Rouge trekant ulighed

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 20. maj 2019; checks kræver 3 redigeringer .

Rouge-trekantens ulighed forbinder alle parvise sæt af forskelle på tre sæt i en vilkårlig gruppe .

Ordlyd

Lad være en gruppe og . $(G,+)$ $U,V,W\subset G$

Så hvor . $|U|\cdot |VW|\leq |VU|\cdot |UW|$ $AB=\venstre\lbrace {ab:a\in A,b\in B}\right\rbrace$

Trekantulighed med tilføjelse

Der er endnu en ulighed [1] svarende til Rouge-trekantens ulighed, som dog er sværere at bevise end den klassiske - ved at bruge Plünnecke-Rouge-uligheden , som i sig selv er bevist ved hjælp af den klassiske Rouge-ulighed.

|U|\cdot |V+W|\leq |V+U|\cdot |U+W|

Bevis

Overvej en funktion defineret som . Så for hvert billede er der i det mindste forskellige omvendte billeder af formen . Det betyder, at det samlede antal forbilleder ikke er mindre end . Midler, $\varphi :(VU)\times (UW)\to (VW)$ $\varphi (x,y)=x+y$ $vw\in VW$ $|U|$ $(vu,uw),u\in U$ $|VW||U|$ $|U||VW|\leq |VU||UW|$

En analogi med trekanten ulighed

Overvej en funktion [2] [3] , der definerer "afstanden mellem sæt" i form af Minkowski-forskellen:

${\displaystyle \rho (A,B)=\log {\frac {|AB|}{\sqrt {|A||B|)))))$

Denne funktion er ikke en metrik , fordi ligheden ikke gælder for den , men den er åbenlyst symmetrisk, og Rouges ulighed indebærer direkte trekantens ulighed for den: $\rho (A,A)=0$