Schwarzschild-metrik

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 24. marts 2021; checks kræver 3 redigeringer .

Schwarzschild-metrikken er den eneste sfærisk symmetriske nøjagtige løsning af Einstein-ligningerne uden en kosmologisk konstant i det tomme rum på grund af Birkhoff -sætningen. Især beskriver denne metrik nøjagtigt tyngdefeltet af et solitært ikke-roterende og uladet sort hul og tyngdefeltet uden for et ensomt sfærisk symmetrisk massivt legeme. Opkaldt efter Karl Schwarzschild , som først opdagede det i 1916 .

Denne løsning er statisk, så sfæriske gravitationsbølger er umulige.

Type af metrisk

Schwarzschild koordinater

I de såkaldte Schwarzschild-koordinater , hvoraf de sidste 3 ligner sfæriske , er den metriske tensor af den mest fysisk vigtige del af Schwarzschild-rummet-tid med topologi (produktet af et område af todimensionelt euklidisk rum og en todimensional sfære) har formen $(t,\;r,\;\theta ,\;\varphi )$ $R^{2}\gange S^{2}$

g={\begin{bmatrix}\left(1-\displaystyle {\frac {r_{s}}{r}}\right)&0&0&0\\0&-\left(1-\displaystyle {\frac {r_{s }}{r}}\right)^{-1}&0&0\\0&0&-r^{2}&0\\0&0&0&-r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}.

Intervallet i denne metrik skrives som

ds^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2} }{\left(1-\displaystyle {\frac {r_{s}}{r}}\right)}}-r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2} \theta d\varphi ^{2}\right),

hvor er den såkaldte Schwarzschild-radius , eller gravitationsradius , er den masse, der skaber gravitationsfeltet (især massen af et sort hul), er gravitationskonstanten , er lysets hastighed . I dette tilfælde er området for ændring af koordinater med identifikation af punkter og , som i almindelige sfæriske koordinater . $r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}$ $M$ $G$ $c$ $-\infty <t<\infty ,\ r_{s}<r<\infty ,\ 0\leq \theta \leq \pi ,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi$ $(t,r,\theta,\varphi =0)$ $(t,r,\theta,\varphi =2\pi)$

Koordinaten er ikke længden af radiusvektoren, men indtastes således, at kuglens areal i den givne metrik er lig med . I dette tilfælde er "afstanden" mellem to begivenheder med forskellige (men identiske andre koordinater) givet af integralet $r$ $t=\mathrm {konst} ,\;r=r_{0}$ $4\pi r_{0}^{2}$ $r$

\int \limits _{r_{1}}^{r_{2}}{\frac {dr}{\sqrt {1-\displaystyle {\frac {r_{s}}{r}}}}}>r_ {2}-r_{1},\qquad r_{2},\;r_{1}>r_{s}.

Ved eller , tenderer Schwarzschild-metrikken (komponentmæssigt) til Minkowski-metrikken i sfæriske koordinater, så langt fra et massivt legeme viser rumtiden sig at være tilnærmelsesvis pseudo-euklidisk af signatur . Da kl og monotont stiger med stigende , så "flyder korrekt tid på punkter nær kroppen langsommere" end langt fra det, det vil sige, at gravitationstidsdeceleration forekommer af massive legemer. $M\ til 0$ $r\to\infty$ $M$ $(1.3)$ $g_{00}=1-{\frac {r_{s}}{r}}\leqslant 1$ $r>r_{s}$ $g_{00}$ $r$

Differentielle egenskaber

For et centralt symmetrisk gravitationsfelt i et vakuum (og dette er tilfældet med Schwarzschild-metrikken), kan vi sætte:

g_{00}=e^{\nu},\quad g_{11}=-e^{\lambda };\quad \lambda +\nu =0,\quad e^{-\lambda }= e^{\nu }=1-{\frac {r_{s}}{r}}.

Så har ikke-nul uafhængige Christoffel-symboler formen

\Gamma _{11}^{1}={\frac {\lambda _{r}^{\prime )){2)),\quad \Gamma _{10}^{0}={\frac {\ nu _{r}^{\prime }}{2}},\quad \Gamma _{33}^{2}=-\sin \theta \cos \theta ,

\Gamma _{11}^{0}={\frac {\lambda _{t}^{\prime }}{2}}e^{\lambda -\nu },\quad \Gamma _{22}^ {1}=-re^{-\lambda },\quad \Gamma _{00}^{1}={\frac {\nu _{r}^{\prime }}{2}}e^{\ nu-\lambda },

\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{13}^{3}={\frac {1}{r)),\quad \Gamma _{23}^{3}=\operatørnavn {ctg } \,\theta ,\quad \Gamma _{00}^{0}={\frac {\nu _{t}^{\prime }}{2}},

\Gamma _{10}^{1}={\frac {\lambda _{t}^{\prime )){2)),\quad \Gamma _{33}^{1}=-r\sin ^ {2}\theta \,e^{-\lambda }.

Invarianterne af krumningstensoren er

I_{1}=\left({\frac {r_{s}}{2r^{3}}}\right)^{2},\quad I_{2}=\left({\frac {r_{s }}{2r^{3}}}\right)^{3}.

Krumningstensoren er af Petrov -typen . $\mathbf {D}$

Massedefekt

Hvis der er en sfærisk symmetrisk fordeling af "radius" stof (med hensyn til koordinater) , så kan kroppens samlede masse udtrykkes i form af dets energi-momentum-tensor med formlen $-en$

m={\frac {4\pi }{c^{2}}}\int \limits _{0}^{a}T_{0}^{0}r^{2}\,dr.

Især for en statisk fordeling af stof , hvor er energitætheden i rummet. I betragtning af at rumfanget af det sfæriske lag i de koordinater vi har valgt er lig med $T_{0}^{0}=\varepsilon$ $\varepsilon$

dV=4\pi r^{2}{\sqrt {g_{11}}}\,dr>4\pi r^{2}\,dr,

det får vi

m=\int \limits _{0}^{a}{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}4\pi r^{2}\,dr<\int \limits _{V}{ \frac {\varepsilon }{c^{2}}}\,dV.

Denne forskel udtrykker kropsmassens gravitationsdefekt . Det kan siges, at en del af systemets samlede energi er indeholdt i tyngdefeltets energi, selvom det er umuligt at lokalisere denne energi i rummet.

Singularitet i metrisk

Ved første øjekast indeholder metrikken to funktioner: ved og ved . I Schwarzschild-koordinater vil en partikel, der falder på et legeme, bruge uendelig lang tid for at nå overfladen , men overgangen til f.eks. Lemaitre-koordinater i den kommende referenceramme viser, at set fra hændelsens synspunkt observatør, er der ikke noget rum-tidstræk på denne overflade, og både selve overfladen og området vil blive nået inden for en endelig tid . $r=0$ $r=r_{s}$ $t$ $r=r_{s}$ $r\ca. 0$

Den virkelige singularitet af Schwarzschild-metrikken observeres kun ved , hvor de skalære invarianter af krumningstensoren har en tendens til uendelig . Denne funktion ( singularitet ) kan ikke elimineres ved at ændre koordinatsystemet. $r\til 0$

Begivenhedshorisont

Overfladen kaldes begivenhedshorisonten . Med et bedre valg af koordinater, for eksempel i Lemaitre eller Kruskal koordinater, kan det vises, at ingen signaler kan forlade det sorte hul gennem begivenhedshorisonten. I denne forstand er det ikke overraskende, at feltet uden for det sorte hul i Schwarzschild kun afhænger af én parameter - kroppens samlede masse. $r=r_{s}$

Kruskals koordinater

Man kan forsøge at indføre koordinater, der ikke giver en singularitet ved . Der kendes mange sådanne koordinatsystemer, og det mest almindelige af dem er Kruskal-koordinatsystemet, som med ét kort dækker hele den maksimalt udvidede manifold, der opfylder Einsteins vakuumligninger (uden den kosmologiske konstant). Denne større rumtid kaldes normalt det (maksimalt udvidede) Schwarzschild-rum eller (mere sjældent) Kruskal-rum ( Krusskal–Szekeres-diagram ). Metrikken i Kruskal-koordinater har formen $r=r_{s}$ ${\tilde {\mathcal {M}}}$

ds^{2}=-F(u,v)^{2}\,du\,dv+r^{2}(u,v)(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\ theta \,d\varphi ^{2}),\qquad \qquad (2)

hvor , og funktionen er defineret (implicit) af ligningen . $F={\frac {4r_{s}^{3}}{r}}e^{-r/r_{s}}$ $r(u,v)$ $(1-r/r_{s})e^{r/r_{s}}=uv$

Rummet er maksimalt , det vil sige, det kan ikke længere være isometrisk indlejret i et større rum-tid, og området i Schwarzschild-koordinater ( ) er blot en del (dette er arealet - område I i figuren). Et legeme, der bevæger sig langsommere end lyset - verdenslinien for et sådant legeme vil være en kurve med en hældningsvinkel til lodret mindre end , se kurven i figuren - kan forlade . I dette tilfælde falder det ind i region II, hvor . Som det kan ses af figuren, vil den ikke længere være i stand til at forlade dette område og vende tilbage til det (for dette skulle man afvige mere end én fra lodret, det vil sige overskride lysets hastighed). Region II er således et sort hul. Dens grænse (polyline, ) er følgelig begivenhedshorisonten. ${\tilde {\mathcal {M}}}$ $r>r_{s}$ ${\mathcal {M}}$ ${\tilde {\mathcal {M}}}$ $v>0,\r>r_{s}$ $45^{\cirkel }$ $\gamma$ ${\mathcal {M}}$ ${\displaystyle r<r_{s))$ $r>r_{s}$ $45^{\cirkel }$ $v\geqslant 0,\ r=r_{s}$

Der er et mere asymptotisk fladt domæne III, hvor man også kan introducere Schwarzschild-koordinater. Denne region er dog årsagsløs relateret til region I, hvilket gør det umuligt at få nogen information om det, forbliver uden for begivenhedshorisonten. I tilfælde af et reelt sammenbrud af et astronomisk objekt opstår regionerne IV og III simpelthen ikke, da venstre side af det præsenterede diagram skal erstattes af en ikke-tom rumtid fyldt med kollapsende stof. ${\tilde {\mathcal {M}}}$

Vi bemærker flere bemærkelsesværdige egenskaber ved det maksimalt udvidede Schwarzschild-rum : ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M))))$

Det er ental: koordinaten for en observatør, der falder under horisonten, falder og har en tendens til nul, når hans rigtige tid har en tendens til en endelig værdi . Dens verdenslinje kan dog ikke udvides til området , da der ikke er nogen punkter med i dette rum. Således er iagttagerens skæbne kun kendt for os indtil et vist tidspunkt i hans (egen) tid. $r$ $\tau$ $\tau_{0}$ $\tau \geqslant \tau_{0}$ $r=0$
Selvom rummet er statisk (det er klart, at metrikken (1) ikke afhænger af tid), er rummet det ikke. Dette er formuleret mere strengt som følger: Dræbningsvektoren , som er tidslignende i , bliver rumlignende i regionerne II og IV i det udvidede rum. ${\mathcal {M}}$ ${\tilde {\mathcal {M}}}$ ${\mathcal {M}}$ ${\tilde {\mathcal {M}}}$
Region III er også isometrisk . Således indeholder det maksimalt udvidede Schwarzschild-rum to "universer" - "vores" (dette ) og endnu et af det samme. Region II inde i det sorte hul, der forbinder dem, kaldes Einstein-Rosen-broen . En observatør, der starter fra I og bevæger sig langsommere end lyset, vil ikke være i stand til at komme ind i det andet univers (se fig. 1), men i tidsintervallet mellem at krydse horisonten og ramme singulariteten, vil han være i stand til at se den. Denne struktur af rum-tid, som består og endda bliver mere kompleks, når man overvejer mere komplekse sorte huller, har givet anledning til adskillige spekulationer om mulige "andre" universer og rejser gennem sorte huller i dem i både videnskabelig litteratur og science fiction (se Molecules ) huler ). ${\mathcal {M}}$ ${\mathcal {M}}$

Orbital bevægelse

Historie om erhvervelse og fortolkning

Schwarzschild-metrikken, der fungerer som et objekt af væsentlig teoretisk interesse, er også en slags værktøj for teoretikere, tilsyneladende simpelt, men som ikke desto mindre umiddelbart fører til vanskelige spørgsmål.

I midten af 1915 offentliggjorde Einstein de foreløbige ligninger for tyngdekraftsteorien . Disse var endnu ikke Einsteins ligninger, men de faldt allerede sammen med de sidste i vakuumtilfældet . Schwarzschild integrerede de sfærisk symmetriske ligninger for vakuum i perioden fra den 18. november 1915 til slutningen af året. Den 9. januar 1916 skrev Einstein, som Schwarzschild henvendte sig til om offentliggørelsen af hans artikel i Berliner Berichte, til ham, at han "læste sit arbejde med stor lidenskab" og "var forbløffet over, at den sande løsning på dette problem kan udtrykkes så let" - Einstein tvivlede indledningsvis på, om det overhovedet var muligt at opnå en løsning på så komplekse ligninger. $R_{{ij}}=T_{{ij}}$ $T_{{ij}}=0$

Schwarzschild afsluttede sit arbejde i marts og opnåede også en sfærisk symmetrisk statisk intern opløsning til en væske med konstant tæthed. På dette tidspunkt faldt en sygdom ( pemphigus ) over ham, som bragte ham i graven i maj. Siden maj 1916 har I. Droste, en elev af G. A. Lorentz, der udfører forskning inden for rammerne af de endelige Einstein-feltligninger, opnået en løsning på det samme problem ved en enklere metode end Schwarzschild. Han ejer også det første forsøg på at analysere divergensen i løsningen, da den har tendens til Schwarzschild-sfæren.

Efter Droste begyndte de fleste forskere at være tilfredse med forskellige overvejelser, der havde til formål at bevise Schwarzschild-sfærens uigennemtrængelighed. Samtidig blev overvejelser af teoretisk karakter understøttet af et fysisk argument, ifølge hvilket "dette eksisterer ikke i naturen", da der ikke er nogen kroppe, atomer, stjerner, hvis radius ville være mindre end Schwarzschild-radius .

For K. Lanczos, såvel som for D. Gilbert, blev Schwarzschild-sfæren en anledning til at tænke over begrebet "singularitet", for P. Painlevé og den franske skole var det genstand for kontroverser, som Einstein sluttede sig til.

Under Paris-kollokviet i 1922, organiseret i forbindelse med Einsteins besøg, var ikke kun tanken om, at Schwarzschild-radius ikke ville være enestående, men også en hypotese, der foregreb det, der nu kaldes gravitationssammenbrud .

Den dygtige udvikling af Schwarzschild var kun en relativ succes. Hverken hans metode eller hans fortolkning blev vedtaget. Fra hans arbejde er næsten intet bevaret, bortset fra det "bare" resultat af metrikken, som navnet på dens skaber var forbundet med. Men spørgsmålene om fortolkning og frem for alt spørgsmålet om "Schwarzschilds singularitet" var endnu ikke løst. Synspunktet begyndte at krystallisere, at denne singularitet ikke betyder noget. To veje førte til dette synspunkt: på den ene side den teoretiske, ifølge hvilken "Schwarzschild-singulariteten" er uigennemtrængelig, og på den anden side den empiriske, der består i, at "dette eksisterer ikke i natur." Dette synspunkt bredte sig og blev dominerende i al datidens specialiserede litteratur.

Det næste trin er forbundet med den intensive undersøgelse af tyngdekraften i begyndelsen af relativitetsteoriens "gyldne tidsalder".

Litteratur

K. Schwarzschild Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie // Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 1. - 1916. - 189-196.
Rus. oversættelse: Schwarzschild K. Om gravitationsfeltet for en punktmasse i Einsteins teori // Albert Einstein og gravitationsteorien. M.: Mir, 1979. S. 199-207.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Felteori. - 7. udgave, revideret. — M .: Nauka , 1988. — 512 s. - (" Teoretisk fysik ", bind II). — ISBN 5-02-014420-7 .
Droste J. Het van een enkel centrum i Einsteins teori der zwaartekracht en de beweging af en stofflig punt in dat veld // Versl. gev Vergad. Akad. Amsterdam. - 1916. - D.25. - Biz.163-180.
Einstein A. Til minde om Karl Schwarzschild // Einstein A. Samling af videnskabelige artikler. M.: Nauka, 1967. T. 4. S. 33-34.
SM Blinder . Centennial of General Relativity (1915-2015); Schwarzschild-løsningen og sorte huller . - 2015. - arXiv : 1512.02061 .

Se også

Links

De vigtigste konklusioner af relativitetsteorien

Ordbøger og encyklopædier	stor kinesisk

Sorte huller

Typer

Dimensioner

Uddannelse

Ejendomme

Modeller

teorier

Præcise løsninger i generel relativitetsteori

Schwarzschild
Kerra
Reisner-Nordström
Kerr-Newman
Præcis sort hul-løsning

relaterede emner

Liste over sorte huller
- Liste over kvasarer
Kronik om sorte huls fysik
RXTE
Hyperkompakt stjernesystem
singularitetsreaktor
Numerisk relativitet
Gravitationsbølger

Kategori:Sorte huller