Poncelet porisme

Poncelet-porismen er et klassisk teorem om projektiv geometri . Opkaldt efter Jean-Victor Poncelet .

Historie

Poncelet-porisme blev opdaget af den franske matematiker Jean-Victor Poncelet i 1812-1814, da han var fange i Saratov . I fangenskab i Saratov skrev han (for det meste) sin afhandling om figurers projektive egenskaber, samt en afhandling om analytisk geometri (syv notesbøger, efterfølgende udgivet - i 1862-1864 - under titlen Applications d'Analyse et de Géometrie ) .

Det særlige tilfælde for trekanter fulgte af Eulers sætning .

Ordlyd

Lade være en polygon med forskellige hjørner, indskrevet i en kegle og omskrevet om en anden kegle . Derefter eksisterer der for alle punkter på keglen , såsom berøringer , en polygon indskrevet i og afgrænset omkring . [en] ${\displaystyle A_{1}A_{2}\ldots A_{n))$ $n$ $C$ $\Gamma$ ${\displaystyle B_{1},B_{2))$ $C$ ${\displaystyle B_{1}\neq B_{2))$ ${\displaystyle B_{1}B_{2))$ $\Gamma$ ${\displaystyle B_{1}B_{2}\ldots B_{n))$ $C$ $\Gamma$

Noter

Hvis en kegle er en cirkel , kaldes polygoner, der er indskrevet i en cirkel og omskrevet om en anden, bicentriske polygoner , så dette er et specialtilfælde af Poncelet-porisme kan udtrykkes kortfattet, givet at hver bicentrisk polygon er en del af et uendeligt sæt af bicentriske polygoner med hensyn til de samme to cirkler [2] :s. 94 .

Algebraisk bevis

Overvej et sæt par af formen "et punkt på den ydre kegle og en tangent fra den til den indre". Dette sæt kan defineres af en algebraisk ligning i produktet af et projektivt plan og dets dual (dvs. sættet af linjer på det oprindelige plan), som er projektivt på grund af Segre-indlejringen . Det er klart, at i den generelle konfiguration vil den resulterende algebraiske variant være en ikke-degenereret kurve. Lad os beregne dens slægt ved hjælp af Riemann-Hurwitz-formlen : denne manifold projiceres på en naturlig måde (ved at glemme den lige linjeafbildning) på et eksternt keglesnit, og to forbilleder vil hænge over det fælles punkt, og kun kl. fire punkter - skæringspunkterne for keglesnit, hvis eksistens er garanteret af Bezouts sætning , - det har et forbillede, det vil sige, det er forgrenet ved disse fire punkter, og kun ved dem. Derfor er Euler-karakteristikken for den dækkende kurve lig med , det vil sige, at kurven har slægt 1 og er på grund af dens ikke-degeneration en elliptisk kurve . $2(2-4)+4=0$

Vi vil starte fra et eller andet punkt ved at tegne tangenter. Med et valgt udgangspunkt og en gennemløbsretning får vi en sekvens af par som "et punkt på den ydre kegle og en tangent fra den til den indre". Bemærk, at et ikke-degenereret punkt på den ydre kegleform svarer til to punkter på den elliptiske kurve (svarende til to tangenter, der udgår fra den), og summen af dem som punkter på den elliptiske kurve giver en afbildning fra den ydre kegle til den elliptiske kurve. kurve, som er en kortlægning til et punkt, da den kan løftes op på den universelle dækning - det komplekse plan, hvor den på grund af kuglens kompakthed vil være afgrænset og ved Liouvilles sætning konstant. Derfor er overførslen af en tangent, der udgår fra et punkt, givet ved afbildningen , hvor er en konstant. Tilsvarende har overførslen af et punkt, der ligger på en tangent, formen , og deres sammensætning har således formen ; men sammensætning er konstruktionen af den næste side af kæden fra den forrige, og lukningen af kæden svarer til det, der ligger i den elliptiske kurves vridning som gruppe ved addition, og afhænger derfor ikke af udgangspunktet ; lige så afhænger rækkefølgen af vridning, det vil sige antallet af trin, hvor kæden lukker, ikke af den. $x\mapsto \xi -x$ $\xi$ $x\mapsto \zeta -x$ $x\mapsto \zeta -\xi +x$ $\zeta-\xi$

Variationer og generaliseringer

Cayleys teorem

Lad være en cirkel og være en ellipse . Derefter er betingelsen for kædens looping givet i form af Taylor-serien af funktionen . (Hver koefficient udregnes gennem og f.eks. .) Nemlig: $f$ $x^{2}+y^{2}=1$ $g$ $ax^{2}+af^{2}=1$ ${\sqrt {(a^{2}+t)(b^{2}+t)(1+t)}}=c_{0}+c_{1}t+c_{2}t^{2} +\prikker$ $c_{i}$ $-en$ $b$ $c_{0}=ab$

Poncelet-kæden parrer sig og løkker over trin, hvis og kun hvis $f$ $g$ $2m+1$ ${\begin{vmatrix}c_{2}&\dots &c_{m+1}\\\vdots &&\vdots \\c_{m+1}&\dots &c_{2m}\end{vmatrix)) =0.$
En Poncelet-kæde parrer og går i løkker over trin, hvis og kun hvis [3] $f$ $g$ $2m$ ${\begin{vmatrix}c_{3}&\dots &c_{m+1}\\\vdots &&\vdots \\c_{m+1}&\dots &c_{2m-1}\end{vmatrix }}=0.$

Schwartz' sætning

Lad være en Poncelet-kæde. Betegn med en ret linje og overvej skæringspunkterne . Derefter for ethvert heltal $A_{0}A_{1}\prikker$ $\ell _{i}$ $A_{i}A_{{i+1}}$ ${\displaystyle B_{i,j}=\ell _{i}\cap \ell _{j))$ $k$

Alle punkter ligger på samme keglesnit. $B_{{i,i+k}}$
Alle punkter ligger på samme keglesnit. $B_{{i,ki}}$

Multidimensional analog

Det algebraiske bevis for Poncelet-sætningen bygger på det faktum, at skæringspunktet mellem to kvadrikker i et tredimensionelt projektivt rum er en elliptisk kurve . I 1972 beviste Miles Reed i sin afhandling en generalisering af dette faktum. Reeds sætning siger nemlig, at en manifold, der parametriserer lineære- dimensionelle underrum i et -dimensionelt projektivt rum, der ligger i skæringspunktet mellem to -dimensionelle kvadrikker (forudsat at dette skæringspunkt er ikke-singular) er den jakobianske manifold af en hyperelliptisk kurve (en forgrenet kurve). dobbeltdækning af en rationel kurve). [4] Denne hyperelliptiske kurve kan konstrueres som stedet for dimensionelle underrum i skæringspunktet mellem to kvadrikker, der skærer et eller andet fast -dimensionelt underrum, der også ligger i skæringspunktet mellem kvadrikker, langs et underrum med mindst dimension . Hvis disse kvadrikker reduceres til hovedakserne (det vil sige, at de har homogene ligninger $(n-1)$ $(2n+1)$ $2n$ $(n-1)$ $(n-1)$ $n-2$

$z_{0}^{2}+z_{1}^{2}+\dots +z_{2n+1}^{2}=0,$

$b_{0}z_{0}^{2}+b_{1}z_{1}^{2}+\dots +b_{2n+1}z_{2n+1}^{2}=0$

for nogle koefficienter ), så er denne kurve birationelt isomorf til kurven givet af ligningen ${\displaystyle b_{0},b_{1},\dots b_{2n+1))$

y^{2}=(x-b_{0})(x-b_{1})\dots (x-b_{2n+1}).

Donaghy bemærkede, at loven om addition på en sådan manifold kan defineres geometrisk. Nemlig, hvis er en quadric fra sheaf genereret af vores to quadrics (vi betegner dem med og ), og er to -dimensionelle underrum, der ligger på og tilhører den samme forbundne familie, og skærer ud i skæringspunktet mellem to quadrics to- dimensionelle underrum og , så er addition entydigt bestemt af reglen (og valget af nul). [5] For eksempel, hvis , så er tilføjelsen af punkter på en elliptisk kurve defineret som følger. Lad os vælge et punkt som nul. For at tilføje punkterne og , tegn en linje , og overvej en quadric fra blyanten, som denne linje ligger på (en sådan quadric er unik og kan for eksempel konstrueres som foreningen af sekantlinjer , der to gange skærer en elliptisk kurve ). Linjen , der er en generator af en todimensional quadric, tilhører en en-parameter forbundet familie. Lad os vælge en linje fra denne familie, der går gennem punktet . Det andet skæringspunkt for en ret linje med en elliptisk kurve vil være summen af den ønskede sum . $Q$ $Q_1$ $Q_{2}$ $E_1$ $E_2$ $n$ $Q$ $E_{i}$ $(n-1)$ $\ell _{i1}$ ${\displaystyle \ell _{i2))$ $\ell _{11}+\ell _{12}=\ell _{21}+\ell _{22}$ $n=1$ $O$ $EN$ $B$ $AB$ $AB$ $AB$ $s$ $O$ $s$ $A+B$

Se også

Steiner-porismen er en lignende påstand for kæder af cirkler.
Eulers teorem (planimetri) omfatter et særligt tilfælde af Poncelet-porismen for . $n=3$

Noter

↑ Marcel Berger , Geometry, konsekvens 16.6.11.
↑ Johnson, Roger A. , Advanced Euclidean Geometry, Dover Publications, 2007 (orig. 1960).
↑ Dragovic, Vladimir, Radnovic, Milena. Poncelet Porisms and Beyond. - Springer, 2011. - S. 116. - (Grænser i matematik). — ISBN 3034800142 .
↑ Reid, M.: Det komplette skæringspunkt for to eller flere kvadrikker. Afhandling, Cambridge (GB) 1972
↑ Donagi, R.: Group law on intersections of two quadrics. Fortryk UCLA 1978

Litteratur

Bos, HJM; Kers, C.; Oort, F.; Raven, DW Poncelets lukkesætning. Expositiones Mathematicae 5 (1987), nr. 4, 289-364.

Poncelet porisme

Historie

Ordlyd

Noter

Algebraisk bevis

Variationer og generaliseringer

Cayleys teorem

Schwartz' sætning

Multidimensional analog

Se også

Noter

Litteratur

Links