Udmattelsesmetode

Udmattelsesmetoden ( lat.  methodus exhaustionis ) er en ældgammel matematisk metode designet til at studere områderne af krumlinede geometriske figurer eller volumen af ​​geometriske legemer . Ideen om metoden, i ikke særlig klare vendinger, blev udtrykt af Antiphon , men udviklingen og anvendelsen blev udført af Eudoxus of Cnidus .

Navnet "udmattelsesmetode" blev foreslået i 1647 af Grégoire de Saint-Vincent , i oldtiden havde metoden ikke et særligt navn. Begrundelsen for denne metode er ikke afhængig af begrebet infinitesimals , men inkluderer implicit begrebet en grænse . Forfinelsen af ​​udmattelsesmetoden førte efterfølgende til integralregning .

Beskrivelse af metoden

Metoden var som følger: for at finde arealet (eller volumen) af en bestemt figur blev en monoton sekvens af andre figurer indskrevet i denne figur, og det blev bevist, at deres arealer (volumener) uendeligt nærmer sig arealet (volumen) af den ønskede figur. Derefter blev grænsen for rækkefølgen af ​​områder (volumener) beregnet, for hvilken der blev fremsat en hypotese om, at den er lig med noget A, og det blev bevist, at det modsatte fører til en modsigelse [1] . Da der ikke var nogen generel teori om grænser (grækerne undgik begrebet uendelighed), blev alle disse trin, inklusive begrundelsen for grænsens unikke karakter, gentaget for hvert problem.

I denne form passede udmattelsesmetoden godt ind i den strengt deduktive konstruktion af gammel matematik, men den havde flere væsentlige ulemper. For det første var det usædvanligt omfangsrigt. For det andet var der ingen generel metode til at beregne grænseværdien for A; Arkimedes , for eksempel, udledte det ofte ud fra mekaniske overvejelser eller gættede simpelthen intuitivt. Endelig er denne metode ikke egnet til at finde områder med uendelige tal.

Begrundelse

Det teoretiske grundlag for Eudoxus' udmattelsesmetode er beskrevet i Bog X af Euklids elementer . Hovedlemmaet [2] er formuleret der :

Udsagn 1. For to givne ulige værdier, hvis mere end halvdelen trækkes fra den større og mere end halvdelen fra resten, og dette gøres konstant, så vil der være en værdi tilbage, der vil være mindre end den givne mindre værdi.

Dette er en af ​​de få teoremer i den generelle teori om grænser givet af antikke forfattere. I det 10. århundrede foreslog Thabit ibn Qurra en generalisering af dette lemma, og erstattede "halvdelen" med "enhver del".

Ved hjælp af udmattelsesmetoden beviste Eudoxus strengt en række opdagelser, der allerede var kendt i disse år (arealet af en cirkel , volumenet af en pyramide og en kegle ). Euklid brugte i sine elementer metoden til udmattelse til at bevise de seks sætninger i bog 12:

Ansøgning

Den mest frugtbare metode til udmattelse blev i hænderne på den fremragende tilhænger af Eudoxus, Archimedes , som var i stand til at forbedre den betydeligt og dygtigt anvendte den til mange nye opdagelser. Han fandt især følgende:

I middelalderen brugte europæiske matematikere også metoden til udmattelse, indtil den først blev fortrængt af den mere kraftfulde og teknologiske metode af udelelige , og derefter af calculus .

Se også

Litteratur

Noter

  1. ↑ Bashmakova I. G., 1958 , s. 333-335.
  2. ↑ Beginnings of Euclid / Oversættelse fra græsk og kommentarer af D. D. Mordukhai-Boltovsky med redaktionel deltagelse af M. Ya. Vygodsky og I. N. Veselovsky. - M. - L. : GTTI, 1948. - T. II. - S. 102.  (utilgængeligt link)
  3. ↑ Arkimedes' kugle- og cylindersætning . Hentet 3. juli 2019. Arkiveret fra originalen 26. juni 2019.
  Gå til Wikidata-elementet  Ordbøger og encyklopædier