Usikkerhedsprincippet

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 19. oktober 2020; verifikation kræver 21 redigeringer .

Heisenberg-usikkerhedsprincippet i kvantemekanik er en grundlæggende betragtning (usikkerhedsrelation), der sætter grænsen for nøjagtigheden af samtidig bestemmelse af et par kvante-observabler , der karakteriserer et system beskrevet af ikke- pendlende operatører (f.eks. position og momentum, strøm og spænding , elektriske og magnetiske felter). Mere tilgængeligt lyder det sådan her: Jo mere nøjagtigt en egenskab ved en partikel måles, jo mindre nøjagtigt kan den anden måles. Usikkerhedsrelationen [* 1] sætter en nedre grænse for produktet af standardafvigelserne for et par kvanteobservabler. Usikkerhedsprincippet, opdaget af Werner Heisenberg i 1927 , er en af grundstenene i den fysiske kvantemekanik [1] [2] . Det er en konsekvens af princippet om bølge-partikel dualitet [3] [4] .

Oversigt

Heisenberg-usikkerhedsrelationerne er den teoretiske grænse for nøjagtigheden af samtidige målinger af to ikke-pendlende observerbare. De er gyldige både for ideelle målinger , nogle gange kaldet von Neumann målinger , og for ikke-ideelle målinger [* 2] .

Ifølge usikkerhedsprincippet kan en partikels position og hastighed (momentum) ikke måles nøjagtigt på samme tid [* 3] . Usikkerhedsprincippet, allerede i den form, der oprindeligt blev foreslået af Heisenberg, er også anvendeligt i det tilfælde, hvor ingen af de to ekstreme situationer realiseres (et fuldstændigt defineret momentum og en fuldstændig ubestemt rumlig koordinat eller en fuldstændig ubestemt momentum og en fuldstændig defineret koordinat) .

Eksempel: en partikel med en vis energiværdi, placeret i en kasse med perfekt reflekterende vægge ; den er hverken karakteriseret ved en bestemt værdi af momentum (givet dens retning! [* 4] ), eller af nogen bestemt "position" eller rumlig koordinat (partiklens bølgefunktion er delokaliseret inden for hele boksens rum, dvs. koordinater har ingen bestemt betydning, lokaliseringspartikler er ikke mere nøjagtige end boksens dimensioner).

Usikkerhedsrelationer begrænser ikke nøjagtigheden af en enkelt måling af nogen størrelse (for multidimensionelle størrelser er der i det generelle tilfælde kun ment én komponent her). Hvis dens operatør pendler med sig selv på forskellige tidspunkter , så er nøjagtigheden af flere (eller kontinuerlige) målinger af en mængde ikke begrænset. For eksempel forhindrer usikkerhedsrelationen for en fri partikel ikke nøjagtig måling af dens momentum, men tillader ikke nøjagtig måling af dens koordinat (denne begrænsning kaldes standardkvantegrænsen for koordinater).

Usikkerhedsrelationen i kvantemekanikken i matematisk forstand er en direkte konsekvens af en bestemt egenskab ved Fourier-transformationen [* 5] .

Der er en præcis kvantitativ analogi mellem Heisenberg-usikkerhedsrelationerne og egenskaberne ved bølger eller signaler . Overvej et tidsvarierende signal, såsom en lydbølge . Det giver ingen mening at tale om et signals frekvensspektrum på noget tidspunkt. For nøjagtigt at bestemme frekvensen er det nødvendigt at observere signalet i nogen tid og dermed miste nøjagtigheden af timingen. Med andre ord kan lyden ikke samtidig have både den nøjagtige værdi af sin fikseringstid, som en meget kort impuls har, og den nøjagtige værdi af frekvensen, som det er tilfældet for en kontinuerlig (og i princippet uendelig lang) ren tone (ren sinusformet). Tidspositionen og frekvensen af bølgen er matematisk fuldstændig analoge med partiklens koordinat- og kvantemekaniske momentum. Hvilket slet ikke er overraskende, hvis vi husker, at det er momentum i kvantemekanik - dette er den rumlige frekvens langs den tilsvarende koordinat. $p_{x}=\hbar k_{x},$

I hverdagen, når vi observerer makroskopiske objekter eller mikropartikler, der bevæger sig i makroskopiske områder af rummet, bemærker vi normalt ikke kvanteusikkerhed, fordi værdien er ekstremt lille, så virkningerne som følge af usikkerhedsrelationer er så ubetydelige, at de ikke fanges af måleinstrumenter eller sanser [5] . $\hbar$

Definition

Hvis der er flere (mange) identiske kopier af systemet i en given tilstand, vil de målte værdier af position og momentum adlyde en vis sandsynlighedsfordeling - dette er et grundlæggende postulat af kvantemekanik. Ved at måle værdien af standardafvigelsen af positionen og standardafvigelsen af momentum, finder vi, at $\Delta x$ $\Delta s$

\Delta x\Delta p\geqslant \hbar

hvor ħ er den reducerede Planck-konstant .

Bemærk, at denne ulighed giver flere muligheder - i ikke-relativistisk fysik kan en tilstand være sådan, at den kan måles med vilkårlig høj nøjagtighed, men så vil den kun kendes tilnærmelsesvis; eller omvendt kan det bestemmes med vilkårlig høj nøjagtighed, mens det ikke er. I alle andre stater, og , og kan måles med "rimelig" (men ikke vilkårligt høj) nøjagtighed. $x$ $s$ $s$ $x$ $x$ $s$

I relativistisk fysik , i en referenceramme i hvile i forhold til et mikroobjekt, er der en minimumsfejl ved måling af dets koordinater . Denne fejl svarer til momentumusikkerheden , svarende til minimumstærskelenergien for dannelsen af et partikel-antipartikel-par, som et resultat af hvilket selve måleprocessen mister sin mening. $\Delta q\sim {\frac {\hbar }{mc))$ $\Delta p\sim mc$

I referencerammen, i forhold til hvilken mikroobjektet bevæger sig med energi , er den mindste fejl ved måling af dets koordinater . I det begrænsende tilfælde af ultrarelativistiske energier , er energien relateret til momentum ved relationen , og det vil sige, at målefejlen for koordinaten falder sammen med de Broglie-bølgelængden af mikroobjektet [6] . $\epsilon$ $\Delta q\sim {\frac {\hbar c}{\epsilon }}$ $\epsilon=cp$ $\Delta q\sim {\frac {\hbar }{p))$

Når ligestilling er opnået

Lighed i usikkerhedsrelationen opnås, hvis og kun hvis formen for repræsentationen af systemets tilstandsvektor i koordinatrepræsentationen falder sammen med formen for dens repræsentation i impulsrepræsentationen (ændres ikke med Fourier-transformationen) [7] .

Variationer og eksempler

Generaliseret usikkerhedsprincip

Usikkerhedsprincippet gælder ikke kun for position og momentum (som det først blev foreslået af Heisenberg). I sin generelle form gælder det for hvert par af konjugerede variabler . Generelt, og i modsætning til tilfældet med position og momentum diskuteret ovenfor, afhænger den nedre grænse for produktet af "usikkerhederne" af to konjugerede variabler af systemets tilstand. Usikkerhedsprincippet bliver så en sætning i operatorteori, som vil blive givet nedenfor.

Sætning . For alle selvtilknyttede operatorer : og , og ethvert element fra , sådan at og begge er defineret (det vil sige i særdeleshed og er også defineret), har vi: $A\kolon H\til H$ $B\kolon H\til H$ $x$ $H$ $ABx$ $BAx$ $Økse$ $bx$

\langle x|AB|x\rangle \langle x|BA|x\rangle =\venstre|\langle Bx|Axe\rangle \right|^{2}\leqslant \left|\langle Ax|Ax\rangle \right |\venstre|\langle Bx|Bx\rangle \right|=\|Ax\|^{2}\|Bx\|^{2}

Dette er en direkte konsekvens af Cauchy-Bunyakovsky-uligheden .

Derfor er følgende generelle form for usikkerhedsprincippet , først afledt i 1930 af Howard Percy Robertson og (uafhængigt) Erwin Schrödinger , sand :

{\frac {1}{4}}|\langle x|AB-BA|x\rangle |^{2}\leqslant \|Ax\|^{2}\|Bx\|^{2}.

Denne ulighed kaldes Robertson-Schrödinger-relationen .

Operatøren kaldes kommutatoren og og er betegnet som . Det er defineret for dem , som både og er defineret for . $AB-BA$ $EN$ $B$ $[A,B]$ $x$ $ABx$ $BAx$

Fra Robertson-Schrödinger- forholdet følger umiddelbart Heisenberg-usikkerhedsforholdet :

Antag og er to fysiske størrelser, der er forbundet med selvtilknyttede operatører. Hvis og er defineret, så: $EN$ $B$ $AB/psi$ $BA/psi$

\Delta _{{\psi }}A\,\Delta _{{\psi }}B\geqslant {\frac {1}{2}}\left|\left\langle \left[A,{B}\ højre]\right\rangle _{\psi }\right|

hvor:

\venstre\langle X\right\rangle _{\psi }=\venstre\langle \psi |X|\psi \right\rangle

er middelværdien af mængdeoperatøren i systemets tilstand , og $x$ $\psi$

\Delta _{{\psi }}X={\sqrt {\langle {X}^{2}\rangle _{\psi}-\langle {X}\rangle _{\psi }^{2}}}

er operatøren af standardafvigelsen for en mængde i systemets tilstand . $x$ $\psi$

Ovenstående definitioner af middelværdi og standardafvigelse er formelt defineret udelukkende ud fra operatorteori. Udsagnet bliver dog mere meningsfuldt, når vi bemærker, at de faktisk er middelværdien og standardafvigelsen af den målte fordeling af værdier. Se kvantestatistisk mekanik .

Det samme kan gøres ikke kun for et par konjugerede operatorer (for eksempel koordinat og momentum eller varighed og energi ), men generelt for ethvert par hermitiske operatorer . Der er en usikkerhedsrelation mellem feltstyrken og antallet af partikler, hvilket fører til fænomenet virtuelle partikler .

Det er også muligt, at der er to ikke-pendlende selvadjoint-operatorer og , som har den samme egenvektor . I dette tilfælde er en ren tilstand, der samtidig kan måles for og . $EN$ $B$ $\psi$ $\psi$ $EN$ $B$

Generelle observerbare variabler, der er underlagt usikkerhedsprincippet

De tidligere matematiske resultater viser, hvordan man finder usikkerhedsrelationerne mellem fysiske variabler, nemlig at bestemme værdierne af par af variabler og , hvis kommutator har visse analytiske egenskaber. $EN$ $B$

Den bedst kendte usikkerhedsrelation er mellem positionen og momentum af en partikel i rummet:

\Delta x_{i}\Delta p_{i}\geqslant {\frac {\hbar }{2))

Det følger af princippet om usikkerhed mellem momentum og koordinat, at jo mindre afstande, der undersøges, jo større er energien af elementarpartikler. I det ultrarelativistiske område ( ) er energien proportional med momentum : og usikkerhedsrelationen for energi og koordinater tager formen , så hvor udtrykkes i GeV og i cm . Dette forhold bestemmer energien af elementarpartikler, der kræves for at opnå de givne små afstande mellem dem. For at nærme sig elementarpartikler i afstande på cm eller mindre, er det nødvendigt at give dem en energi større end GeV [8] . $p\gg Mc$ $E$ $s$ $E=cp$ $\Delta E\Delta x\geqslant c{\frac {\hbar }{2))$ $\Delta E\geqslant {\frac {10^{{-14}}}{\Delta x}}$ $\Delta E$ $\Delta x$ $10^{{-14}}$ $en$

usikkerhedsforholdet mellem to ortogonale komponenter af operatøren af en partikels samlede vinkelmoment :

\Delta J_{i}\Delta J_{j}\geqslant {\frac {\hbar }{2))\left|\left\langle J_{k}\right\rangle \right|

hvor er forskellige og angiver vinkelmomentet langs aksen .

jeg,

j,

k

J_{i}

x_{i}

Følgende usikkerhedsrelation mellem energi og tid præsenteres ofte i fysiklærebøger, selvom fortolkningen kræver omhu, da der ikke er nogen operator, der repræsenterer tid:

\Delta E \Delta t \geqslant \frac{\hbar}{2}

Dette forhold kan forstås på en af tre mulige måder [9] :

$\Delta E$ er usikkerheden af energien i tilstanden af mikroobjektet, som er i denne tilstand for tid . $\Delta t$
$\Delta E$ er usikkerheden af mikroobjektets energi i en eller anden proces med varighed . $\Delta t$
$\Delta E$ - den maksimale nøjagtighed ved bestemmelse af energien i et kvantesystem, opnåelig ved en måleproces, der varer tid . $\Delta t$

Der er ingen konsensus om udledningen af denne relation fra kvantemekanikkens andre aksiomer [10] .

Usikkerhedsforhold mellem antallet af fotoner og bølgefasen. Overvej monokromatisk elektromagnetisk stråling i et bestemt volumen. Fra et korpuskulært synspunkt er det en samling af fotoner med energien fra hver foton . Fra bølgesynspunktet er det en klassisk bølge med fase . Korpuskulær- og bølgestørrelserne er relateret til usikkerhedsrelationen: $N$ $\hbar \omega$ $\Phi =\omega t$ $N$ $\Phi$

\Delta N\Delta \Phi \geqslant 1

Dette forhold følger af usikkerhedsforholdet for energi og tid. Det tager tid at måle energien af ethvert kvanteobjekt med nøjagtighed . Usikkerheden på energien i fotonerkollektivet , hvor er usikkerheden på antallet af fotoner. Det tager tid at måle det . I løbet af denne tid vil ændringen i bølgens fase . Vi får [11] . $\Delta E$ $\Delta t\geqslant {\frac {\hbar }{\Delta E))$ $\Delta E=\hbar \omega \Delta N$ $\Delta N$ $\Delta t\geqslant {\frac {\hbar }{\hbar \omega \Delta N))$ $\Delta \Phi =\omega \Delta t$ $\Delta \Phi \geqslant {\frac {1}{\Delta N))$

Usikkerhedsforholdet mellem gravitationsradius og partiklens radiale koordinat: , $\Delta r_{g}\Delta r\geqslant \ell _{P}^{2}$

hvor er gravitationsradius , er den radiale koordinat , er Planck-længden , som er en anden form for Heisenberg-usikkerhedsrelationen mellem momentum og koordinat som anvendt på Planck-skalaen . [12] Faktisk kan denne relation skrives som følger: , hvor er gravitationskonstanten , er kroppens masse, er lysets hastighed , er Dirac-konstanten . Ved at reducere de samme konstanter til venstre og højre, når vi frem til Heisenberg-usikkerhedsforholdet . Den etablerede usikkerhedsrelation forudsiger fremkomsten af virtuelle sorte huller og ormehuller ( kvanteskum ) på Planck-skalaen. $r_{g}$ $r$ $\ell _{{P}}$ $\Delta (2Gm/c^{2})\Delta r\geqslant G\hbar /c^{3}$ $G$ $m$ $c$ $\hbar$ $\Delta (mc)\Delta r\geqslant \hbar /2$

Dissipation af usikkerhedsforhold - tid. Forbinder hastigheden af entropiproduktion i et ikke-ligevægts stokastisk system med den gennemsnitlige færdiggørelsestid for udviklingsprocessen for dette system : [13] $\langle {\dot {S}}_{e}\rangle$ ${\mathfrak {T}}$

\langle {\dot {S}}_{e}\rangle {\mathfrak {T}}\geq k_{B}

Det er blevet eksperimentelt verificeret. [fjorten]

Det skal understreges, at for at opfylde sætningens betingelser er det nødvendigt, at begge selvadjoint-operatorer defineres på det samme sæt funktioner. Et eksempel på et par operatorer, for hvilke denne betingelse er overtrådt, er vinkelmomentprojektionsoperatoren og azimutvinkeloperatoren . Den første af dem er kun selvtilsluttende på sættet af periodiske funktioner, mens operatøren åbenbart udleder fra dette sæt. For at løse det problem, der er opstået, kan du tage i stedet for , hvilket vil føre til følgende form for usikkerhedsprincippet [** 1] : $L_{z}$ $\varphi$ $2\pi$ $\varphi$ $\varphi$ $\sin\varphi$

\langle (\Delta L_{z})^{2}\rangle \langle (\Delta \sin \varphi )^{2}\rangle \geqslant {\frac {\hbar ^{2}}{4}}\ langle (\cos \varphi )^{2}\rangle

. Men under periodicitetsbetingelsen er det ikke væsentligt, og usikkerhedsprincippet tager den sædvanlige form:

\langle (\varphi )^{2}\rangle \ll \pi ^{2}

\langle (\Delta L_{z})^{2}\rangle \langle (\Delta \varphi )^{2}\rangle \geqslant {\frac {\hbar ^{2}}{4}}

Bemærk

For en tredimensionel oscillator tager usikkerhedsprincippet formen:

\langle \Delta L_{z}\rangle {\frac {\langle \Delta \varphi \rangle }{(1-{\frac {3(\langle \Delta \varphi \rangle )^{2)){\pi ^{2}}})}}\geqslant {\frac {\hbar }{2}}

og for operatøren af antallet af partikler og vinkel formen: $n$ $\varphi$

{\frac {[(\langle \Delta n\rangle )^{2}+(\langle n\rangle +{\frac {1}{2)))^{2}]^{{\frac {1} {2}}}\langle \Delta \varphi \rangle }{(1-{\frac {3(\langle \Delta \varphi \rangle )^{2}}{\pi ^{2}}})}} \geqslant {\frac {\hbar }{2))

(Se A. I. Baz, Ya. B. Zeldovich, A. M. Perelomov. Spredning, reaktioner og henfald i ikke-relativistisk kvantemekanik. 2. udgave, M., Nauka, 1971, s. 58-59. )

Afledning i kvantestimeringsteori

Koordinat-momentum usikkerhedsprincippet er alternativt udledt som et maximum likelihood-estimat i kvanteestimeringsteorien [15] .

Usikkerhedsprincippet tid-energi er alternativt udledt som et udtryk for kvante Cramer-Rao uligheden i kvanteestimeringsteorien , i det tilfælde hvor positionen af en partikel måles [16] .

Fortolkninger

Albert Einstein brød sig ikke så meget om usikkerhedsprincippet og udfordrede Niels Bohr og Werner Heisenberg med et berømt tankeeksperiment (Se Bohr-Einstein diskussion ): fyld en kasse med radioaktivt materiale, der udsender stråling tilfældigt. Kassen har en åben lukker, som umiddelbart efter påfyldning lukkes af et ur på et bestemt tidspunkt, hvilket tillader en lille mængde stråling at slippe ud. Tiden er således allerede præcis kendt. Vi ønsker stadig at måle den energikonjugerede variabel nøjagtigt. Einstein foreslog at gøre dette ved at veje kassen før og efter. Ækvivalens mellem masse og energi ifølge speciel relativitet vil give dig mulighed for nøjagtigt at bestemme, hvor meget energi der er tilbage i kassen. Bohr protesterede som følger: Hvis energien forsvinder, vil lighterboksen bevæge sig lidt på vægten. Dette vil ændre urets position. Således afviger ure fra vores faste referenceramme , og ifølge den særlige relativitetsteori vil deres måling af tid afvige fra vores, hvilket fører til en uundgåelig fejlværdi. En detaljeret analyse viser, at unøjagtigheden er korrekt givet af Heisenberg-relationen.

Inden for den bredt, men ikke alment accepterede københavnske fortolkning af kvantemekanik, er usikkerhedsprincippet accepteret på et elementært niveau. Det fysiske univers eksisterer ikke i en deterministisk form, men snarere som et sæt af sandsynligheder eller muligheder. For eksempel kan mønsteret (sandsynlighedsfordelingen) produceret af millioner af fotoner, der diffrakterer gennem en spalte, beregnes ved hjælp af kvantemekanik, men den nøjagtige vej for hver foton kan ikke forudsiges med nogen kendt metode. Den københavnske fortolkning hævder, at dette ikke kan forudsiges med nogen metode overhovedet.

Det var denne fortolkning, Einstein satte spørgsmålstegn ved, da han skrev til Max Born : "Gud spiller ikke terninger" [** 2] . Niels Bohr , som var en af forfatterne til Københavnertolkningen, svarede: "Einstein, sig ikke til Gud, hvad han skal gøre" [** 3] .

Einstein var overbevist om, at denne fortolkning var forkert. Hans ræsonnement var baseret på det faktum, at alle allerede kendte sandsynlighedsfordelinger var resultatet af deterministiske begivenheder. Fordelingen af et møntkast eller en rullende terning kan beskrives ved en sandsynlighedsfordeling (50 % hoveder, 50 % haler). Men det betyder ikke, at deres fysiske bevægelser er uforudsigelige. Almindelig mekanik kan beregne præcis, hvordan hver mønt vil lande, hvis de kræfter, der virker på den, er kendte, og hoveder/haler stadig er fordelt tilfældigt (med tilfældige begyndelseskræfter).

Einstein antog, at der er skjulte variabler i kvantemekanikken , der ligger til grund for observerbare sandsynligheder.

Hverken Einstein eller nogen anden siden har været i stand til at konstruere en tilfredsstillende teori om skjulte variabler, og Bells ulighed illustrerer nogle meget tornede veje i forsøget på at gøre det. Selvom adfærden af en individuel partikel er tilfældig, er den også korreleret med adfærden af andre partikler. Derfor, hvis usikkerhedsprincippet er resultatet af en eller anden deterministisk proces, så viser det sig, at partikler på store afstande straks skal transmittere information til hinanden for at garantere korrelationer i deres adfærd.

Usikkerhedsprincippet i populærlitteraturen

Usikkerhedsprincippet er ofte forkert er forstået eller rapporteret i den populære presse. En almindelig fejlsætning er, at observation af en begivenhed ændrer selve begivenheden. . Generelt har dette intet at gøre med usikkerhedsprincippet. Næsten enhver lineær operator ændrer den vektor, den virker på (det vil sige, næsten enhver observation ændrer tilstand), men for kommutative operatorer er der ingen begrænsninger for den mulige spredning af værdier ( se ovenfor ). For eksempel kan projektionerne af momentum på akserne og måles sammen så nøjagtigt som ønsket, selvom hver måling ændrer systemets tilstand. Derudover handler usikkerhedsprincippet om parallel måling af mængder for flere systemer, der er i samme tilstand, og ikke om sekventielle interaktioner med det samme system. $x$ $y$

Andre (også vildledende) analogier med makroskopiske effekter er blevet foreslået for at forklare usikkerhedsprincippet: en af dem involverer at trykke på et vandmelonfrø med din finger. Effekten er kendt - det er umuligt at forudsige, hvor hurtigt eller hvor frøet forsvinder. Dette tilfældige resultat er udelukkende baseret på tilfældighed, som kan forklares i enkle klassiske termer.

I nogle science fiction -historier kaldes enheden til at overvinde usikkerhedsprincippet Heisenberg-kompensatoren, mest berømt brugt på rumskibet Enterprise fra science fiction-tv-serien Star Trek i en teleporter. Det vides dog ikke, hvad "at overvinde usikkerhedsprincippet" betyder. På et af pressemøderne blev serieproduceren Gene Roddenberry spurgt "Hvordan virker Heisenberg-kompensatoren?", hvortil han svarede "Tak, godt!"

I Frank Herberts Dune: "Fremsyn," indså han, "er som en lysstråle, ud over hvilken intet kan ses, den bestemmer det nøjagtige mål ... og muligvis fejl"[ angiv ] . Det viser sig, at noget som Heisenbergs usikkerhedsprincip lå i hans visionære evner: For at se skal du bruge energi, og ved at bruge energi ændrer du det, du ser.

Videnskabelig humor

Den usædvanlige karakter af Heisenbergs usikkerhedsprincip og dets iørefaldende navn har gjort det til kilden til en række vittigheder. Det hævdes, at en populær graffiti på væggene i fysikafdelingen på universitetscampusser er: "Heisenberg kan have været her."

I en anden joke om usikkerhedsprincippet bliver en kvantefysiker stoppet på en motorvej af en politimand og spørger: "Ved du, hvor hurtigt du kørte, sir?" Hvortil fysikeren svarer: "Nej, men jeg ved præcis, hvor jeg er!".

Se også

Noter

↑ Hvert par af konjugerede størrelser har sit eget usikkerhedsforhold, selvom det har samme form ; derfor bruges dette udtryk ofte i flertal ( usikkerhedsrelationer ), både i tilfældet, når det kommer til usikkerhedsforhold generelt, og i tilfælde, hvor flere specifikke forhold er ment for forskellige størrelser, og ikke kun for et par. $\Delta A\cdot \Delta B\geqslant \hbar$
↑ Der er dog måder at delvist omgå disse begrænsninger i forbindelse med svage målinger .
↑ I princippet gælder dette ikke kun for partikler, men også for alle dynamiske objekter, for eksempel et felt, for hvilket feltvariable fungerer som en analog af partikelkoordinater, og kanoniske impulser forbundet med en ændring i feltet med tiden tjener som en analog af partikelmomentumkomponenter.
↑ I eksemplet med en partikel i en kasse er momentummodulet dog defineret, men dets retning er ikke defineret.
↑ Den enkleste måde at illustrere denne egenskab på er som følger. Lad der være en funktion f ( x ) og dens Fourier-billede (spektrum) F ( k ) - det vil sige, det er indlysende, at hvis vi "komprimerer funktionen f " med x gange A gange, vil vi gå til funktion f A ( x ) = f ( Ax ) , så vil dens spektrum blive udvidet med det samme antal gange: F A ( k ) = const F ( k / A ) , da frekvensen af hver spektral harmonisk af denne udvidelse vil skal naturligvis ganges med A. Denne illustration er strengt taget selvfølgelig ret privat, men den afslører den fysiske betydning af den illustrerede egenskab: Når vi komprimerer et signal, stiger dets frekvenser med samme faktor. Det er ikke meget vanskeligere at opnå en lignende konklusion for tilfældet med gaussiske bølgepakker ved direkte beregning , der viser, at halvbredden af en Gaussisk bølgepakke er omvendt proportional med halvbredden af dens spektrum (som også har en Gaussisk form). Mere generelle sætninger kan også bevises, idet de reducerer nøjagtigt til Heisenberg-usikkerhedsrelationen, kun uden ħ på højre side (eller, med andre ord, nøjagtig gentagelse af Heisenberg-usikkerhedsrelationen for ħ = 1 ). $f(x)=\int F(k)e^{{ikx}}dk.$ $e^{{ikx}}$

Litteratur

Kilder

↑ A. S. Davydov Kvantemekanik, 2. udgave, - M . : Nauka, 1973.
↑ Mere præcist: “Teori giver meget, men den bringer os ikke nærmere den Gamle Mands mysterier. Jeg er i hvert fald overbevist om, at [han] ikke spiller terninger " Brev til Max Born, 12. december 1926, op. Einstein, The Life and Times ISBN 0-380-44123-3
↑ Chad Meister Introduktion til religionsfilosofi . Hentet 9. maj 2011. Arkiveret fra originalen 16. maj 2011. (ubestemt)

Shirokov Yu. M. , Yudin N. P. Kernefysik. - M. : Nauka, 1972. - 670 s.
Yavorsky BM håndbog i fysik for ingeniører og universitetsstuderende. - M . : Oniks, 2007. - 1056 s. - ISBN 978-5-488-01248-6 .
Ponomarev L.I. På den anden side af kvantummet. - M . : Ung Garde, 1971. - 304 s.

Tidsskriftsartikler

Heisenberg W. Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik. — Zeitschrift fur Physik. - 1927. - Bd. 43. - S. 172-198. (Engelsk oversættelse i bogen:: Wheeler JA, Zurek H. Quantum Theory and Measurement. - Princeton Univ. Press. - 1983. - S. 62-84).
Mandelstam L. I. , Tamm I. E. Energi-tidsusikkerhedsrelationen i ikke-relativistisk kvantemekanik . - Izv. Acad. Videnskaber i USSR (ser. fysisk). - 1945. - T. 9. - S. 122-128.
Folland G., Sitaram A. Usikkerhedsprincippet: En matematisk undersøgelse. — Journal of Fourier Analysis and Applications. - 1997. - S. 207-238.
Sukhanov AD En ny tilgang til energi-tidsusikkerhedsrelationen. — Fysik af elementarpartikler og atomkernen. - 2001. - Bind 32. Nummer. 5. - S. 1177.

Om Schrödinger usikkerhedsforhold

Schrödinger E. Om Heisenberg-usikkerhedsprincippet // Udvalgte værker om kvantemekanik. - M .: Nauka, 1976. - S. 210-217.
Dodonov VV, Man'ko VI Generaliseringer af usikkerhedsrelationer i kvantemekanik. - Sager fra FIAN i USSR. - 1987. - Bind 183. - S. 5-70.
Sukhanov AD Schrödinger usikkerhedsrelationer og fysiske træk ved korrelerede-kohærente tilstande. — Teoretisk og matematisk fysik . - 2002. - Bind 132, nr. 3. - S. 449-468.
Sukhanov AD Schrödinger-usikkerhedsrelationen for en kvanteoscillator i en termostat. — Teoretisk og matematisk fysik . - 2006. - Bind 148, nr. 2. - S. 295-308.
Tarasov VE Usikkerhedsrelation for ikke-Hamiltonske kvantesystemer. (utilgængeligt link) - Journal of Mathematical Physics. - 2013. - Bd. 54.-Nr. 1. - 012112.
Tarasov VE Afledning af usikkerhedsrelationen for kvante Hamilton-systemer. — Moskvas videnskabelige gennemgang. - 2011, nr. 10. - C. 3-6.

Derudover

↑ Kline B. På Søgning. Fysikere og kvanteteori. - M., Atomizdat, 1971. - Oplag 58.000 eksemplarer. - Med. 192-216
↑ Heisenberg V. Udviklingen af fortolkningen af kvanteteori // Niels Bohr og fysikkens udvikling. - M., IL, 1958. - s. 23-45
↑ Shirokov, 1972 , s. tyve.
↑ Gott V.S. Moderne fysiks filosofiske spørgsmål. - M .: Højere skole, 1972. - S. 63.
↑ Yavorsky B. M., Pinsky A. A. Fundamentals of Physics: Lærebog. I 2 bind T. 1. Mekanik. Molekylær fysik. Elektrodynamik / Ed. Yu. I. Dika. - 5. udgave, stereo. - M.: FIZMATLIT, 2003. - ISBN 5-9221-0382-2 . - S. 136-139.
↑ Landau L. D., Lifshitz E. M. Kvantemekanik. - M., Nauka, 1972. - s. 264-265
↑ Medvedev B.V. Begyndelsen af teoretisk fysik. Mekanik, feltteori, elementer af kvantemekanik. — M.: FIZMATLIT, 2007. — ISBN 978-5-9221-0770-9 . - S. 453.
↑ Shirokov, 1972 , s. 262.
↑ Yavorsky, 2007 , s. 744.
↑ Yu . I. Vorontsov Usikkerhedsforhold energi - måletid
↑ Tarasov L. V. Usikkerhedsforhold // Grundlæggende om kvantemekanik. - M: Højere skole, 1978. - S. 42.
↑ Philosophy Documentation Center, Western University, Canada, 2017, s.25-30 . Hentet 29. november 2020. Arkiveret fra originalen 1. juli 2019. (ubestemt)
↑ Gianmaria Falasco, Massimiliano Esposito The dissipation-time uncertainty relation // Phys. Rev. Lett. 125, 120604 (2020)
↑ L.-L. Yan, J.-W. Zhang, M.-R. Yun, J.-C. Li, G.-Y. Ding, J.-F. Wei, J.-T. Bu, B. Wang, L. Chen, S.-L. Su, F. Zhou, Y. Jia, E.-J. Liang og M. Feng Eksperimentel verifikation af usikkerhedsforhold mellem dissipation og tid Arkiveret 8. marts 2022 på Wayback Machine // Phys. Rev. Lett. 128, 050603 — Udgivet 4. februar 2022
↑ Helstrom K. Kvantestimeringsteori . Maksimal sandsynlighedsvurdering. Usikkerhedsprincippet // Kvanteteori om hypotesetestning og estimering - M.: Mir, 1979. - S. 272-277.
↑ Helstrom K. Kvantestimeringsteori . Quantum Cramer-Rao ulighed. Skiftparameter og usikkerhedsforhold mellem tid og energi // Kvanteteori om hypotesetestning og estimering - M.: Mir, 1979. - P. 301-302.