Projektiv grænse

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 18. februar 2021; checks kræver 4 redigeringer .

Den projektive grænse ( omvendt grænse ) er en konstruktion, der bruges i forskellige grene af matematikken, der giver dig mulighed for at bygge et nyt objekt ud fra en familie (indekseret af et rettet sæt ) af objekter af samme type og et sæt kortlægninger , . En af den slags grænser i kategoriteori . $x$ $X_{i}$ $f_{{ij}}:X_{j}\to X_{i}$ $i\leqslant j$

Følgende notation bruges almindeligvis til den projektive grænse:

X=\varprojlim X_{i}

X=\projlim X_{i}

Den projektive grænse kan defineres i en vilkårlig kategori . Det dobbelte koncept er den direkte grænse .

Historie

Projektive grænser vises i Aleksandrovs værker . [en]

Definition

Algebraiske strukturer

For algebraiske systemer er den projektive grænse defineret som følger. Lad være et rettet sæt (for eksempel sættet af heltal ), og lad hvert element være forbundet med et algebraisk system fra en eller anden fast klasse (f.eks. Abelske grupper , moduler over en given ring ), og hvert par sådan, at , , være forbundet med en homomorfi , og - identiske kortlægninger for enhver og for enhver af . Så er bærersættet for den projektive grænse for en rettet familie en delmængde af det direkte produkt , for hvis elementer hver komponent svarer til komponenterne med lavere indeks: $jeg$ $\leqslant$ $i\i I$ $X_{i}$ $(i,\;j)$ $i,\;j\i I$ $i\leqslant j$ $f_{{ij}}:X_{j}\to X_{i}$ $f_{{ii}}$ $i\i I$ $f_{{ik}}=f_{{ij}}\circ f_{{jk}}$ $i\leqslant j\leqslant k$ $jeg$ $x$ $X_{i}$

\varprojlim X_{i}={\biggl \{}(x_{i})\in \prod _{i\in I}X_{i}\;{\bigg |}\;x_{i} =f_{ij}(x_{j})\ \forall i\leqslant j{\biggr \}}.

Der er kanoniske projektioner , der vælger den th komponent af det direkte produkt for hver . Disse projektioner skal være homomorfismer, på grundlag af hvilke det er muligt at genoprette den tilføjede algebraiske struktur på den projektive grænse. $\pi_i\kolon X \til X_i$ $jeg$ $i\i I$

Generel sag

I en vilkårlig kategori kan den projektive grænse beskrives ved hjælp af dens universelle egenskab . Lad være en familie af objekter og morfismer af kategori C , der opfylder de samme krav som i forrige underafsnit. Kaldes derefter den projektive grænse for systemet , eller , hvis følgende betingelser er opfyldt: $(X_{i},f_{{ij}})$ $x$ $(X_{i},f_{{ij}})$ $X=\varprojlim X_{i}$

der er en familie af kortlægninger sådan, at for enhver ; $\pi _{i}:X\til X_{i}$ $\pi _{i}=f_{{ij}}\circ \pi _{j}$ $i\leqslant j$
for enhver familie af kortlægninger , et vilkårligt objekt , for hvilket ligheder gælder for enhver , er der en unik kortlægning , der for alle . $\psi _{i}:Y\til X_{i}$ $Y$ $\psi _{i}=f_{{ij}}\circ \psi _{j}$ $i\leqslant j$ $u:Y\til X$ $\psi _{i}=\pi _{i}\circ u$ $i\i I$

Mere generelt er en projektiv grænse en grænse i kategorisk betydning af et system . $(X_{i},f_{{ij}})$

Eksempler

Heltal -adiske tal er den projektive grænse for en sekvens med naturlige afbildninger af formen "tager resten" ved . $s$ $\mathbb{Z } _{{p^{n}}}$ $\mathbb{Z } _{{p^{n}}}\to \mathbb{Z } _{{p^{m}}}$ $n\geqslant m$
Ringen af formelle potensrækker over en kommutativ ring er den projektive grænse for ringe indekseret af naturlige tal med naturlige projektioner . $\tekststil R[[t]]$ $R$ $\textstyle R[t]/t^{n}R[t]$ $\textstyle R[t]/t^{{n+j}}R[t]\til \textstyle R[t]/t^{n}R[t]$
Cantor-sættet er homøomorft til den projektive grænse for produkter af topunktssæt (med diskret topologi ) med projektioner til de første par koordinater som afbildninger.
Profinite grupper er defineret som de projektive grænser for endelige (diskrete) grupper.
I kategorien topologiske rum er projektive grænser givet af den indledende topologi på det tilsvarende støttesæt.

Noter

↑ Aleksandrov P.S., "Ann. af matematik. ", 1928, v. 30, s. 101-87.

Litteratur

McLane S. Kapitel 3. Universelle konstruktioner og grænser // Kategorier for den arbejdende matematiker = Kategorier for den arbejdende matematiker / Pr. fra engelsk. udg. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 68-94. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Projektiv grænse - artikel fra Encyclopedia of Mathematics . M. Sh. Tsalenko
Jan-Erik Roos. Afledte functors of inverse limits revisited // J. London Math. Soc .. - 2006. - T. 73 , nr. 1 . - S. 65-83 . - doi : 10.1112/S0024610705022416 .