Funktionsgrænse

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 18. august 2022; checks kræver 8 redigeringer .

Grænsen for en funktion ( grænseværdien af en funktion ) ved et punkt, der er begrænsende for definitionsdomænet for en funktion, er en sådan værdi, som værdien af den betragtede funktion tenderer til, når dens argument tenderer til et givet punkt. Et af de grundlæggende begreber i matematisk analyse .

Grænsen for en funktion er en generalisering af begrebet grænsen for en sekvens . Oprindeligt blev grænsen for en funktion i et punkt forstået som grænsen for rækkefølgen af funktionsværdier: , svarende til sekvensen af elementer i funktionens domæne , konvergerende til punktet . Hvis en sådan grænse eksisterer, siges funktionen at konvergere til den angivne værdi, ellers siges funktionen at divergere. $f(x)$ $x$ $f(x_{1}),f(x_{2}),f(x_{3}),\dots$ $x_{1},x_{2},x_{3}\dots$ $x$

Oftest er definitionen af grænsen for en funktion formuleret i kvarterets sprog . Det faktum, at grænsen for en funktion kun betragtes på punkter, der er begrænsende for funktionens definitionsdomæne, betyder, at der i ethvert nabolag til et givet punkt er punkter i definitionsdomænet. Dette giver os mulighed for at tale om funktionsargumentets tendens til et givet punkt. I dette tilfælde behøver grænsepunktet for definitionsdomænet ikke at tilhøre selve definitionsdomænet: for eksempel kan man overveje grænsen for en funktion i enderne af et åbent interval , som funktionen er defineret på (den enderne af selve intervallet er ikke inkluderet i definitionsdomænet).

I det generelle tilfælde er det nødvendigt specifikt at angive metoden til konvergens af funktionen, for hvilken den såkaldte base af delmængder af funktionens domæne introduceres, og derefter formuleres definitionen af grænsen for funktionen iht. til den (givne) base. I denne forstand er systemet med punkterede kvarterer i et givet punkt et særligt tilfælde af en sådan base af sæt.

På grund af overvejelsen af den udvidede reelle linje (på hvilken kvarterets base også kan bygges til et punkt i det uendelige), er det muligt at definere sådanne begreber som grænsen for en funktion, da argumentet har en tendens til uendelig, samt selve funktionens tendens til det uendelige. Grænsen for en sekvens (som grænsen for en funktion af et naturligt argument) er blot et eksempel på konvergens i basen "argumentets tendens til uendelighed".

Fraværet af en funktionsgrænse i et punkt betyder, at man for en hvilken som helst given værdi af værdiintervallet kan vælge et sådant område af denne værdi, at der i et hvilket som helst vilkårligt lille område af det punkt, hvor funktionen antager en given værdi, er punkter, hvor værdien af funktionen vil være uden for det angivne kvarter.

Hvis der er en grænse på et tidspunkt af funktionens domæne, og denne grænse er lig med værdien af funktionen på det givne punkt, så kaldes funktionen kontinuert på det givne punkt.

Definitioner

Overvej et funktions- og aspirationspunkt, som er et begrænsningspunkt for definitionsdomænet , men som ikke behøver at tilhøre det. Der er flere tilsvarende definitioner af grænsen for en funktion - blandt dem er dem formuleret af Heine og Cauchy . $f(x)$ $x_0,$ $f,$

Heine-grænsen for en funktion

En værdi kaldes en grænse ( grænseværdi ) for en funktion i et punkt, hvis for en hvilken som helst sekvens af punkter, der konvergerer til, men ikke indeholder som et af dens elementer (det vil sige i et punkteret kvarter ), sekvensen af værdier af funktion konvergerer til [1] . $EN$ $f(x)$ $x_0,$ $\left\{ x_n \right\}_{n=1}^{\infty}$ $x_{0}$ $x_{0}$ $x_{0}$ ${\displaystyle \{f(x_{n})\}_{n=1}^{\infty ))$ $EN$

Cauchy-grænsen for en funktion

En værdi kaldes en grænse ( grænseværdi ) for en funktion ved et punkt, hvis det for et hvilket som helst positivt tal er muligt at vælge et positivt tal svarende til det , således at uligheden for alle argumenter, der opfylder betingelsen , er opfyldt: det vil sige [1 ] . $EN$ $f(x)$ $x_0,$ $\varepsilon$ $\delta =\delta (\varepsilon )$ $x$ $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta ,$ $0\leqslant |f(x)-A|<\varepsilon ,$ $|f(x)-A|<\varepsilon$

\lim _{x\to x_{0}}f(x)=A\Leftrightarrow {\Big [}\forall \varepsilon >0~\exists \delta =\delta {\big (}\varepsilon ) >0~\forall x~(0<|x-x_{0}|<\delta {\big )}\Rightarrow {\big (}|f(x)-A|<\varepsilon {\big )}{ \Stor]},

hvor:

$\for alle$ er den universelle kvantifier ;
$\eksisterer$ er den eksistentielle kvantifier ;
$\Højre pil$ - implikation .

Neighborhood definition af Cauchy grænsen

En værdi kaldes en grænse ( grænseværdi ) for en funktion ved et punkt, hvis der for et hvilket som helst kvarter af punktet eksisterer et punkteret kvarter til punktet , således at billedet af dette kvarter ligger i . Den grundlæggende begrundelse for denne definition af grænse kan findes i artiklen " Grænse langs et filter ". $EN$ $f(x)$ $x_0,$ $O(A)$ $EN$ ${\dot {O}}(x_{0})$ $x_{0}$ ${\displaystyle f{\big (}{\dot {O}}(x_{0}){\big )))$ $O(A)$

\lim _{x\to x_{0}}f(x)=A\venstrehøjrepil {\big [}\forall O(A)~\eksisterer {\dot {O}}(x_{0}) ~f{\big (}{\dot {O}}(x_{0}){\big )}\subseteq O(A){\big ]}.

Indstil basisgrænse

Den mest generelle definition er definitionen af grænsen for en funktion i forhold til basen (ved filterets basis, ved filteret).

Lad være en base af delmængder af definitionsdomænet. Derefter ${\mathcal {B}}$

tallet kaldes grænsen for funktionen med hensyn til (ved) basen , hvis der for nogen er et sådant element af basen, at for enhver er opfyldt . $EN$ ${\mathcal {B}}$ $\varepsilon >0$ $B$ $x\i B$ $|f(x)-A|<\varepsilon$

Hvis er et grænsepunkt for sættet , betyder det, at hvert punkteret kvarter i et punkt i sættet ikke er tomt, og derfor er der en base af punkterede kvarterer ved punktet . Denne base har en speciel betegnelse " " og læser "når man plejer at over sættet ". Hvis funktionens domæne falder sammen med , så udelades sætikonet, så er basen ganske enkelt betegnet med " " og lyder "med tendens til ". $-en$ $E$ $E$ $-en$ $x\til a, x\i E$ $x$ $-en$ $E$ $f$ $\mathbb {R}$ $x\ til a$ $x$ $-en$

Når man kun betragter numeriske funktioner af en reel variabel, tages der også hensyn til baserne for ensidige kvarterer. Til dette overvejes to sæt:

$E_{a}^{-}=E\cap\mathbb{R}_{a}^{-}$ , hvor ; ${\displaystyle \mathbb {R} _{a}^{-}=\{x\in \mathbb {R} \colon x<a\))$
$E_{a}^{+}=E\cap\mathbb{R}_{a}^{+}$ , hvor . ${\displaystyle \mathbb {R} _{a}^{+}=\{x\in \mathbb {R} \colon x>a\))$

Derfor introduceres to baser:

" ", som kort betegnes som " " eller endnu mere simpelt " "; $x\to a, x\in E_{a}^{-}$ $x\til a-, x\i E$ $x\ til a-$
" ", som kort betegnes som " " eller endnu mere simpelt " ". $x\to a, x\in E_{a}^{+}$ $x\til a+, x\i E$ $x\til a+$

Ækvivalens af definitioner

Alle ovenstående definitioner af grænsen for en funktion i et punkt svarer til [1] . For at bevise dette er det nødvendigt og tilstrækkeligt at acceptere det tællelige valgaksiom . I andre formelle systemer, såsom i konstruktiv matematik , afvises ækvivalens dog af eksempler.

Variationer og generaliseringer

Ensidig grænse

Den ensidige grænse for en numerisk funktion i et punkt er en specifik grænse, der indebærer, at funktionsargumentet nærmer sig det angivne punkt fra en bestemt side (venstre eller højre). En numerisk funktion af en reel variabel har en grænse ved et punkt, hvis og kun hvis den har de samme venstre og højre grænser på det punkt.

Begræns langs filteret

Grænsen for en funktion langs et filter er en generalisering af begrebet en grænse til tilfældet med et vilkårligt domæne af en funktion. Ved at specificere særlige tilfælde af definitionsdomænet og grundlaget for filteret på det, kan man få mange af definitionerne af grænser givet i denne artikel.

Grænser ved uendelig

Grænsen for en funktion ved uendelig beskriver adfærden af værdierne af en funktion, når den absolutte værdi af dens argument bliver uendelig stor. Der er forskellige definitioner af sådanne grænser, men de svarer til hinanden.

Grænse ved uendelig ifølge Heine

Lad en numerisk funktion gives på et sæt , som kan indeholde et vilkårligt stort element, det vil sige, for enhver positiv , er der et element af sættet , der ligger uden for segmentets grænser . I dette tilfælde kaldes tallet grænsen for funktionen ved uendelig , hvis for en hvilken som helst sekvens af punkter , der starter fra et bestemt tal n , vil vokse uendeligt i absolut værdi, den tilsvarende sekvens af private værdier af funktionen ved disse punkter konvergerer til tallet $f(x)$ $x$ $\delta$ $x,$ $\venstre[ -\delta, +\delta \right]$ $EN$ $f(x)$ $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty },$ ${\displaystyle \{f(x_{n})\}_{n=1}^{\infty ))$ $EN.$ $\lim _{x\to \infty }f(x)=A\Leftrightarrow \forall \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }{\Big (}{\lim _{n\to \infty }}x_{n}=\infty \Rightarrow \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=A{\Big )}.$
Lad en numerisk funktion gives på en mængde , hvor der for ethvert tal er et element, der ligger til højre for det. I dette tilfælde kaldes tallet grænsen for funktionen ved plus uendelig , hvis for en sekvens af punkter , der starter fra et bestemt tal n , vil vokse uendeligt i en positiv retning, den tilsvarende sekvens af private værdier af funktion på disse punkter konvergerer til tallet . $f(x)$ $x$ $\delta$ $EN$ $f(x)$ $\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty },$ ${\displaystyle \{f(x_{n})\}_{n=1}^{\infty ))$ $EN$ $\lim _{x\to +\infty }f(x)=A\Leftrightarrow \forall \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }(\eksisterer k\in \ mathbb {N} ~\forall l\in \mathbb {N} ~l>k\Rightarrow x_{l}>0)\land {\Big (}{\lim _{n\to \infty ))x_{n }=\infty \Rightarrow \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=A{\Big )},$ hvor er konjunktionen . $\jord$
Lad en numerisk funktion gives på en mængde , hvor der for ethvert tal er et element liggende til venstre for det. I dette tilfælde kaldes tallet grænsen for funktionen ved minus uendeligt kun under den betingelse, at for enhver uendelig stor sekvens af negative punkter konvergerer den tilsvarende sekvens af delværdier af funktionen i disse punkter til tallet . $f \venstre( x \højre)$ $x$ $\delta$ $EN$ $f \venstre( x \højre)$ $\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$ $\left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n = 1}^{\infty}$ $EN$ $\lim _{x\to -\infty }f(x)=A\Leftrightarrow \forall \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }(\eksisterer k\in \ mathbb {N} ~\forall l\in \mathbb {N} ~l>k\Rightarrow x_{l}<0)\land {\Big (}{\lim _{n\to \infty ))x_{n }=\infty \Rightarrow \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=A{\Big )}.$

Grænse ved uendelig ifølge Cauchy

Lad en numerisk funktion gives på et sæt , hvor der er et vilkårligt stort element, det vil sige, for ethvert positivt element i det, er der et element, der ligger uden for segmentets grænser . I dette tilfælde kaldes tallet grænsen for funktionen ved uendelig , hvis der for et vilkårligt positivt tal findes et positivt tal svarende til det , således at for alle punkter, der overstiger i absolut værdi , er uligheden sand . $f(x)$ $x$ $\delta$ $[-\delta ,+\delta ]$ $EN$ $f(x)$ $\varepsilon$ $\delta$ $\delta$ $|f(x)-A|<\varepsilon$ $\lim _{x\to \infty }f(x)=A\venstrehøjrepil \forall \varepsilon >0~\eksisterer \delta =\delta (\varepsilon )>0~\forall x\in X~| x|>\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon .$
Lad en numerisk funktion gives på en mængde , hvor der for ethvert tal er et element, der ligger til højre for det. I dette tilfælde kaldes tallet grænsen for funktionen ved plus uendelig , hvis der for et vilkårligt positivt tal er et positivt tal svarende til det , således at uligheden er sand for alle punkter til højre . $f(x)$ $x$ $\delta$ $EN$ $f(x)$ $\varepsilon$ $\delta$ $\delta$ $|f(x)-A|<\varepsilon$ $\lim _{x\to +\infty}f(x)=A\venstrehøjrepil \forall \varepsilon >0~\eksisterer \delta =\delta (\varepsilon )>0~\forall x\in X~ x>\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon .$
Lad en numerisk funktion gives på en mængde , hvor der for ethvert tal er et element liggende til venstre for det. I dette tilfælde kaldes tallet grænsen for funktionen ved minus uendeligt , hvis der for et vilkårligt positivt tal er et positivt tal svarende til det , således at uligheden for alle punkter til venstre er sand . $f \venstre( x \højre)$ $x$ $\delta$ $EN$ $f \venstre( x \højre)$ $\varepsilon$ $\delta$ $\left(-\delta\right)$ $\venstre| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon$ $\lim _{x\to -\infty }f(x)=A\venstrehøjrepil \forall \varepsilon >0~\eksisterer \delta =\delta (\varepsilon )>0~\forall x\in X~ x<-\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon .$

Naboskabsdefinition ifølge Cauchy

Lad en funktion defineres på et sæt med elementer uden for et hvilket som helst kvarter af nul. I dette tilfælde kaldes punktet grænsen for funktionen i det uendelige , hvis der for nogen af dets lille kvarter er et så stort kvarter på nul, at alle værdier af funktionen i punkter, der ligger uden for dette kvarter på nul, falder ind i dette område af punktet . $f(x)$ $x$ $EN$ $f(x)$ $EN$

\lim _{x\to \infty }f(x)=A\venstrehøjrepil \forall O(A)~\eksisterer O(0)~f{\big (}X\setminus O(0){\ big )}\subseteq O(A)

Delvis grænse

For en funktion såvel som for en sekvens kan man introducere begrebet en partiel grænse. Et tal kaldes en delgrænse for en funktion i et punkt, hvis der er en sådan uendelig undersekvens af sekvensen "passerer" langs, som med en ubegrænset stigning i antallet har tendens til, at funktionen eksisterer en funktionsgrænse i et punkt er nødvendig og tilstrækkelig til [2] . $l$ $f(x)$ $x_0,$ $x_{n}\to x_{0},x_{n}\neq x_{0},$ $f(x)$ $l.$ $f(x)$ $x_{0}$ $\varlimsup _{x_{n}\to x_{0}}f(x),$ $f(x)$ $x_{0}$ $\varliminf _{x_{n}\to x_{0}}f(x).$ $x_{0}$ $\varliminf _{x_{n}\to x_{0}}f(x)=\varlimsup _{x_{n}\to x_{0}}f(x)$

Notation

Hvis funktionen på et tidspunkt har en grænse lig med , så siger de, at funktionen har tendens til , når den har tendens til , og skriver på en af følgende måder: $x_{0}$ $f(x)$ $EN$ $f(x)$ $EN$ $x$ $x_{0}$

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=A;$
eller $f(x)~{\xrightarrow[{x\to x_{0}}]{}}A.$

Hvis en funktion har en grænse ved uendelig lig med , så siges funktionen at have en tendens til , når den nærmer sig uendelighed, og skrives på en af følgende måder: $f(x)$ $EN$ $f(x)$ $EN$ $x$

$\lim _{x\to \infty }f\left(x\right)=A;$
eller $f(x)~{\xrightarrow[{x\to \infty }]{}}A.$

Hvis en funktion har en grænse ved plus uendelig lig med , så siges funktionen at have tendens til , som den har en tendens til at plus uendeligt, og skrives på en af følgende måder: $f(x)$ $EN$ $f(x)$ $EN$ $x$

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=A;$
eller $f(x)~{\xrightarrow[{x\to +\infty }]{}}A.$

Hvis en funktion har en grænse ved minus uendeligt lig med , så siges funktionen at have tendens til , som den har tendens til minus uendeligt, og skrives på en af følgende måder: $f(x)$ $EN$ $f(x)$ $EN$ $x$

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=A;$
eller $f(x)~{\xrightarrow[{x\to -\infty }]{}}A.$

Egenskaber for grænser for numeriske funktioner

Lad numeriske funktioner og aspirationspunkt angives $f,g\colon M\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $en \i M'.$ [ ryd op ]

Den samme funktion på samme punkt kan kun have én grænse. $\left(\lim _{x\to a}f(x)=A_{1}\right)\land \left(\lim _{x\to a}f(x)=A_{2} \right)\Rightarrow (A_{1}=A_{2})$

Bevis

$\blacktriangleleft$ Bevis ved modsigelse. Lad eksistere og og . $\lim\limits_{x \to a} f(x) = A_1$ $\lim\limits_{x \to a} f(x) = A_2$ $A_1\ikke= A_2$

Antag . Lad os tage og skrive definitionerne ned: $A_1<A_2$ $\varepsilon = \frac{A_2-A_1}{2} >0$

$\lim \limits _{x\to a}f(x)=A_{1}\Rightarrow \exists \delta _{1}=\delta _{1}(\varepsilon )>0\;\forall x\in {\dot {U}}_{\delta _{1}}(a)\cap M\Rightarrow |f(x)-A_{1}|<\varepsilon$ .

$\lim \limits _{x\to a}f(x)=A_{2}\Rightarrow \exists \delta _{2}=\delta _{2}(\varepsilon )>0\;\forall x\in {\dot {U}}_{\delta _{2}}(a)\cap M\Rightarrow |f(x)-A_{2}|<\varepsilon$ .

Lad så : og $\delta=\min(\delta_1,\delta_2) >0$ $\forall x \in \dot{U}_{\delta}(a) \cap M$ $|f(x) - A_1| < \varepsilon$ $|f(x) - A_2| < \varepsilon$

men derefter $|A_2 - A_1| = |(A_2 - f(x)) + (f(x) - A_1)| \le |A_2 - f(x)| + |f(x) - A_1|< 2\varepsilon = A_2 - A_1$

altså en modsigelse. Så der er kun én grænse. $|A_2 - A_1| < A_2 - A_1 \Højrepil$ $\blacktriangleright$

En konvergent funktion bevarer kun tegn lokalt og intet andet. Mere generelt: $\left(\lim \limits _{x\to a}f(x)=A\right)\wedge (A>B)\Rightarrow \left(\exists \epsilon >0~\forall x\in {\dot {U}}_{\epsilon }(a)\cap M~f(x)>B\right),$

hvor er det punkterede område af et radiuspunkt

\dot{U}_{\epsilon}(a)

-en

\epsilon .

Især en funktion, der konvergerer til en positiv (negativ) grænse, forbliver positiv (negativ) i et eller andet område af grænsepunktet: $\left(\lim \limits _{x\to a}f(x)=A>0\right)\Rightarrow \left(\exists \varepsilon >0~\forall x\in {\dot {U }}_{\epsilon }(a)\cap M~f(x)>0\right).$

Den konvergerende funktion er lokalt afgrænset i et kvarter af grænsepunktet: $\left(\lim \limits _{x\to a}f(x)=A\right)\Rightarrow \left(\exists \varepsilon >0~\exists K>0~\forall x\in { \dot {U}}_{\epsilon }(a)\cap M~|f(x)|\leqslant K\right).$

Separerbarhed fra nul af funktioner, der har en grænse, der ikke er nul. $\exists \lim \limits _{x\to a}f(x)=A\neq 0\Rightarrow \exists \delta >0~\forall x\in {\dot {U}}_{\delta }(a)~|f(x)|\geqslant {\frac {A}{2)).$

Operationen med at tage grænsen bevarer ikke-strenge uligheder. $\left(\exists \varepsilon >0~\forall x\in {\dot {U}}_{\varepsilon }(a)~f(x)\leqslant g(x)\right)\wedge \ venstre(\lim \limits _{x\to a}f(x)=A\right)\wedge \left(\lim \limits _{x\to a}g(x)=B\right)\Rightarrow ( A\leqslant B).$
- Strenge uligheder må ikke bevares, når man går til grænsen. Eksempel: I et tæt område af nul , men deres grænser ved nul falder sammen. $f(x)=x^{2};\ g(x)=|x|.$ $f(x)<g(x),$

Sætning om to politimænd.

L'Hospitals regel : hvis er funktioner med reel værdi, der kan differentieres i et punkteret område af punktet , hvor er et reelt tal eller et af elementerne i , og $f(x),\,g(x)$ $U$ $-en$ $-en$ $+\infty ,-\infty ,\infty$
1. $\lim _{{x\to a}}{f(x)}=\lim _{{x\to a}}{g(x)}=0$ eller ; $\infty$
2. $g'(x)\neq 0$ i ; $U$
3. eksisterer ; $\lim \limits _{{x\to a}}{{\frac {f'(x)}{g'(x)))}$

så eksisterer .

\lim \limits _{{x\to a}}{{\frac {f(x)}{g(x)}}}=\lim \limits _{{x\to a}}{{\frac { f'(x)}{g'(x)}}}

Sumgrænsen er lig med summen af grænserne: $\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow \left ( \lim\limits_{x \to a} \bigl[f(x)+g(x)\bigr] = A+B \right);$

Grænsen for forskellen er lig med forskellen mellem grænserne: $\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow \left ( \lim\limits_{x \to a} \bigl[f(x)-g(x)\bigr] = AB \right);$

Grænsen for et produkt er lig med produktet af grænserne: $\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow \left ( \lim\limits_{x \to a} \bigl[f(x)\cdot g(x)\bigr] = A\cdot B \right);$

Kvotientgrænsen er lig med kvotienten af grænserne: $\left(\lim \limits _{x\to a}f(x)=A\right)\wedge \left(\lim \limits _{x\to a}g(x)=B\neq 0\right)\Rightarrow \left(\lim \limits _{x\to a}\left[{\frac {f(x)}{g(x)))\right]={\frac {A}{ B}}\right);$

Sammensætningsgrænse: $\lim _{x\to a}f(x)=A,\;\lim _{y\to A}g(y)=B\;\Højrepil \;\lim _{x\to a }g\left(f(x)\right)=B.$

Eksempler

En konstant funktion har en grænse på ethvert punkt, hvor den er defineret. Det er lig med selve konstanten. $\forall x_{0}\in \mathbb {R} \lim _{x\to x_{0}}c=c.$
En identisk funktion på et hvilket som helst punkt, hvor den er defineret, har en grænse, der er lig med det punkt. $\forall x_{0}\in \mathbb {R} \lim _{x\to x_{0}}{\text{id }}x=\lim _{x\to x_{0}}x =x_{0}.$
Dirichlet-funktionen har ingen grænse på noget punkt på den rigtige linje . $\forall x_{0}\in \mathbb {R} ~\ikke \exists \lim _{x\to x_{0}}D\left(x\right).$
Riemann-funktionen har ingen grænser kun på rationelle punkter. $x_{0}\in \mathbb {Q} \Leftrightarrow \not \exists \lim _{x\to x_{0}}R\left(x\right)=0.$
Funktionen har en grænse ved uendelig lig med nul . $1/x$ $\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x}}=\lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{x}}=\lim _ {x\to \infty }{\frac {1}{x}}=0.$
Arktangensfunktionen har grænser ved henholdsvis plus og minus uendeligt plus og minus pi i halvdelen, og har derfor ingen grænse ved uendelig. $\lim _{x\to +\infty}\operatørnavn {arctg} ~x=+{\frac {\pi }{2)),$ $\lim _{x\to -\infty}\operatørnavn {arctg} ~x=-{\frac {\pi}{2)),$ $\not \exists \lim _{x\to \infty }\operatørnavn {arctg} ~x.$

Se også

Noter

↑ 1 2 3 V. A. Ilyin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sendov . Kapitel 3. Theory of Limits // Matematisk analyse / Red. A.N. Tikhonova . - 3. udg. , revideret og yderligere - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 105 - 121. - 672 s. — ISBN 5-482-00445-7 .
↑ Demidovich B.P. Samling af problemer og øvelser i matematisk analyse. - 7. udg. — M .: Nauka , 1969. — S. 47.

Litteratur

Mathematical Encyclopedic Dictionary / Udg. Yu. V. Prokhorova. - M . : Soviet Encyclopedia, 1988. - S. 482 -483. — 847 s.
Zorich V. A. Matematisk analyse. - Moskva: MTsNMO Publishing House , 2012. - T. I to bind.