Operatør (fysik)

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 16. marts 2020; verifikation kræver 1 redigering .

En operatør i kvantemekanik er en lineær kortlægning , der virker på bølgefunktionen , som er en funktion med kompleks værdi, der giver den mest komplette beskrivelse af systemets tilstand. Operatører er angivet med store latinske bogstaver med en cirkumfleks øverst. For eksempel:

${\hat {A)],{\hat {B)],{\hat {C)),\prikker$

En operator handler på funktionen til højre for den (det siges også at blive anvendt på en funktion eller ganget med en funktion):

${\hat {A}}\Psi _{1}=\Psi _{2}$

Kvantemekanik bruger den matematiske egenskab af lineære selvadjoint (hermitiske) operatorer , at hver af dem har egenvektorer og reelle egenværdier . De fungerer som værdierne af fysiske mængder, der svarer til den givne operatør .

Aritmetiske operationer på operatorer

En operator kaldes summen (forskellen) af operatorer, hvis følgende betingelse er opfyldt for en funktion fra definitionsdomænet for alle tre operatorer: ${\hat {C}}$ ${\hat {A},{\hat {B}}$ $\\Psi$

${\hat {C}}\Psi ={\hat {A}}\Psi \pm {\hat {B}}\Psi$

En operator kaldes et produkt af operatorer, hvis følgende betingelse er opfyldt for en funktion: ${\hat {C}}$ ${\hat {A},{\hat {B}}$ $\\Psi$

${\hat {C}}\Psi ={\hat {A}}({\hat {B}}\Psi)$

Generelt

{\hat {A}}{\hat {B}}\not ={\hat {B}}{\hat {A}}

Hvis , så siges operatørerne at pendle . Operatørkommutatoren er defineret som ${\hat {A}}{\hat {B}}={\hat {B}}{\hat {A}}$ ${\hat {A},{\hat {B}}$

$[{\hat {A)],{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}$

Egenværdier og egenfunktioner for operatoren

Hvis der er ligestilling:

${\hat {A}}\Psi =a\Psi ,$

så kalder de egenværdien af operatoren , og funktionen kaldes egenfunktion af operatoren svarende til den givne egenværdi. Oftest har en operator et sæt egenværdier: Sættet af alle egenværdier kaldes spektret af en operator . $\en$ ${\hat {A}}$ $\\Psi$ ${\hat {A}),$ $\ a_{1},a_{2},\dots,a_{n},\dots$

Lineære og selvadjointerende operatorer

En operator kaldes lineær , hvis betingelsen er opfyldt for et par: ${\hat {L}}$ $\varphi _{{i}},C_{{i}}$

${\hat {L}}\sum _{{i}}C_{{i}}\varphi _{{i}}=\sum _{{i}}C_{{i}}{\hat {L} }\varphi_{{i}}.$

En operatør kaldes selvadjoint ( Hermitian ), hvis følgende betingelse er opfyldt for nogen: ${\hat {A}}$ $\Psi ,\varphi$

$\venstre\langle \Psi |{\hat {A}}\varphi \right\rangle =\left\langle {\hat {A}}\Psi |\varphi \right\rangle$

Desuden er summen af selvadjoint operatører en selvadjoint operatør. Et produkt af selvtilknyttede operatører er en selvtilknyttede operatører, hvis de pendler. Egenværdierne af selvadjointerende operatorer er altid reelle. Egenfunktioner af selvadjointerende operatorer svarende til forskellige egenværdier er ortogonale .

Operatorer brugt i kvantefysik

De vigtigste kendetegn ved et fysisk system i kvantefysikken er observerbare størrelser og tilstande .

I kvantefysikken er observerbare størrelser forbundet med lineære selvadjoint-operatorer i et komplekst adskilleligt Hilbert-rum , og tilstande er forbundet med klasser af normaliserede elementer i dette rum (med norm 1). Dette gøres hovedsageligt af to årsager:

Egenværdierne af selvtilsluttede operatorer svarende til specifikke værdier af fysiske størrelser er reelle tal , det vil sige, hvad eksperimenter beskæftiger sig med i praksis (instrumentaflæsninger, beregningsresultater osv.).

En og samme kvantepartikel kan samtidig være i et sæt kvantetilstande , som er karakteriseret ved et sæt egenværdier af den tilsvarende operator. Det kan være et endeligt sæt (et diskret værdiområde), et interval ( et kontinuerligt værdiområde ) eller et blandet sæt.

I kvantefysikken er der en "ikke-streng" regel for at konstruere en operator af fysiske størrelser: forholdet mellem operatorer er generelt det samme som mellem de tilsvarende klassiske størrelser. Baseret på denne regel blev følgende operatører introduceret (i koordineret repræsentation):

Koordinatoperatør : _

${\hat {{\mathbf {x}}}}=x$

Koordinatoperatorens handling er at gange med en vektor af koordinater.

Momentum operatør :

${\hat {{\mathbf {p}}}}=-i\hbar \nabla$

Her er den imaginære enhed og er nabla-operatøren . $\jeg$ $\nabla$

Kinetisk energi operatør :

${\hat {T}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta$

Her er Dirac-konstanten , er Laplace-operatøren . $\hbar$ $\Delta$

Potentiel energioperatør :

${\hat {U}}=U(x,y,z,t)$

Operatorens handling reduceres her til multiplikation med en funktion.

Hamilton operatør :

${\hat {H}}={\hat {T}}+{\hat {U}}$

Momentum operatør :

${\hat {{\mathbf {L}}}}=-i\hbar [{\mathbf {r}},\nabla ]$ . Denne form blev også valgt af årsager relateret til Noethers sætning og SO(3) -gruppen

spin operatør :

I det vigtigste tilfælde af spin 1/2 har spinoperatoren formen: , hvor ${\hat {s}}={\frac {1}{2}}{\hat {\sigma }}$

${\hat {\sigma }}_{{x}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$ , , - såkaldte. Pauli matricer . Denne art ligner den foregående, men er forbundet med SU(2) -gruppen . ${\hat {\sigma }}_{{y}}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}$ ${\hat {\sigma }}_{{z}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

Se også

Litteratur

Landau L. D. , Lifshits E. M. " Theoretical Physics ", i 10 bind, v. 3, "Quantum mechanics (non-relativistic theory)", 5. udgave, M., Fizmatlit, 2002, 808 s. , ISBN 5-92721-005 -2 (bind 3);
"Funktionel analyse", red. 2, rev. og yderligere (Serie "Reference Mathematical Library"), team af forfattere, red. S. G. Kerin , Moskva, "Nauka", 1972, 517.2 F 94