Sættet af summer er begrebet additiv kombinatorik , svarende til Minkowski-summen af endelige mængder .
Lad være enhver gruppe og være endelige mængder. Så er deres sum sættet
For et sæt kaldes dets mængde summer . Flere summer er forkortet [1]
På samme måde er sættet af forskelle , sættet af produkter , sættet af kvotienter og lignende defineret for enhver operation. For eksempel er sættet af produkter defineret som følger [2] :
Værdien kaldes fordoblingskonstanten [3] , og de mængder, som den er afgrænset for, siges at have en lille fordobling [4] . I forbindelse med sum-produktsætningen betragtes ofte mængder med lille multiplikativ fordobling , det vil sige, for hvilke værdien er begrænset [5] .
Styrken af sættet af summer er relateret til den additive energi ved uligheden [6] , så sidstnævnte bruges ofte til at estimere den.
Freimans teorem betragter størrelse som en indikator for struktureringen af en mængde (hvis fordoblingskonstanten er begrænset, svarer strukturen til en generaliseret aritmetisk progression ). [7] [8]
Sum-produkt-sætningen relaterer størrelsen af mængden af summer og mængden af produkter. Hovedhypotesen siger, at for . [9] Kombinationen af summering og produkt i ét udtryk førte til fremkomsten af aritmetisk kombinatorik .
Vi studerer indflydelsen af element-for-element-anvendelse af en konveks funktion til summerbare mængder på størrelsen af mængden af summer. For konvekse sekvenser er nedre grænser på og kendt . [10] Mere generelt, for en konveks funktion og et sæt, betragtes estimeringsproblemet og nogle lignende nogle gange som en generalisering af sumproduktsætningen, da og derfor , og funktionen er konveks. [elleve]
Plünnecke-Rouge-uligheden fastslår, at væksten (stigningen i størrelse i forhold til summerbare mængder) af flere summer i gennemsnit ikke (i forhold til ), overstiger væksten på .
Rouge-trekantens ulighed relaterer størrelserne for alle sæt og viser, at den normaliserede størrelse af forskellen mellem mængder kan betragtes som en pseudometrisk, der afspejler tætheden af strukturen af disse sæt. [12]
Et af de grundlæggende spørgsmål ved additiv kombinatorik er: hvilken struktur kan eller bør sæt af summer have. Fra begyndelsen af 2020 kendes ingen ikke-trivielt hurtig algoritme til at bestemme, om et givet stort sæt kan repræsenteres som eller . Der kendes dog nogle delresultater om strukturen af sumsæt.
For eksempel kan sæt af summer af reelle tal ikke have lille multiplikativ fordobling, det vil sige hvis , så for nogle . [13] Og i gruppen af rester modulo a primtal er der kun mængder, der kan repræsenteres som . [14] [15]
Det er kendt, at hvis er tætte sæt af naturlige tal, så indeholder lange aritmetiske progressioner . [16] Ikke desto mindre kendes eksempler på tætte sæt med en stærk øvre grænse for længden af sådanne progressioner. [17] [18]