Momentum operatør

Momentumoperatoren er en kvantemekanisk operator, der bruges til at beskrive momentum .

Definition baseret på de Broglie-bølgen

Energi- og momentumoperatørerne kan konstrueres på følgende måde [1] .

Endimensionel kasus

Løsningen af den endimensionelle Schrödinger-ligning i form af en plan bølge har formen:

{\displaystyle \Psi =e^{i(kx-\omega t)))

Første ordens afledte med hensyn til koordinaten:

{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}=ike^{i(kx-\omega t)}=ik\Psi

Udtryk fra de Broglie-forholdet : $k$

p=\hbar k

formlen for den afledte ψ har følgende form:

{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}=i{\frac {p}{\hbar }}\Psi

Således får vi:

{\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}

De mængder, der måles i eksperimentet, er egenværdierne for den givne operator.

Da den partielle afledte er en lineær operator , er momentumoperatoren også lineær. Da hver bølgefunktion kan udtrykkes som en kvantesuperposition af tilstande, når denne momentumoperator virker på hele bølgesuperpositionen, giver den egenværdier for hver plan bølge, hvis sum er det resulterende momentum af bølgesuperpositionen.

Tre dimensioner

Ligningen i tre dimensioner er skrevet på lignende måde, bortset fra gradientoperatoren, som inkluderer partielle afledte med hensyn til koordinater. I det tredimensionelle tilfælde vil løsningen af Schrödinger-ligningen i form af plane bølger være som følger:

{\displaystyle \Psi =e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)))

hvor er gradienten

{\begin{aligned}\nabla \Psi &=\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial \Psi }{\partial x))+\mathbf {e} _{y}{ \frac {\partial \Psi }{\partial y))+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial \Psi }{\partial z))\\&=ik_{x}\Psi \ mathbf {e} _{x}+ik_{y}\Psi \mathbf {e} _{y}+ik_{z}\Psi \mathbf {e} _{z}\\&={\frac {i} {\hbar }}\left(p_{x}\mathbf {e} _{x}+p_{y}\mathbf {e} _{y}+p_{z}\mathbf {e} _{z}\ højre)\Psi \\&={\frac {i}{\hbar }}\mathbf {\hat {p}} \Psi \\\end{aligned}}

hvor , og er enhedsvektorer for tredimensionalitet, og dermed $\mathbf{e}_x$ $\mathbf{e}_y$ $\mathbf{e}_z$

\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla

Dette er momentumoperatoren i koordinatrepræsentationen - de partielle afledte i den tages med hensyn til rumlige variable.

Definition baseret på oversættelsesinvarians

Oversættelsesoperatoren betegnes som T ( ϵ ) , hvor ϵ er størrelsen af oversættelsen og opfylder følgende forhold:

T(\epsilon )|\psi \rangle =\int dxT(\epsilon )|x\rangle \langle x|\psi \rangle

som bliver

\int dx|x+\epsilon \rangle \langle x|\psi \rangle =\int dx|x\rangle \langle x-\epsilon |\psi \rangle =\int dx|x\rangle \psi ( x-\epsilon )

Hvis vi antager , at ψ er en analytisk funktion (det vil sige differentierbar i et eller andet domæne af det komplekse plan ), kan den udvides til en Taylor-serie i x :

{\displaystyle \psi (x-\epsilon )=\psi (x)-\epsilon {d\psi \over dx))

derefter:

T(\epsilon )=1-\epsilon {d \over dx}=1-{i \over \hbar }\epsilon \left(-i\hbar {d \over dx}\right)

Som det er kendt fra klassisk mekanik , er momentum en oversættelsesgenerator , så forholdet mellem oversættelse og momentumoperatorer vil se sådan ud:

T(\epsilon )=1-{i \over \hbar }\epsilon {\hat {p))

derefter

{\hat {p}}=-i\hbar {d \over dx}\,.

Firedimensionel momentumoperator

Denne operatør ser sådan ud:

{\hat {P}}_{\mu }=\left({\frac {1}{c}}{\hat {E}},-\mathbf {\hat {p}} \right) =i\hbar \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t)),\nabla \right)=i\hbar \partial _{\mu }

hvor ∂ μ er 4-gradienten og − iħ bliver + iħ foran 3D-momentumoperatoren. Denne operator optræder i relativistisk kvantefeltteori , ligesom Dirac-ligningen og andre relativistiske bølgeligninger . Energi og momentum kombineres til en 4-momentum vektor og svarer til førsteordens partielle afledte med hensyn til tid og position for at matche Lorentz-invarians .