Eulers trekantsætning

Eulers formel - planimetriens sætning , relaterer afstanden mellem centrene af de indskrevne og omskrevne cirkler og deres radier.

Sætningen er opkaldt efter Leonhard Euler .

Ordlyd

Afstanden mellem midten af de indskrevne og omskrevne cirkler i en trekant kan bestemmes ved formlen $d$

d^{2}=R^{2}-2Rr.

hvor er radius af den omskrevne cirkel, er radius af den indskrevne cirkel. $R$ $r$

Noter

Ovenstående formel kan omskrives som følger ${\frac {1}{Rd}}+{\frac {1}{R+d}}={\frac {1}{r}}$ .

eller

(Rr)^{2}=d^{2}+r^{2},

Sætningen antyder den såkaldte Euler-ulighed $R\geq 2r$ .
- Der er en stærkere form for denne ulighed [1] :s. 198 , nemlig: ${\frac {R}{r}}\geq {\frac {abc+a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc}}\geq {\frac {a }{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}-1\geq {\frac {2}{3}}\venstre({\frac {a} {b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geq 2,$

hvor er trekantens sider.

a,b,c

For en sfærisk trekant kan forholdet mellem radius af den omskrevne cirkel og radius af den indskrevne cirkel være mindre end 2. For ethvert tal mellem 1 og 2 er der desuden en regulær sfærisk trekant med forholdet mellem radius af den omskrevne cirkel til radius af den indskrevne cirkel lig med dette tal.

Bevis

Lade være midten af den omskrevne cirkel af trekanten , og være midten af den indskrevne cirkel. Hvis strålen skærer den omskrevne cirkel i et punkt , så er den midtpunktet af buen . Lad os tegne en stråle og betegne dens skæringspunkt med den omskrevne cirkel som . Så vil diameteren af den omskrevne cirkel være. Fra punktet dropper vi vinkelret til Så skriver vi Euler-formlen i en lidt anden form $O$ $\Delta ABC$ $jeg$ $AI$ $L$ $L$ $f.Kr$ $LO$ $M$ $LM$ $jeg$ $ID$ $AB.$ $ID=r.$

R^{2}-d^{2}=2Rr.

Du kan se, at til venstre er graden af punktet i forhold til den omskrevne cirkel (for at være præcis, minus graden af punktet). Det vil sige, at det er tilstrækkeligt at bevise ligheden . Ved trefork-lemmaet er det tilstrækkeligt at bevise det . Nu bemærker vi, at det vil sige, at den nødvendige lighed kan omskrives i formen Lad os omskrive det lidt mere: . Denne lighed følger af ligheden mellem trekanter og . Faktisk er vinklerne og af disse trekanter rigtige, og vinklerne og er lige store, fordi begge er afhængige af buen (desuden er forholdet lig med vinklens sinus ). $jeg$ $LI\cdot IA=2Rr$ $LI=LB,$ $LB\cdot IA=2Rr$ $2R=LM$ $r=ID,$ $LB\cdot IA=LM\cdot ID.$ $LB/LM=ID/IA$ $\triangle AID$ $\triangle MLB$ $B$ $D$ $EN$ $M$ $BL$ $LB/LM=ID/IA$ $\angle BAL$

Historie

Denne teorem er opkaldt efter Leonhard Euler, som udgav den i 1765. Imidlertid var det samme resultat blevet offentliggjort tidligere af William Chapple i 1746. [2]

Variationer og generaliseringer

Til midten af en cirkel

For excirkler ser ligningen sådan ud:

(R+r_{out})^{2}=d_{out}^{2}+r_{out}^{2},

hvor er radius af en af excirklerne, og er afstanden fra centrum af den omskrevne cirkel til centrum af denne excirkel [3] [4] [5] . $r_{out}$ $d_{out}$

For polygoner

For radierne og henholdsvis de omskrevne og indskrevne cirkler af en given indskrevet-omskrevet firkant (se fig.) og afstanden mellem disse cirklers centre, er forholdet opfyldt: $R$ $r$ $d=x$ ${\frac {1}{(R+d)^{2}}}+{\frac {1}{(Rd)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}$ ,

eller tilsvarende,

{\displaystyle d^{2}=R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2))))

Denne relation kaldes Fuss-sætningen . Det blev opnået af Nikolai Ivanovich Fuss [6] i 1792.

Cayleys Poncelet -kædesætning generaliserer Eulers sætning til indskrevne-omskrevne -goner [7] . $n$

Se også

Poncelet porisme

Noter

↑ Svrtan, Dragutin & Veljan, Darko (2012), Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities , Forum Geometricorum vol . 12: 197–209 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG2012 > Archived.html kopi dateret 28. oktober 2019 på Wayback Machine .
↑ Chapple, William (1746), Et essay om egenskaberne af trekanter indskrevet i og omskrevet om to givne cirkler , Miscellanea Curiosa Mathematica bind 4: 117–124 , < https://archive.org/details/miscellaneacuri01unkngoog/page/ n142 > . Formlen for afstanden er nær bunden af s.123.
↑ Roger Nelson. Eulers trekantulighed via bevis uden ord // Mathematics Magazine. - Februar 2008. - Udgave. 81(1) . - S. 58-61 .
↑ R.A. Johnson. moderne geometri. - Boston: Houghton Mifflin, 1929. - S. 187.
↑ Lev Emelyanov, Tatiana Emelyanova. Eulers formel og Poncelets porisme // Forum Geometricorum. - 2001. - Udgave. 1 . — S. 137–140. .
↑ Nicolas Fuss// https://en.wikipedia.org/wiki/Nicolas_Fuss Arkiveret 17. februar 2020 på Wayback Machine
↑ Avksentiev, E. A. Invariante mål og lukkesætninger af Poncelet-typen Arkiveret 14. august 2016 på Wayback Machine

Eulers trekantsætning

Ordlyd

Noter

Bevis

Historie

Variationer og generaliseringer

Til midten af ​​en cirkel

For polygoner

Se også

Noter

Links

Til midten af en cirkel