Rouge trekant ulighed

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 20. maj 2019; checks kræver 3 redigeringer .

Rouge-trekantens ulighed forbinder alle parvise sæt af forskelle på tre sæt i en vilkårlig gruppe .

Ordlyd

Lad være en gruppe og .

Så hvor .

Trekantulighed med tilføjelse

Der er endnu en ulighed [1] svarende til Rouge-trekantens ulighed, som dog er sværere at bevise end den klassiske - ved at bruge Plünnecke-Rouge-uligheden , som i sig selv er bevist ved hjælp af den klassiske Rouge-ulighed.

Bevis

Overvej en funktion defineret som . Så for hvert billede er der i det mindste forskellige omvendte billeder af formen . Det betyder, at det samlede antal forbilleder ikke er mindre end . Midler,

En analogi med trekanten ulighed

Overvej en funktion [2] [3] , der definerer "afstanden mellem sæt" i form af Minkowski-forskellen:

Denne funktion er ikke en metrik , fordi ligheden ikke gælder for den , men den er åbenlyst symmetrisk, og Rouges ulighed indebærer direkte trekantens ulighed for den:

Konsekvenser

Udskiftning , får vi

Udskiftning , får vi

Udskiftning , får vi

.

Se også

Noter

  1. M. Z. Garaev, Summer og produkter af sæt og estimater af rationelle trigonometriske summer i felter af primær orden Arkiveret 11. december 2017 på Wayback Machine , s. 17
  2. Tekstresumé af Harald Helfgotts forelæsning ved St. Petersburg State University  (utilgængeligt link)
  3. Foredrag af Harald Helfgott ved St. Petersburg State University