Parametrisk overfladespecifikation

Klassen af tredimensionelle parametriske overflader er defineret af en funktion , der afhænger af parametre og kortlægger et eller andet forbundet sæt fra n-dimensionelt rum til tredimensionelt rum på en sådan måde, at denne afbildning er en overflade . Denne funktion specificerer en overfladeklasse, og et sæt parametre angiver en specifik overflade fra denne klasse. ${\displaystyle F(t_{1},\ldots ,t_{k}):\mathbb {M} \to \mathbb {R} ^{3))$ $k$ ${\mathbb {M}}$ $F$ $k$

Det mest praktiske tilfælde er, når sættet er en enhedskvadrat i todimensionelt rum. I dette tilfælde kan den parametriske overflade beskrives som følger: ${\mathbb {M}}$

(x,y,z)=F(u,v)

eller hvor

\left\{{\begin{array}{ccc}x&=&X(u,v)\\y&=&Y(u,v)\\z&=&Z(u,v)\end{array)) \ret.

{\displaystyle (u,v)\in [0,1]^{2))

Parametriske overflader bruges i vid udstrækning i anvendt geometri og computergrafik til at repræsentere komplekse overflader. Parametrisering gør sådanne overflader bekvemme til behandling og visning .

Eksempler

Plan Et punkt og en basis af to ikke-kollineære vektorer i tredimensionelt rum definerer et plan og en afbildning på det af et todimensionalt kartesisk koordinatsystem . Dette bestemmer -parametriseringen af planet ( og er parametre): ${\vec {O}}$ ${\vec {l}}_{1},{\vec {l}}_{2}$ $UV$ $u$ $v$ $(x,y)={\vec {O}}+u{\vec {l}}_{1}+v{\vec {l}}_{2}$

Flad N-gon. Generelt kan en parametrisering i en N-gon indføres ved hjælp af det barycentriske koordinatsystem .

Trekant Dette vigtigste specielle tilfælde af N-gon fortjener særlig opmærksomhed. Den mest almindelige måde at parametrisere en trekant på er at kortlægge en trekant fra -rummet på den lineært. $UV$

Kugle For at parametrere en kugle er det mest praktisk at bruge koordinatsystemet af samme navn :
$\left\{{\begin{array}{ccc}x&=&\rho \cos \varphi \cos \theta \\y&=&\rho \cos \varphi \sin \theta \\z&=&\ rho \sin \varphi \end{array}}\right.,\quad \varphi \in \left[-{\frac {\pi}{2)),{\frac {\pi }{2}}\right ],\;\theta \i [0,2\pi )$ .

Sideflade af en uendelig cirkulær cylinder . Det er helt naturligt at bruge et cylindrisk koordinatsystem : $\left\{{\begin{array}{ccc}x&=&\rho \cos \varphi \\y&=&\rho \sin \varphi \\z&=&z\end{array}}\right. ,\quad \varphi \in [0,2\pi ),z\in (-\infty ,+\infty )$ .

Bilineær interpolations firkant . Et ordnet sæt af 4 punkter i rummet definerer en bilineær interpolationsoverflade og kortlægger en firkant på den : ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{4))$ $u,v\in [0,1]$

(x,y)=P_{1}uv+P_{2}(1-u)v+P_{3}u(1-v)+P_{4}(1-u)(1-v )

Denne overflade er glat , men umuligheden af at sætte vilkårlige tangenter på dens grænse gør den praktisk talt uanvendelig som patches .

Bezier overflade . I praksis bruges to typer af Bezier-overflader hovedsageligt: bikubisk 3. orden - en firkant defineret af 16 punkter, og barycentrisk 3. orden - en trekant defineret af 10 punkter. Det barycentriske koordinatsystem i en trekant indeholder 3 tal, så det er ikke altid praktisk.

Grænsen for en Bezier-overflade består af Bezier-kurver . De punkter, der definerer overfladen, definerer også kurverne for dens grænser, inklusive normalerne på dem. Dette giver dig mulighed for at skabe glatte sammensatte overflader , dvs. bruge Bezier-overflader som patches . En rationel Bezier-overflade er anderledes ved, at hvert punkt i sin definition er tildelt en vis "vægt", som bestemmer graden af dens indflydelse på overfladens form.

B-spline overflade . I praksis anvendes bikubiske B-spline overflader almindeligvis . Ligesom Bézier overflader er de defineret af 16 punkter, men generelt passerer de ikke gennem disse punkter. B-splines er dog praktiske at bruge som patches, da de passer godt til hinanden, når du bruger et fælles vertex-gitter, og selve hjørnerne giver dig mulighed for eksplicit at sætte normaler og tangenter ved patch-grænser.

Hvis mere fleksibel styring af overfladeformen er påkrævet, anvendes rationelle B-splines , inhomogene B-splines , samt en kombineret version - inhomogene rationelle B-splines (NURBS).

Egenskaber

Lad . Derefter: ${\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}X'_{u}&X'_{v}\\Y'_{u} &Y'_{v}\end{vmatrix)),\quad {\frac {D(y,z)}{D(u,v)))={\begin{vmatrix}Y'_{u}&Y' _{v}\\Z'_{u}&Z'_{v}\end{vmatrix)),\quad {\frac {D(z,x)}{D(u,v)))={\ start{vmatrix}Z'_{u}&Z'_{v}\\X'_{u}&X'_{v}\end{vmatrix}}$

Normalen i et punkt på overfladen er givet ved:

{\frac {\left({\frac {D(y,z)}{D(u,v))));\,{\frac {D(z,x)}{D(u, v ))));\,{\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}\right)}{\sqrt {\left({\frac {D(x,y)} {D (u,v)}}\højre)^{2}+\venstre({\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}\højre)^{2}+\venstre ({ \frac {D(z,x)}{D(u,v)}}\højre)^{2}}}}

Tangentplanet i et givet punkt kan beskrives med ligningen:

{\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}_{u_{0},v_{0}}(x-x_{0})+{\frac {D( z,x)}{D(u,v)}}_{u_{0},v_{0}}(y-y_{0})+{\frac {D(x,y)}{D(u ,v)}}_{u_{0},v_{0}}(z-z_{0})=0

Arealet af en parametrisk defineret overflade beregnes ved hjælp af formlerne:

\iint \,{\sqrt {\left({\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\frac {D (y,z)}{D(u,v)}}\højre)^{2}+\venstre({\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}\højre)^ {2}}}\;\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v

eller

\iint \,\left|[{\dot {r}}_{u}\gange {\dot {r}}_{v}]\right|\;\mathrm {d} \,u\ ;\mathrm {d} \,v

, hvor

{\dot {r}}_{u}=\left({\frac {\partial x}{\partial u)),\,{\frac {\partial y}{\partial u)), \,{\frac {\partial z}{\partial u}}\right),\quad {\dot {r}}_{v}=\left({\frac {\partial x}{\partial v} },\,{\frac {\partial y}{\partial v)),\,{\frac {\partial z}{\partial v))\right)

Litteratur

Ilyin V. A., Poznyak E. G. Analytisk geometri. - M. : FIZMATLIT, 2002. - 240 s.
Kudryavtsev L. D. Kursus i matematisk analyse. - M . : Trappe. — 570 s.
Rogers D., Adams J. Matematiske grundlag for computergrafik. - M .: Mir, 2001. - ISBN 5-03-002143-4 .