Potentiel trædesten

Et potentielt trin er en profil af en partikels potentielle energi karakteriseret ved en skarp overgang fra én (for nemheds skyld) værdi til en anden ( ). Sådanne profiler analyseres i kvantemekanik , og transmissionskoefficienten for en partikel med samlet energi viser sig at være forskellig fra enhed . $U$ $V_{0}$ ${\displaystyle E>V_{0))$

Den enkleste potentielle profil af denne type er et spring:

U(x)=0

kl og kl .

x<0\quad

{\displaystyle \quad U(x)=V_{0))

x>0

For at tage højde for en vis sløring af overgangen, bruges udtrykket

U(x)={\frac {1}{2}}V_{0}\left(1+\mathrm {th} {\frac {x}{2a}}\right),\,a= {\mbox{const}}>0

simulerer monoton stigning fra 0 til med . $-\infty$ $V_{0}$ $+\infty$

Et potentielt trin kan for eksempel dannes af koordinatafhængigheden af energien i bunden af ledningsbåndet af en halvlederheterostruktur , når der på grund af forskellen i elektronaffiniteten af to materialer sker et ret skarpt spring ved deres kryds. . $U(x)=E_{c}(x)$ $E_{c}$

Spring trin model

Den stationære Schrödinger-ligning for et springpotentiale trin har formen:

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)+V_{0}\Psi (x)=E\Psi (x)

for ,

x>0

og det samme uden udtrykket med for . Her er partiklens masse, er den reducerede Planck-konstant og er partiklens bølgefunktion . Det antages, at partiklen bevæger sig mod positiv . Yderligere henviser alle tegn med tallet 1 til området , og med tallet 2 - til . $V_{0}$ $x<0$ $m$ $\hbar$ $\psi$ $x$ $x<0$ $x>0$

Forudsat at , skriver vi bølgefunktionen for region 1 ( ) og 2 ( ) som ${\displaystyle E>V_{0))$ $\Psi =\psi _{1}$ $\Psi =\psi _{2}$

\psi _{1}(x)=e^{ik_{1}x}+re^{-ik_{1}x}\,(x<0)

\psi _{2}(x)=te^{ik_{2}x}\,(x>0)

hvor

k_{1}={\sqrt {\frac {2mE}{\hbar ^{2)))),\qquad k_{2}={\sqrt {\frac {2m(E-V_{0} )}{\hbar ^{2}}}}}

Fra kravet om kontinuitet af bølgefunktionen og dens afledte på et punkt, får vi $x=0$

1+r=t

{\displaystyle i\hbar k_{1}-ir\hbar k_{1}=it\hbar k_{2))

hvad giver

r={\frac {k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}},\qquad t={\frac {2k_{1}}{k_{1} +k_{2}}}

Som et resultat har vi koefficienterne for refleksion ( overbarrierereflektion ) og transmission:

R=|r|^{2}=\left({\frac {1-{\sqrt {1-V_{0}/E))}{1+{\sqrt {1-V_{0} /E))))\right)^{2},\qquad T={\frac {k_{2}}{k_{1}}}|t|^{2}={\frac {4{\sqrt {1-V_{0}/E}}}{\left(1+{\sqrt {1-V_{0}/E}}\right)^{2}}}

Dette resultat er fundamentalt forskelligt fra det klassiske : i klassisk mekanik er der ingen refleksion i dette tilfælde, men uanset . $T=1$ $E$

Sløret trinmodel

Den stationære Schrödinger-ligning for et sløret potentialetrin (graden af sløring indstilles af parameteren : jo mindre den er, jo tættere er potentialet på et springende) er skrevet: $-en$

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)+{\frac {1}{2}}V_{0}\left(1+\mathrm {th } {\frac {x}{2a}}\right)\Psi (x)=E\Psi (x)

Hvis vi angiver og , vil det tage formen ${\displaystyle k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2))))$ ${\displaystyle \lambda ={\sqrt {2mV_{0}a^{2}/\hbar ^{2))))$

\Psi ''(x)+\left(k^{2}-{\frac {\lambda ^{2}}{2a^{2}}}\left(1+\mathrm {th} { \frac {x}{2a}}\right)\right)\Psi (x)=E\Psi (x).

Hvis vi laver en ændring af variabel

y={\frac {1}{1+e^{\frac {x}{a)))),

derefter, under hensyntagen til notationen , reduceres til formen: $\varkappa =ka$

y(1-y)\Psi ''(y)+(1-2y)\Psi '(y)+\left({\frac {\varkappa ^{2}}{y(1-y) }}-{\frac {\lambda ^{2}}{y}}\right)\Psi (y)=0.

Da punkterne og er entalspunkter i denne ligning, er det naturligt at lede efter en løsning på formen: $y=0$ $y=1$

\Psi (y)=y^{\nu }(1-y)^{\mu }f(y).

Hvis vi vælger og , så vil ligningen blive reduceret til den Gaussiske hypergeometriske ligning: ${\displaystyle \nu ={\sqrt {\lambda ^{2}-\varkappa ^{2))))$ $\mu =i\varkappa$

y(1-y)f''(y)+\left((2\nu +1)-(2\mu +2\nu +2)\right)f'(y)-(\mu +\nu )(\mu +\nu +1)f(y)=0.

Valg af løsninger med den korrekte asymptotik opnår vi

f(y)=C\;_{2}F_{1}(\mu +\nu ,\mu +\nu +1;2\nu +1;y)

Så kan du få refleksion og transmissionskoefficienter. I tilfælde af : ${\displaystyle E<V_{0))$

R=1,\qquad T=0.

Således observeres total refleksion. I tilfælde af at der tages hensyn til betegnelsen : ${\displaystyle E>V_{0))$ $\sigma =i\nu$

R=\left({\frac {\mathrm {sh} \pi (\varkappa -\sigma )}{\mathrm {sh} \pi (\varkappa +\sigma )))\right)^{2 }

I grænsen $a\højrepil 0$

R=\left({\frac {\varkappa -\sigma }{\varkappa +\sigma }}\right)^{2}

hvilket er det samme som resultatet af forrige afsnit, hvis vi vender tilbage til de oprindelige variable.

Litteratur

Z. Flügge. Problemer i kvantemekanik. - Forlaget LKI, 2008. - T. 1.

Modeller af kvantemekanik
Endimensionel uden spin	fri partikel Grube med endeløse vægge Rektangulær kvantebrønd delta potentiale Trekantet kvantebrønd Harmonisk oscillator Potentiel trædesten Pöschl-Teller potentiale godt Modificeret Pöschl-Teller potentialebrønd Partikel i et periodisk potentiale Dirac potentiel kam Partikel i ringen
Multidimensionel uden spin	cirkulær oscillator Hydrogen molekyle ion Symmetrisk top Sfærisk symmetriske potentialer Woods-saksisk potentiale Keplers problem Yukawa-potentiale Morse potentiale Hulthen potentiale Kratzers molekylære potentiale Eksponentielt potentiale
Inklusiv spin	hydrogenatom Hydrid ion helium atom