forbundne (henholdsvis stiforbundne) rum er forbundet (henholdsvis stiforbundne).
Produktet af helt afbrudte rum er fuldstændig afbrudt.

Kompaktheden af Tikhonov-produkter

Tikhonovs teorem : hvis alle sæt er kompakte , så er deres Tikhonov-produkt også kompakt. $X_{\alpha }$

For at bevise påstanden er det ifølge Alexanders præbasesætning tilstrækkeligt at bevise, at enhver dækning af elementer af en præbase tillader et endeligt undercover. For enhver , lad være foreningen af alle sæt , som sættet er indeholdt i coveret. Så er den udækkede del af rummet X udtrykt med formlen: ${\mathfrak {P}}$ $\alfa$ $V_{\alpha }$ $U\in X_{\alpha }$ $\pi _{\alpha }^{-1}(U)$

\prod \limits _{\alpha \in A}X_{\alpha }\setminus V_{\alpha }

Da dette sæt er tomt, skal mindst én faktor være tom. Det betyder, for nogle , at den pågældende beklædning indeholder forbilledet af belægningen af rummet . På grund af rummets kompakthed kan et endeligt underdæksel skelnes fra dets dækning, og så vil dets omvendte billede i forhold til kortlægningen være et endeligt underdæksel af rummet . $\alfa$ $\pi _{\alpha }$ $X_{\alpha }$ $X_{\alpha }$ $\pi _{\alpha }$ $x$

Se også

Tikhonovsky terning

Noter

↑ Yu. G. Borisovich, N. M. Bliznyakov, T. N. Fomenko. Introduktion til topologi. 2. udg., tilf. — M.: Nauka. Fizmatlit., 1995. ISBN 5-02-014118-6 . S. 107.
↑ O. Ya. Viro, O. A. Ivanov, N. Yu. Netsvetaev, V. M. Kharlamov. Elementær topologi. — M.: MTSNMO, 2012. — ISBN 978-5-94057-894-9 . S. 158.

Litteratur

Engelking R. Generel topologi. — M .: Mir , 1986. — 752 s.