Radon transformation

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 30. maj 2019; checks kræver 3 redigeringer .

Radon-transformationen er en integreret transformation af en funktion af mange variable, beslægtet med Fourier-transformationen . Først introduceret i den østrigske matematiker Johann Radons arbejde i 1917 [1] .

Den vigtigste egenskab ved Radon-transformationen er reversibilitet , det vil sige evnen til at genoprette den oprindelige funktion fra dens Radon-transformation.

2D Radon transformation

Betragtning af Radon-transformationen er praktisk at starte med det enkleste tilfælde af en funktion af to variable, desuden er det dette tilfælde, der er vigtigst i praksis.

Lad en funktion af to reelle variable, defineret på hele planet og henfalde tilstrækkeligt hurtigt ved uendelighed (så de tilsvarende ukorrekte integraler konvergerer). Så er radontransformationen af en funktion funktionen $f(x,y)$ $f(x,y)$

R(s,\alpha )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(s\cos \alpha -z\sin \alpha ,s\sin \alpha +z\cos \ alfa )dz

(en)

Radontransformationen har en simpel geometrisk betydning - det er integralet af en funktion langs en lige linje vinkelret på vektoren og passerer i en afstand (målt langs vektoren , med det tilsvarende tegn) fra oprindelsen. ${\vec {n}}=(\cos \alpha ,\sin \alpha )$ $s$ ${\vec {n}}$

Forholdet mellem Radon-transformationen og Fourier-transformationen. Konverteringsformlen

Overvej den todimensionelle Fourier-transformation af funktionen $f(x,y)$

F(k_{x},k_{y})=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x, y)e^{-i(k_{x}x+k_{y}y)}dxdy

(2)

Det kan ses, at eksponenten i dette integral ikke ændres, hvis vi bevæger os langs en ret linje vinkelret på vektoren , og ændres hurtigst, hvis vi bevæger os langs denne vektor. Derfor er det praktisk at gå videre til nye variabler. Betegn , vi vælger nye variabler . Ved at lave en ændring af variable i integralet får vi ${\vec {k}}=(k_{x},k_{y})$ ${\vec {k}}=(k_{x},k_{y})=\omega (\cos \alpha ,\sin \alpha )$ $s=x\cos \alpha +y\sin \alpha ,$ $z=-x\sin \alpha +y\cos \alpha$

F(\omega \cos \alpha ,\omega \sin \alpha )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left(\int \limits _{-\infty }^{ \infty }f(s\cos \alpha -z\sin \alpha ,s\sin \alpha +z\cos \alpha )e^{-i\omega s}dz\right)ds

det er

F(\omega \cos \alpha ,\omega \sin \alpha )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-i\omega s}R(s,\alpha )ds

(3)

Således er den endimensionelle Fourier-transformation af Radon-transformationen for en funktion intet mere end en $f(x,y)$ todimensionel Fourier-transformation af funktionen . $f(x,y)$

Da Fourier-transformationen af funktionen eksisterer (dette er en nødvendig indledende antagelse), så eksisterer den inverse Fourier-transformation af funktionen også . Under hensyntagen til (3) kan vi konkludere, at den omvendte radontransformation også skal eksistere. $f(x,y)$ $F(\omega \cos \alpha ,\omega \sin \alpha )$

Inversionsformlen for den todimensionelle Fourier-transformation er kendt for at være som følger

f(x,y)={\frac {1}{(2\pi )^{2))}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{- \infty }^{\infty }F(k_{x},k_{y})e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}dk_{x}dk_{y}.

Det er praktisk at omskrive denne formel i polære koordinater :

f(x,y)={\frac {1}{(2\pi )^{2))}\int \limits _{0}^{\infty }\int \limits _{0}^ {2\pi }e^{i\omega (x\cos \alpha +y\sin \alpha )}F(\omega \cos \alpha ,\omega \sin \alpha )\omega d\alpha d\omega

som, givet (3), giver formlen for den omvendte radontransformation :

f(x,y)={\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0} ^{\infty }e^{i\omega (x\cos \alpha +y\sin \alpha )}\ {\tilde {R))(\omega ,\alpha )\omega d\omega d\alpha

(fire),

hvor . ${\tilde {R}}(\omega ,\alpha )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }R(s,\alpha )e^{-i\omega s}ds$

Udtryk (4), ud over at være en af mulighederne for at skrive den omvendte Radon-transformation, bestemmer også metoden til rekonstruktion ud fra dens projektioner , kaldet af eksperter Fourier-syntesemetoden. I Fourier-syntesemetoden er det således først nødvendigt at danne et todimensionalt spektrum ud fra et stort antal endimensionelle Fourierbilleder af projektioner over et polært gitter (i dette tilfælde bruges den centrale sektionssætning), og derefter udføre den inverse todimensionelle Fourier-transformation i det polære koordinatsystem fra . Der er andre rekonstruktionsmetoder fra [2] $f(x,y)$ $R(s,\alpha _{i})$ ${\tilde {R}}(\omega ,\alpha _{i})$ ${\tilde {R}}(\omega ,\alpha )$ ${\tilde {R}}(\omega ,\alpha )$ $f(x,y)$ $R(s,\alpha )$

Central sektionssætning

Lad os anvende operationen af den direkte Fourier-transformation til Radon-transformationen af : $f(x,y)$ $\int \limits _{-\infty }^{\infty }R(s,\alpha )e^{-i\omega s}ds=$ $\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left(\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\delta (sx\cos \alpha -y\sin \alpha )dxdy\right)e^{-i\omega s}ds$

Omarrangering af integrationsrækkefølgen og anvendelse af filtreringsegenskaben for deltafunktionen fører til formuleringen af den centrale sektionssætning: $\int \limits _{-\infty }^{\infty }R(s,\alpha )e^{-i\omega s}ds=$ $\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left(\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-i\omega s}\delta (sx\cos \alpha -y\sin \alpha )ds\right)f(x,y)dxdy=\int \limits _{-\infty }^{\ infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x,y)e^{-i\omega (x\cos \alpha +y\sin \alpha )}dxdy$

Især af den sidste lighed følger det, at Fourier-transformationen af projektionen er spektret af funktionen langs den rette linje, der går gennem oprindelsen i frekvensplanet i en vinkel . Fourier-transformationen af projektionen er således den centrale del af den todimensionelle Fourier-transformation af funktionen . I litteraturen kaldes denne egenskab for det centrale lag eller centrale sektionssætning. $R(s,\alpha )$ $f(x,y)$ $\alpha +\pi /2$ $f(x,y)$

Anvendelse af Radon-transformationen

I computer-røntgen-tomografi måler en linje af detektorer absorptionen af en parallel stråle af stråling af det objekt, der undersøges (for eksempel røntgenstråler i medicinsk tomografi, seismiske bølger i geofysisk tomografi). I overensstemmelse med Bouguer-Lambert-Beer-loven er strålingsintensiteten målt af detektoren i punktet s af bjælken proportional med , hvor absorptionskoefficienten for objektets stof for en given type stråling, og integralet tages med den rette linje, der går gennem denne detektor og vinkelret på detektorstangen ( z er koordinaten på denne ret). Følgelig giver logaritmen af intensiteten, taget med det modsatte fortegn, Radon-transformationen fra absorptionsindekset. Ved at rotere systemet af strålingskilde og detektor rundt om objektet (mens det forbliver i samme plan), eller ved at rotere selve objektet omkring en akse vinkelret på planet vist på figuren, opnås et sæt strålesummer i den valgte skive af objektet. Derefter er det ved hjælp af en af rekonstruktionsmetoderne muligt at genoprette fordelingen af absorptionsindekset på et hvilket som helst punkt i det sonderede objektplan. ${\displaystyle \exp \left\{-\int \limits _{AA'}\rho (x,y)dz\right\))$ $\rho (x,y)$ $AA'$

Radontransformationer bruges på samme måde i magnetisk resonansbilleddannelse [3] .

Radontransformation for en funktion af et vilkårligt antal variable

Radontransformationen for en funktion af to variable kan bekvemt omskrives i form af et integral over hele rummet ved hjælp af Dirac delta-funktionen :

R(s,{\vec {n)))=\int \delta ({\vec {n}}{\vec {r}}-s)f({\vec {r}})d{ \vec{r}}

(2)

Her er radiusvektoren fra oprindelsen, er det todimensionelle volumenelement og er enhedsvektoren, som kan parametreres som . Ved hjælp af ændringen af variabler er det let at verificere, at definitionerne af Radon-transformationen (1) og (2) er fuldstændig identiske. ${\vec {r}}=(x,y)$ $d{\vec {r}}=dxdy$ ${\vec {n}}$ ${\vec {n}}=(\cos \alpha ,\sin \alpha )$

Formel (2) er generaliseret til tilfældet med et vilkårligt antal dimensioner, for dette behøver det ikke engang at blive omskrevet, det er nok til henholdsvis og forstå dimensionsradiusvektoren fra oprindelsen, volumenelementet i dimensionsrum og den dimensionelle enhedsvektor. I princippet kan en vektor parametriseres med vinkler i et rum med et vilkårligt antal dimensioner. For eksempel er der i tredimensionelt rum en parametrisering . ${\vec {r))$ $dV$ ${\vec {n}}$ $N$ $N$ $N$ ${\vec {n}}$ ${\vec {n}}=(\sin \theta \cos \alpha ,\sin \theta \sin \alpha ,\cos \theta )$

Den geometriske betydning af Radon-transformationen i det flerdimensionale tilfælde: integralet af funktionen langs hyperplanet , vinkelret på vektoren og passerer i en afstand fra oprindelsen (taget med et minustegn, hvis vinkelret fra oprindelsen til planet er modsat rettet med vektoren ). ${\vec {n}}$ $s$ ${\vec {n}}$

Reversering af den multidimensionelle Radon-transformation

I det multidimensionelle tilfælde er Radon-transformationen af en god nok funktion også reversibel. Overvej Fourier-transformationen af med hensyn til variablen , dvs. $R(s,{\vec {n)))$ $s$

\int R(s,{\vec {n)))e^{-is\omega }ds

Ved at bruge formel (2) og egenskaberne for deltafunktionen får vi:

\int R(s,{\vec {n)))e^{-is\omega }ds=\int f({\vec {r)))e^{-i{\vec {r} }{\vec {n}}\omega }d{\vec {r}}

Bemærk nu, at der er et integral over hele det dimensionelle rum (her betyder integralet integralet over den dimensionelle sfære, især for , for ). Den følger det $\int \limits _{0}^{\infty }\omega ^{N-1}d\omega \int d{\vec {n))$ $N$ $\int d{\vec {n))$ $(N-1)$ $N=2$ $\int d{\vec {n}}=\int \limits d\alpha$ $N=3$ $\int d{\vec {n}}=\int \limits d\phi \cos \theta d\theta$

\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\omega ^{N-1}d\omega }{(2\pi )^{N))}\int d{\vec {n}}e^{i({\vec {r}}'-{\vec {r}})\omega {\vec {n}}}=\delta ({\vec {r}}-{\ vec{r}}')

Ved at bruge denne repræsentation af vektordelta-funktionen får vi inversionsformlen:

f({\vec {r}}')=\int d{\vec {n}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\omega ^{N-1} d\omega }{(2\pi )^{N}}}e^{i{\vec {r}}'{\vec {n}}\omega }\int dse^{-is\omega }R( s,{\vec {n)))

Se også

Noter

↑ J. Radon. Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten // Berichte Sächsische Akademie der Wissenschaften , Bande 29, s. 262-277, Leipzig, 1917.
↑ Kapitel 1 (downlink) . Hentet 15. oktober 2012. Arkiveret fra originalen 18. september 2010. (ubestemt)
↑ Deans SR, Roderick S. Radontransformationen og nogle af dens anvendelser. — New York: John Wiley & Sons, 1983. — 289 s. — ISBN 047189804X .

Litteratur

Gruzman I. S. Matematiske problemer med computertomografi // Soros Educational Journal nr. 5, 2001.
Deans SR Radontransformen og nogle af dens applikationer. — New York: John Wiley & Sons, 1983.
Natterer F. The Mathematics of Computerized Tomography (Classics in Applied Mathematics, 32). - Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2001. - ISBN 0-89871-493-1 .
Natterer F., Wubbeling F. Matematiske metoder i billedrekonstruktion. - Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2001. - ISBN 0-89871-472-9 .

Integrale transformationer
Abel transformerer Bessel forvandler sig Bushman transformation Gegenbauer transformation Hilbert transformation Kontorovich-Lebedev transformation Laplace transformation Meyer transformation Mehler-Fock transformation Mellin transformation Nerain transformation Radon transformation Stieltjes transformerer Fourier transformation Hankel transformation Hartley transformation