Undersæt

En delmængde i mængdeteori er begrebet en del af et sæt.

Definition

Et sæt kaldes en delmængde af mængden, hvis alle elementer, der hører til, også tilhører [1] . Formel definition: $EN$ $B$ $EN$ $B$

(A\subset B)\Leftrightarrow \left(\forall x(x\in A\Rightarrow x\in B)\right)\,

Der er to symbolske notationssystemer for delmængder:

" er en delmængde af (ikke-streng)" er angivet $EN$ $B$	" er en streng delmængde " er angivet $EN$ $B$	Bemærk
$A\subseteq B$	$A\delmængde B$	Symbolet er en analog , det vil sige, hvis lighed mellem sæt er tilladt; $\subseteq$ $\leq$ $A\subseteq B$ $A=B$ karakteren er en analog af , det vil sige, i tilfældet i er der elementer, der ikke er i . $\undersæt$ $<$ $A\delmængde B$ $B$ $EN$
$A\delmængde B$	$A\subsetneq B$	Et enklere symbol bruges til "(ikke-streng) delmængde", fordi det anses for mere "fundamentalt".

Begge notationssystemer leveres af ISO 31-11-standarden , men bruger symbolet i forskellige betydninger, hvilket kan føre til forvirring. I denne artikel vil vi bruge den seneste notation. $\undersæt$

Et sæt kaldes et supersæt af et sæt, hvis det er en delmængde af et sæt . $B$ $EN$ $EN$ $B$

Det, der er et supersæt af sættet , skrives ned , dvs. $B$ $EN$ $B\upset A$ $(A\subset B)\Leftrightarrow (B\supset A)\,.$

Mængden af alle delmængder af et sæt betegnes og kaldes boolean . $EN$ ${\mathcal {P}}(A)$

Sætter og kaldes kun lige , når de består af de samme elementer, det vil sige og . [2] $EN$ $B$ $A=B$ $A\subseteq B$ $B\subseteq A$

Eget og ukorrekt undersæt

Ethvert sæt blandt dets undersæt indeholder sig selv og det tomme sæt . Selve sættet og det tomme sæt kaldes ukorrekte delmængder , de resterende delmængder kaldes korrekte [3] . $B$ $B$

Det vil sige, at hvis vi ønsker at udelukke sig selv og det tomme sæt fra overvejelse, bruger vi begrebet en ordentlig delmængde, som er defineret som følger: $B$

sættet er kun en egentlig delmængde af sættet , hvis og , .

EN

B

A\delmængde B

A\neq B

A\neq \varnothing

Udenlandsk litteratur

I udenlandsk litteratur kaldes ukorrekte delmængder i ovenstående betydning (selve mængden B og den tomme mængde) for trivielle , og korrekte undermængder kaldes ikke-trivielle , og udtrykket " korrekt delmængde " bruges i betydningen "streng inklusion af A i B ” eller “undermængde af A , strengt taget inkluderet i mængden B , det vil sige en, der ikke tilhører mindst ét element i mængden B ", det vil sige, her er begrebet" egentlig undermængde " allerede, tværtimod , inkluderer det tomme sæt.

I dette tilfælde, hvis det tomme sæt derudover skal udelukkes fra overvejelse, skal begrebet en ikke-triviel delmængde anvendes, som er defineret som følger:

et sæt er en ikke-triviel delmængde af sættet, hvis det er dens egen delmængde (korrekt delmængde) og .

EN

B

EN

B

A\neq \varnothing

Eksempler

Sæt er delmængder af et sæt ${\displaystyle \varnothing ,~\{0\},~\{1,3,4\},~\{0,1,2,3,4,5\))$ $\{0,1,2,3,4,5\}.$
Sæt er trivielle (ukorrekte) undersæt af sættet ; alle andre undersæt af elementerne i sættet er ikke-trivielle eller korrekte. $\varnothing ,~\{0,1,2,3,4,5\}$ $\{0,1,2,3,4,5\},$
Sæt er delmængder af et sæt $\{\varnothing ,\uparrow ,{\mbox{oca))\},~\{\$,\%,*,\uparrow \},~\{\varnothing \},~\varnothing$ $\{\$,\%,\varnothing ,\uparrow ,*,{\mbox{oca))\}.$
Lad derefter $A=\{a,b\}.$ ${\mathcal {P}}(A)=\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}.$
Lad . Så og også (det vil sige, C er hverken en streng eller en ikke-streng delmængde af A ). ${\displaystyle A=\{1,2,3,4,5\},\;B=\{1,2,3\},\;C=\{4,5,6,7\))$ $B\undersæt A,\;C\ikke \undersæt A,$ $\neg (C\subsetneq A)$

Egenskaber

Delmængderelationen har en række egenskaber [4] .

Delmængderelationen er en delvis ordensrelation :
- Delmængderelationen er refleksiv : $B\subset B$
- Delmængderelationen er antisymmetrisk : $(A\subset B\;\land \;B\subset A)\Leftrightarrow (A=B)$
- Delmængderelationen er transitiv : $(A\undersæt B\;\land \;B\undersæt C)\Højrepil (A\undersæt C)$
Den tomme mængde er en delmængde af enhver anden, så det er den mindste mængde i forhold til delmængderelationen: $\varnothing \subset B$
For alle tre sæt og sådan, at alle udsagn: $EN,$ $B$ $x$ $A,B\subset X,$
- $A\undersæt B;$
- $A\cap B=A;$
- $A\cup B=B;$
- $X\setminus B\subset X\setminus A;$
- $(A\cap X)\setminus B=\varnothing ;$
- $A\cap (X\setminus B)=\varnothing ;$
- $(X\setminus A)\kop B=X;$
- $B^{\complement }\subset A^{\complement }$

er ækvivalente [5] .

Delmængder af endelige mængder

Hvis det oprindelige sæt er endeligt, har det et begrænset antal delmængder. Nemlig -elementsættet har delmængder (inklusive det tomme ). For at verificere dette er det tilstrækkeligt at bemærke, at hvert element enten kan inkluderes eller ikke inkluderes i en delmængde, hvilket betyder, at det samlede antal delmængder vil være et -foldsprodukt af to. Hvis vi kun betragter delmængder af -elementsættet af elementer, så udtrykkes deres antal ved den binomiale koefficient . For at bekræfte denne kendsgerning kan du vælge elementerne i undersættet sekventielt. Det første element kan vælges på en måde, det andet på en måde, og så videre, og endelig kan det th element vælges på en måde. Således får vi en sekvens af elementer, og præcis én delmængde svarer til sådanne sekvenser. Derfor er der sådanne undergrupper i alt. $n$ $2^{n}$ $n$ $n$ $k\leq n$ $\tekststil {\binom {n}{k))$ $n$ $n-1$ $k$ $n-k+1$ $k$ $k!$ $\textstyle {\frac {n(n-1)\dots (n-k+1)}{k!)}={\binom {n}{k))$

Noter

↑ Birkhoff, 1976 , s. ti.
↑ Melnikov O. V., Remeslenikov V. N., Romankov V. A. Generel algebra. Bind 1. - M., Nauka, 1990. - s. elleve
↑ Delmængde. // Matematisk encyklopædisk ordbog. /udg. Yu. V. Prokhorov . - M., Soviet Encyclopedia, 1988. - s. 465
↑ V. A. Ilyin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sendov . Kapitel 2. Reelle tal // Matematisk analyse / Red. A.N. Tikhonova . - 3. udg. , revideret og yderligere - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 65. - 672 s. — ISBN 5-482-00445-7 .
↑ Kelly J. Generel topologi. - M., Nauka, 1981. - s. 16

Litteratur

Vereshchagin N.K., Shen A. Forelæsninger om matematisk logik og teori om algoritmer. Del 1. Begyndelse af mængdelære - 3. udgave, stereotype. - M. : MTSNMO, 2008. - 128 s. - ISBN 978-5-94057-321-0 .
Birkhoff G. , Barty T. Modern Applied Algebra. — M .: Mir, 1976. — 400 s.

Links

Weisstein, Eric W. Subset (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .

Logikker

Filosofi • Semantik • Syntaks • Historie

Logiske grupper

klassisk logik	Aristotelisk logik propositionel logik Første ordens logik Anden ordens logik højere ordens logik
matematisk logik	mængdeteori Modelteori Beregnelighedsteori Bevisteori og konstruktiv matematik Lineær logik formelt system naturlig konklusion Sekvensberegning Algebra af logik Relevant logik Deontisk logik intuitionistisk logik Lambek regning
Ikke-klassisk logik	intuitionisme sløret logik Substrukturel logik logik Beskrivelseslogik Flerværdilogik Logisk syntese Bindende logik Tidsmæssig logik Modal logik ( Hybrid logik ) epistemisk logik
Filosofisk logik	Kritisk tænkning uformel logik deduktiv ræsonnement

Komponenter

Bortførelse (logik)
Sandsynlighed
udmelding
Fradrag / Induktion / Traduktion
Virkelighed
Induktiv begrundelse
slutning
boolsk konstant
Rigtigt
logisk følge
Logisk form
Nødvendige og tilstrækkelige betingelser
Beskrivelse
Definition
Substitution
Pakke
Kontrovers ( Antinomy )
Syntetisk dømmekraft / Analytisk dømmekraft
Link

Liste over booleske symboler